Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации. Учебно-методический комплекс.pdf
СРС № 10
Тема Постановка задач вариационного исчисления
1
1) J(y) =
2) J(y) =
(y′2(x) + y′(x)y(x) + 12xy(x))dx; y(0) = y(1) = 0;
∫
0
1
y(x)
(e
∫
0
+ xy′(x) )dx; y(0) = 0; y(1) = 1;
3) J(y) =
π
(4y(x)cos(x) +y′
∫
0
2
(x) – y
2
(x))dx; y(0) = y(π) = 0;
Частные случаи уравнения Эйлера-Лагранжа:
1
y(x)+x
4) J(y) =
5) J(y) =
6) J(y) =
7) J(y) =
(e
∫
0
1
(y′
∫
0
(xy′(x) + y′
∫
−11
1
(y(x) - y′
∫
0
– y(x) – sin(x) )dx; y(0) = 0; y(1) = -1;
2
(x) )dx; y(0) = 0; y(1) = 1;
2
(x) )dx; y(-1) = 1; y(1) = 0;
2
(x) )dx; y(0) = y(1) = 0;
Формы контроля- письменная работа
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -10 неделя
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
4.
М.: Изд-во МГУ, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
91
СРС № 11
Тема Задача Больца
1) Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой y = y(x),
соединяющей точку M
(a, A) и M
0
гладкую кривую, время движения вдоль которой из точки M
будет минимальным.
M
1
2) Среди гладких кривых, соединяющих точки M
(b, B) со скоростью V = ky′. Найти
1
в точку
0
(0, 0) и M1(1, 1),
0
найти ту, которая при вращении вокруг оси Ox образует поверхность
наименьшей площади.
3) (Задача о брахистохроне).Найти гладкую кривую, соединяющую
точки M
(0, 0) и M1(x1, y1), при скатывании вдоль которой, под
0
действием силы тяжести материальной точки, зафиксированной
первоначально в точке M
, переместится в точку M1 за минимальное
0
время (трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь).
Формы контроля- письменная работа
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -11 неделя
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский
В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
4.Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
СРС №12
Тема Изопериметрические задачи
Формы контроля- реферат
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -12 неделя
92
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
4.Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
М.: Изд-во
МГУ, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
СРС №13
Тема Динамическое программирование
Формы контроля- реферат
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -13 неделя
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин
С.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
4.Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
СРС №14
Тема Модели Леонтьева и Неймана
Формы контроля- реферат
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -14 неделя
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
93
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
4.Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ
, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
СРС №15
Тема Задачи управления
Формы контроля- реферат
Объем в часах- 2 часа
Неделя семестра -15 неделя
Литература
1.Айсагалиев С.А., Айсагалиева С.С. Лекции по методам
оптимизации. – Алматы: Гылым, 1996. – 380 с.
2.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С
.В. Оптимальное
управление. М: Наука, 1979.
3.Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. М: Наука, 1969.
4.Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ, 1974.
5.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.
М.: Наука, 1980.
Тематика и краткое описание лабораторных и студийных работ
Планы семинарских, практических,
лабораторных и студийных
занятий
№
темы
Тема 1 Графический
Наименование
тем занятий
метод
решения
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
Содержание тем
Геометрическая
интерпретация ЗЛП.
Объем в
часах
1 1
Неделя
семестра
94
Продолжение таблицы
Тема 2 Поиск
максимума
линейной
функции
Тема 3 Поиск
минимума
линейной
функции
Тема 4 Симплекс
метод
решения ЗЛП
Тема 5 Метод
исскуственног
о базиса
Тема 6 Двойственая
задача ДП
Тема 7 Транспортная
задача
Тема 8 Проверка на
оптимальност
ь ТЗ
Тема 9 Задачи на
безусловный
экстремум
Тема
10
Задачи на
условный
экстремум
Тема
Задачи ВИ Решения задач с помощью
11
Тема
12
Простейшая
изопериметри
ческая задча
С помощью итерации наити
оптимальное решение.
С помощью итерации наити
оптимальное решение
С помощью алгоритма
симплекс метода наити
оптимальное решение
М-метод. С помощью
алгоритма метода
искусственного базиса
наити оптимальное решение
Связь прямой и
двойственной задачи.
Двойственный симплекс
метод.
Методы построения
опорного плана
Алгоритм метода
потенциалов
Нахождение значении
функции на интервале
Метод Лагранжа. Фунция
Лагранжа. Седловая точка
определения и теорем.
Нахождение решении с
помощью теорем.
Экстремаль функции
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
2 10-11
2 12-13
2 14-15
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
95
+
=
≤≥+−≥−
Методические разработки (рекомендации)
Тема Графический метод
Пусть ограничения заданы системой
bxaxa
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
..........
≥+
1212111
bxaxa
≥+
2222121
bxaxa
≥+
mmm
2211
Среди неотрицательных решений этой системы требуется найти
такое решение, при котором линейная функция
cxcxcL ++=
02211
принимает наибольшее(наименьшее) значение.Задача
геометрическим методом решается следующим образом.
Для каждой точки плоскости функция
значения
. Множество всех таких точек есть прямая
LL =
1
Lcxcxc =++
перпендикулярная вектору c(c1;c2), выходящему из
102211
принимает фиксированное
L
начала координат. Если эту прямую передвигать параллельно самой
себе в положительном направлении вектора
cxcxcL ++=
будет возрастать, а в противоположном направлении –
02211
, то линейная функция
c
убывать. Пусть при движении прямой Lв положительном
направлении –убывать. Пусть при движении прямой
в
L
положительном направлении вектора с она впервые встретится с
многоугольником решений в его вершине, тогда в этом положении
прямая
становится опорной, и на этой прямой функция L
L
L
1
принимает наименьшее значение .
При дальнейшим движении в том же направлении (положительном)
прямая
выходя из области, и станет опорный прямой
пройдет через другую вершину многоугольника решений,
L
; на ней функция L
L
2
принимает наибольшее значение .
Т.о минимизация и максимизация линейной функции
L
на
многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этого
многоугольника с опорными прямыми перпендикулярными вектору
c(c1;c2).
Пример: Максимировать линейную форму
ограничениях
xxxxx
.3,33,623
12121
22 xxL
при
21
Решение: Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств
построим область решений по уравнениям прямых:
.3,033,0623
==−+=+− xxxxx
12121
96
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
(
)
=−+
+−=
[
(
)
Тема Метод последовательного улучение плана
Пример 1:
Выберем в качестве базисных следующие переменные
Пусть
min
→−= xxxQ
54
xxx
541
=+−
xxx
542
=++
xxx
543
12
⎫
⎪
.
22
⎬
⎪
33
⎭
{}
,, xxx
321
и разрешим систему относительно этих переменных. Система
ограничений примет следующий вид:
21
xxx
⎫
541
⎪
.
xxx
⎬
542
⎪
xxx
543
⎭
и
0
=x
4
Τ
]
,
Переменные
, то получим угловую точку (опорный план)
0
=x
5
{}
являются небазисными. Если взять
, xx
54
которому соответствует
22
−+=
−−=
33
1
= 00321
x
1
0
=xQ
.
Значение целевой функции можно уменьшить за счет
увеличения
а
и
x
2
– уменьшаются. Причем величина
x
3
. При увеличении
x
5
отрицательной. Поэтому, вводя в базис переменную
одновременно
исключаем из базиса. В результате после
x
2
величина
x
5
также увеличивается,
x
1
раньше может стать
x
2
x
5
очевидных преобразований получим следующие выражения для
новой системы базисных переменных и целевой функции:
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
97
,
(
)
[
(
)
x
(
)
−+=
{
(
)
Соответствующий опорный план
+−=
22
xxx
⎫
425
⎪
+−=
−+=
51
2
= 20105
x
325
xxx
⎬
421
⎪
xxx
423
⎭
min2
→+−−= xxxQ
24
.
Τ
]
и
2
2
−=xQ
.
Целевую функцию можно уменьшить за счет увеличения
Увеличение
приводит к уменьшению только
x
4
базис переменную
x
, а
4
. Поэтому вводим в
x
3
исключаем из базиса. В результате
x
3
x
4
получим следующие выражения для новой системы базисных
переменных и целевой функции:
1
5
28
5
12
5
4
11
()
5
5
Соответствующий опорный план
целевой функции
3
(
)
11
−=xQ
. Так как все коэффициенты при
5
1
2
7
5
3
5
1
−+=
−−=
−−=
⎫
xxx
324
⎪
5
⎪
3
⎪
xxx
⎬
321
5
⎪
2
⎪
xxx
325
⎪
3
⎭
1
min
→++−= xxxQ
32
5
3
28
⎡
=
x
⎢
5
⎣
.
Τ
12
1
00
5
⎤
и значение
⎥
5
⎦
небазисных переменных в целевой функции неотрицательны, то
.
нельзя уменьшить целевую функцию за счет увеличения
следовательно, полученный план
3
является оптимальным.
Пример 2:
Переменные
Опорный план
98
Пусть имеем задачу
min
→−= xxxQ
21
1
≥
x
{}
x
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
- базисные, а
, xx
43
0
[]
= 2100
Τ
,
xxx
213
+−=
22
xxx
0
, xx
0
=xQ
⎫
⎪
.
⎬
214
⎪
⎭
- небазисные переменные.
}
21
0
.
x
2
или
,
x
3
−+=
(
)
(
)
∞
(
)
Теперь вводим в базис переменную
, а
x
1
исключаем из базиса.
x
4
В результате получим следующие выражения для базисных
переменных и целевой функции:
22
3
Опорный план
1
2
−=xQ
.
1
[]
= 0302
x
Τ
Теперь можно заметить, что при увеличении
и
x
1
также возрастают, то есть при
x
3
−∞→xQ
(задача не имеет решения).
xxx
⎫
421
⎬
xxx
−+=
32 xxxQ +−−=
⎭
423
.
42
, значение целевой функции
значения переменных
x
2
→
x
2
в допустимой области
Тема . Симплекс – метод
С помощью симплекс – метода можно решить любую задачу
линейного программирования (2.1). Он основывается на
последовательном переборе вершин допустимого множества в
направлении улучшения значения целевой функции.
Алгоритм симплекс – метода:
1) Привести задачу к каноническому виду.
2) Определить начальное допустимое базисное решение.
3) Исключить базисные переменные из
целевой функции.
4) Построить симплексную таблицу.
5) Проверить найденное начальное допустимое базисное решение
на оптимальность: если оно оптимально, то решение найдено, если
нет, шаг 6.
6) Найти переменную для включения в базис. Переменные
,…,xn небазисные. Находим наименьший из коэффициентов
x
m+1
′′
cc
. Пусть это коэффициент
+K,1
приведет к убыванию функции z. Будем выбирать столбец с
x
s
наименьшими значениями
nm
′
c
. Если все
j
′
c
. Если
s
′
c
j
′
0<
c
s
0≥
, то значение функции
, то увеличение
не может быть уменьшено, решение найдено.
2) Найти переменную для исключения из базиса. Следует
найти для каждой базисной переменной величину, на которую можно
увеличить x
=
′′
isiis
не нарушая условия неотрицательности
s
.,,2,1,/ miabx
K=
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
99
′
′
Чтобы не нарушалось условие неотрицательности ни для одной
базисной переменной следует выбрать
=
s
=/,...,2,1
{}
mi
Если этот минимум достигается в строке r , то x
′′
abminx
′
a
isi
is
.0>
обращается в 0.
r
Другие базисные переменные останутся неотрицательными. Элемент
′
a
называется ведущим элементом, строка r - ведущей строкой,
rs
столбец s - ведущим столбцом.
3) Построить новую форму задачи типа (14), (13) для
базисных переменных. Следует коэффициент при x
.
строке сделать равным 1, поделив строку на
коэффициенты при x
из других строк, прибавляя или вычитая
s
a
Затем исключить
rs
в ведущей
s
ведущую строку.
Пример 4.1. Решить задачу (1а).
Набор x
= x2 = 0, x3 =1700, x4 =1600 является БДР. Функция Z,
1
имеющая нулевое значение, выражена через небазисные переменные.
Коэффициенты при x
больше по модулю, выберем переменную x2 для изменения.
x
2
Существует предел изменения переменной x
(4) должны выполняться, и переменные x
и x2 отрицательные. Так как коэффициент при
1
поскольку ограничения
2
оставаться
3,x4
неотрицательными.
Поскольку 3x
Поскольку 2x
Поэтому x
+ 4x2 + x3 = 1700, то x3=0 при x2=1700/4=425.
1
+ 5x2 + x4 = 1600, то x4=0 при x2=1600/5=320.
1
= 320 =min{ 425, 320 }.
2
Этот итерационный процесс удобно представить в симплекстаблицах
итерация базис значе
ние
0 -z 0 -2 -4 0 0
x
3
x
4
1700 3 4 1 0
1600 2 5 * 0 1
x1 x
x
2
x
3
операции над
4
строками
''
0042
=+ ⋅
''
1142
=− ⋅
'
225
()
()
/=
()
1 -z 1280 -2/5 0 0 4
/5
x
3
x
2
420 7/5 * 0 1 -4/5
320 2/5 1 0 -1/5
′
'
1175
′
()
//=
()
′
−=
15/200
⋅+=
()
5/2122 ⋅
Ф КазНПУ 703-12-11. Учебно-методический комплекс дисциплины для обучающегося. Издание третье.
100