Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебно-методический комплекс.pdf
=
λ
λ
===
=
−
=
<
λ
=
∀
Из первого и третьего уравнения следует, что
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Решая данную систему находим:
xxx
=−+
02
231
xx
=+
2
21
xx
=+
2
32
Zxxx
321
2,1
x−=
,тогда
221
Теорема Куна-Таккера
Пример. Для данной задачи
2
при
2
2
1
max6)(
→+−−= xxxf
121
0,5
≥<+ xxx
необходимо записать функцию Лагранжа и проверить какой из
векторов
=−= zz
21
является ееседловой точкой.
)0;0;0(,)3;1;1(
Решение. Для данной задачи строим функцию Лагранжа
2
2
2
1
λλ
)5(6),(
xxxxx −−++−−=Ζ
. Теперь для выяснения является ли
21
заданный вектор седловой точкой проверяем выполнение
следующего неравенства:
),(),(),(
λλλ
xxx Ζ≤Ζ≤Ζ
.
Для заданного вектора
2
2
2
1
),(λx∀
, но при
21
оно нарушается. Поэтому
3
z
1
5419)5(36
+≤≤−−++−− xxxx
имеем
)3;1;1(
λ
- это неравенство выполняется для
не является
z
)3;1;1(1−
седловой точкой.
Теперь для
2
2
2
1
λ
5666
+≤≤+−− xx
. Оно выполнимо для
неравенство будет иметь следующий вид:
)0;0;0(2=z
),(λx
, следовательно
)0;0;0(2=z
является седловой точкой.
Тема Задачи вариационного исчисления
1. Задачи на условный экстремум функционала, зависящего
от нескольких функций.
Рассмотрим задачу
x
2
J (y
,…,yn) =
1
f(x, y1(x),…, yn(x), y
∫
x
1
′(x),…, yn′ (x))dx→min
1
(5.1)
c граничными условиями
y
k(x1
) =
1
y
, yk(x2) =
k
2
y
, k = 1,…, n
k
(5.2)
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
111
при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи
(x, y1,…, yn, y
ϕ
i
′,…, yn′) = 0, i = 1,…, m; m < n
1
(5.3)
Задача вариационного исчисления (5.1) – (5.3) называется задачей
Лагранжа.
Введем функцию Лагранжа
L(x, y
+
∑
=mi 1
,…,yn, y
1
λi(x) ϕ
′,…, yn′, λ1,…, λ
1
(x, y1,…, yn, y
i
) = f(x, y1,…, yn, y
m
′,…, yn′),
1
′,…, yn′) +
1
где λ
(x) ∈C
i
1 [x1
, x2] - произвольные функции (множители
Лагранжа). При решении задачи Лагранжа используется следующее
необходимое условие экстремума функционала (5.1).
Теорема.Если функции y
(x),…, yn(x) доставляют слабый
1
локальный минимум функционалу (5.1) при условиях (5.2), (5.3), то
существуют множители Лагранжа λ
(x), i = 1,…, m, при которых эти
i
функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера – Лагранжа
d
dx
′
L
= 0, k = 1,…, n (5.4)
y
k
L
–
y
k
заданных для функционала
x
2
J (y
,…,yn) =
1
L(x, y1(x),…, yn(x), y
∫
x
1
′(x),…, yn′ (x))dx (5.5)
1
С помощью теоремы решение задачи об условном экстремуме
функционала (5.1) сводится к исследованию экстремума функционала
(5.5) без дополнительных условий (5.3). При использовании теоремы
для решения задачи Лагранжа искомые функции y
множители Лагранжа λ
(x), i = 1,…, m определяются из системы n + m
i
(x), k = 1,…, n и
k
уравнений (5.4) и (5.2).
Пример 12. Решить задачу Лагранжа.
1
1,y2
) =
∫
0
J(y
при ограничениях: y
(y
2
′
(x) + y
1
2
(x))dx; y1(0) = y2(1) = 0; y1(1) = y2(0) = 1
2
′ - y
1
= 0;
2
Функция Лагранжа имеет вид: L(y
1,y2
) = y
2
′
1
+ y
2
+ λ( y1′ - y
2
);
2
Система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид: λ′ + 2y
–λ + 2y
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
′′ = 0;
2
′′ = 0;
1
112
y
′ - y
1
= 0;
2
Общее решение этой системы:
(x)= С1x + C2;
y
1
(x)= С1;
y
2
С учетом граничных условий, получаем
y
(0) = C2 = 0;
1
(0) = C1 = 0;
y
2
(1) = C
y
1
y
(1) = C2 = 1
2
Таким образом, не существует функций y
+ C2= 1;
1
(x),y2(x)
1
удовлетворяющих граничным условиям. Необходимые условия
оптимальности позволяют доказать отсутствие решений в задаче.
Тема. Простейшая изопериметрическая задача.
Задача минимизации функционала
x
2
J [y
,…,yn, y
1
′,…, yn′] =
1
f(x, y1(x),…, yn(x), y
∫
x
1
′(x),…, yn′ (x))dx
1
(5.6)
c граничными условиями
y
k(x1
) =
1
y
, yk(x2) =
k
2
y
, k = 1,…, n
k
(5.7)
при дополнительных условиях
x
2
fi(x, y1(x),…, yn(x), y
∫
x
1
′(x),…, yn′ (x))dx = F
1
, i = 1,…, m
i
(5.8)
называется изопериметрической задачей.
Функция Лагранжа этой задачи имеет вид
~
L
(x, y1,…, yn, y
∑
λ
+
=mi 1
(x, y1,…, yn, y
i fi
′,…, yn′, λ1,…, λ
1
′,…, yn′),
1
) = f0(x, y1,…,yn, y
m
′,…, yn′) +
1
(5.9)
Где множители Лагранжа (произвольные вещественные числа).
При решении изопериметрической задачи используется
следующее необходимое условие минимума.
Теорема 12. Если функции y
(x),…, yn(x) доставляют слабый
1
локальный минимум функционалу (5.5) при условиях (5.6), (5.7), то
существуют числа λ
,…, λ
1
(множители Лагранжа) при которых эти
m
функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера – Лагранжа
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
113
λ
π
π
~
L
–
y
k
d
dx
~
′
L
= 0, k = 1,…, n
y
k
Пример.
Найти функцию, на которой может достигаться экстремум
функционала:
π
J(y) =
y′2(x)dx; y(0) = 1, y(π) = – 1,
∫
0
Решение: Функция Лагранжа имеет вид
π
y cos x dx =
∫
0
~
L
π
;
2
= y′2 + λycosx. Из
уравнения Эйлера λcosx – 2 y′′ = 0 находим y(x) = –
cosx + С1x + C2.
2
Для определения множителя Лагранжа используем дополнительное
условие
π
∫
0
откуда находим λ = – 2 –
уравнения Эйлера имеет вид y(x) = cosx +
Постоянные определяем из граничных условий y(0) = 1 +
1, y(π) = – 1 +
λ
(–
cosx + С1x + C2) cosxdx = –
2
4
⎛
⎜
⎝
⎞
С1+ C2 = – 1, откуда С1 = C2 = 0. Т.е. функционал
−π
⎟
π
⎠
λ – 2 С
4
=
,
1
2
8
С1. Таким образом, общее решение
π
4
С1cosx+ С1x + C2.
π
4
С1+ C2 =
π
может достигать экстремума при y(x) = cosx.
Пример 1. Определить экстремали в простейшей задаче
вариационного исчисления.
1
J(y) =
(y′2(x) + y′(x)y(x) + 12xy(x))dx; y(0) = y(1) = 0;
∫
0
Уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид: y′ - 2y′′ + 12x - y′ =
0;
следовательноy′ = 3x
3
y = x
y(0) = C
+ Cx +C1 - общее решение;
= 0;
1
2
+ C;
y(1) = 1 +C = 0; C = -1;
3
Таким образом, получена единственная экстремаль: y(x) = x
– x.
Пример 2. Определить экстремали в задаче.
1
y(x)
J(y) =
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
(e
∫
0
114
+ xy′(x) )dx; y(0) = 0; y(1) = 1;
Уравнение Эйлера-Лагранжа: ey - 1 = 0; ey = 1
не имеет решений, удовлетворяющих граничным условиям.
Таким образом, необходимые условия слабого локального минимума
позволяют доказать отсутствие решений в простейшей вариационной
задаче.
Пример 3. Определить экстремали в задаче:
J(y) =
π
(4y(x)cos(x) +y′
∫
0
2
(x) – y
2
(x))dx; y(0) = y(π) = 0;
Уравнение Эйлера-Лагранжа: –2y′′ – 2y + 4cos(x) = 0;
y(x) = C
cos(x) + C2sin(x) – общее решение.
1
Пользуясь краевыми условиями, получаем:
y(x) = (C + x)sin(x); С∈R
1
.
Таким образом, получаем бесконечное множество экстремалей.
Пример 1. Определить экстремали в простейшей задаче
вариационного исчисления.
1
J(y) =
(y′2(x) + y′(x)y(x) + 12xy(x))dx; y(0) = y(1) = 0;
∫
0
Уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид: y′ - 2y′′ + 12x - y′ =
0;
2
следовательноy′ = 3x
3
y = x
y(0) = C
+ Cx +C1 - общее решение;
= 0;
1
+ C;
y(1) = 1 +C = 0; C = -1;
Таким образом, получена единственная экстремаль: y(x) = x
Пример 2. Определить экстремали в задаче.
1
y(x)
J(y) =
(e
∫
0
Уравнение Эйлера-Лагранжа: e
+ xy′(x) )dx; y(0) = 0; y(1) = 1;
y
- 1 = 0; ey = 1
3
– x.
не имеет решений, удовлетворяющих граничным условиям.
Таким образом, необходимые условия слабого локального минимума
позволяют доказать отсутствие решений в простейшей вариационной
задаче.
Пример 3. Определить экстремали в задаче:
J(y) =
π
(4y(x)cos(x) +y′
∫
0
2
(x) – y
2
(x))dx; y(0) = y(π) = 0;
Уравнение Эйлера-Лагранжа: –2y′′ – 2y + 4cos(x) = 0;
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
115
y(x) = C
cos(x) + C2sin(x) – общее решение.
1
Пользуясь краевыми условиями, получаем:
1
y(x) = (C + x)sin(x); С∈R
.
Таким образом, получаем бесконечное множество экстремалей
Задания для самопроверки и подготовки к экзамену, в том
числе тесты
РК1
1 . Условие указывающее, на открытую модель транспортной
задачи
n
≤
i
<
i
;
ba
∑∑
j
j
11
==
n
∑∑
j
11
==
B)
;
ba
j
E)
ь
i
ь
i
i
n
=
i
n
≥
∑∑
j
;
ba
∑∑
j
j
11
==
ba
j
11
==
C)
.
ь
i
n
≠
i
;
ba
∑∑
j
j
11
==
A)
D)
ь
i
ь
i
2 .Определите тип задачи
4)(
3
uuuI
1
inf
→+−=
2
{
,0
1
,0
2
2
1
2
2,4
3
1
0
=−=+−≥≥=∈
uuuuuuUu
2
A) Общая задача линейного программирования
B) Каноническая задача линейного программирования
C) Задача выпуклого программирования
D) Задача нелинейного программирования
E) Простейшая вариационная задача
3.Симплекс метод используется для решения
A) задачи линейного программирования в общей форме
B) задачи линейного программирования в канонической форме
C) задачи выпуклого программирования
D) задачи нелинейного программирования
E) задачи оптимального программирования
4.Укажите
верное утверждение
A) любая задача нелинейного программирования может быть
сведена к задаче выпуклого программирования
B) невырожденная задача нелинейного программирования может
быть сведена к задаче выпуклого программирования
C) задача выпуклого программирования является частным
случаем задачи линейного программирования
D) задача выпуклого программирования является частным
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
116
случаем задачи нелинейного программирования
E) задача нелинейного программирования является частным
случаем задачи выпуклого программирования
5.Какой из перечисленных методов может применяться для
решения задачи линейного программирования
A) метод наименьших квадратов
B) симплекс-метод
C) принцип максимума Понтрягина
D) метод динамического программирования Беллмана
E) любой из методов 1)-4)
6.Основные этапы симплекс метода:
A) построения опорного плана,
построения оптимального плана
B) построения базиса, построения плана
C) построения плана, заполнение таблицы
D) построения плана, поиск решения
E) вычисление методом прямоугольников, поиск решения
7.
⎧
b
b
r
a
rl
b
i
⎨
i
a
a
il
il
⎩
⎫
i
>= 0min
⎬
⎭
формула?
A) определение разрешающего стоблца в таблице
B) определение разрешающего стоблца
C) определение разрешающей строки
D) определение разрешающего элемента
E) определение разрешающей таблицы
задания для текущего, рубежного и промежуточного
контроля
Подготовить теоретический материал к темам
Математическая постановка задач оптимизации.
Классификация задач и методов оптимизации.
Линейное программирование.
Симплекс таблица. Критерии оптимальности. Построение
симплекс таблицы.
Двойственность в линейном программировании.
Транспортная задача.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
новой
117
\
=
Δ
=
≤
(
тестовые задания,
РК 2
1.Выберите правильное утверждение
A) Пересечение двух выпуклых множеств есть выпуклое
множество
B) Объединение двух выпуклых множеств есть выпуклое
множество
C) Если
n
EU ⊆
-выпуклое множество, то множество
n
выпукло
nn
D) Если
EUEU ⊆⊆21,
-выпуклые множества, то множество
также выпукло
E) Среди вариантов 1)-4) нет правильного ответа
()
2. Градиент
A)
C)
D)
E)
xU
определяется
=gradU
⎛
∂
∂
U
U
⎜
∂
⎝
=gradU
⎛
∂
⎜
∂
⎝
=gradU
⎛
∂
⎜
∂
⎝
⎛
=gradU
∂
⎜
⎜
∂
⎝
...,,,
∂
x
x
21
U
U
∂
...
+
x
x
∂
21
∂
U
x
2
x
U
dx
1
∂
x
1
U
2
1
2
2
∂
U
...,,,
2
∂
x
2
∂
∂
U
x
++
dx
n
U
∂
x
∂
2
2
∂
∂
x
⎞
; B)
⎟
⎠
⎞
;
⎟
n
⎠
∂
...,,,
∂
⎞
U
⎟
.
⎟
2
n
⎠
gradU
⎞
U
x
;
dx
⎟
n
n
⎠
⎧
⎨
⎩
1202555baba
;
=+=+50725
UE
также
UU \
21
3. Производная по направлению-
U
∂
l
∂
A)
U
∂
D)
=
y
∂
4.Функция
=
lim
lim
y
→Δ
U
Δ
;
l
Δ
0
l
→Δ
Δ
0
()
B)
U
E) .
;
y
Δ
2
2 uuuuuI +−=
1
2
U
∂
=
lim
yx
∂∂
U
∂
=
lim
x
∂
U
Δ
0
x
→Δ
2
221
на множестве
2
U
Δ
C)
;
yx
ΔΔ
0,
yx
→ΔΔ
x
2
U
∂
=
lim
2
l
∂
2
Δ
l
Δ
0
l
→Δ
n
EU
является
A) выпуклой
B) вогнутой
C) ни выпуклой, ни вогнутой
00
≥≥ uu ,
21
D) выпуклой при
E) выпуклой при
≤ uu ,
5.Определите тип задачи
2 =+≤− uuuu
,3
21
4
1
5
2
и вогнутой при
00
21
и вогнутой при
2
2
)
2 uuuI
2
1
inf→−=
A) Общая задача линейного программирования
B) Каноническая задача линейного программирования
C) Задача выпуклого программирования
U
;
2
00
≤≤uu ,
21
00
≥≥ uu ,
21
D) Задача нелинейного программирования
118
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
(
−
=
(
E) Простейшая вариационная задача
6.Определите тип задачи
,0
2
2
21
2,4
)
2 uuuI
2
≤+≤+≥ uuuuu
21
inf→
21
A) Общая задача линейного программирования
B) Каноническая задача линейного программирования
C) Задача выпуклого программирования
D) Задача нелинейного программирования
E) Простейшая вариационная задача
7.Какой из перечисленных методов может применяться для
решения задачи выпуклого программирования
A) метод множителей Лагранжа
B) симплекс-метод
C) метод наименьших квадратов
D) принцип максимума Понтрягина
E) метод динамического программирования Беллмана
)
задаче выпуклого программирования минимум функции
8.В
U
на множестве
A) только во внутренних точках множества
B) только в граничных точках множества
C) только в изолированных точках множества
D) во внутренних или граничных точках множества
может достигаться
U
U
U
U
uI
E) во внутренних, граничных, изолированных точках
U
множества
9. В задаче нелинейного программирования минимум функции
()
uI
на множестве U может достигаться
U
U
U
U
U
A) только во внутренних точках множества
B) только в граничных точках множества
C) только в изолированных точках множества
D) только во внутренних или граничных точках множества
E)во внутренних, граничных, изолированных точках множества
задания для текущего, рубежного и промежуточного
контроля
Подготовить теоретический материал к темам
Нелинейное программирование.
Экстремум функции.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
119
()(
)
∅≠=
I
(
=
λ
Необходимое и достаточное условие оптимальности в задачах
безусловной оптимизации.
Задачи безусловной минимизации.
Унимодальные функции.
Метод золотого сечения.
Метод дихотомии.
Задачи безусловной минимизации функции многих переменных.
Выпуклые множества и выпуклые функции.
Метод градиетов.
Метод прямого спуска.
Метод сопряженных градиентов.
Метод наискорейшего спуска.
Метод множителей Лагранжа.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Теоремы Куна-Таккера
A) определяют необходимые и достаточные условия того, что
множество
∈=
***
∈
Uu
}min/{
uIuIUuU
B) определяют необходимые и достаточные условия
)(u
существования у функции
Uuk⊂}{
минимизирующей последовательности
C) определяют необходимые и достаточные условия выпуклости
функции
()
uI
на выпуклом множестве
n
EU ⊆
D) определяют необходимые условия того, что в задаче
выпуклого программирования множество
()
=∈
***
)
}min/{
uIuIUuU
Uu∈
состоит из единственной точки
E) определяют необходимые и достаточные условия того, что в
задаче выпуклого программирования для каждой точки
что пара
() ()
=∈=
***
()
,λu
**
образует седловую точку функции Лагранжа
}min/{
uIuIUuU
Uu∈
существуют множители Лагранжа
Λ∈
0
такие,
2.Для решения задачи нелинейного программирования
используется
A) метод множителей Лагранжа
B) симплекс-метод
C) метод наименьших квадратов
D) принцип максимума Понтрягина
120
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.