Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика обучения математике в условиях внедрения новых стандартов
.pdf
31
8. Шумихина В.В. Использование «разрезных» теорем на уроках геомет-
Количество ответов на вопросы при повторе-
нии темы
Количество продемон-
стрированных решений
практических заданий
Количество вы-
полненных
практических
заданий
Итоговое (сум-
марное) количе-
ство баллов
рии/ В.В. Шумихина // Математика в школе. – 1994. – №3.
Параметры оценивания
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Деятельностный подход к работе с теоремами
Цели работы:
- формирование умений по конструированию фрагментов учебного
процесса, направленного на «открытие» математического факта учащимися;
- формирование умений по моделированию компонентов структуры
учебной деятельности учащихся, направленной на овладение теоремами на
основе учета принципов генетического подхода;
- формирование умений по отбору и конструированию учебных ма-
териалов и средств обучения, необходимых для генетического подхода к
изучению теорем.
План занятия
1. Проверка и обсуждение задания для самостоятельной работы.
2. Обсуждение теоретических вопросов.
3. Выполнение практических заданий.
Вопросы для обсуждения на занятиях
- Раскройте содержание этапов изучения теоремы.
- Что значит «доказать теорему»? Какие методы доказательства Вы
знаете?
- Раскройте содержание этапов формирования математических по-
нятий.
- Какие приемы можно использовать для мотивации изучения тео-
ремы?
Практические задания
Задание 3. Составить таблицы достаточных признаков равенства от-
резков.
32
Методический комментарий.
Заметим, что указанная выше работа не только нужна в качестве
пропедевтики обучения школьников доказательствам в систематическом
курсе геометрии, но она играет существенную роль уже при изучении курса математики 5–6 классов.
Основная идея генетического подхода к изучению теорем – это поиск и открытие нового факта, заложенного в теореме. В этой связи необходимо организовывать проблемную ситуацию, строить подводящие диалоги, составлять задачи, основная цель которых способствовать «открытиям»
учащихся. Для самостоятельного получения формулировок теорем можно
использовать различные построения, вычисления, измерения, модели. Например, перед изучением теоремы Фалеса целесообразно построить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные отрезки, через их
концы провести параллельные прямые и измерить получившиеся отрезки
на другой стороне угла. Сопоставление результатов, полученных разными
учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного отношения.
Задание 5. Разработайте учебные материалы (вопросы для бесед, за-
дания, подсказки), выполнение которых организует деятельность учащихся
на «открытие» свойств равнобедренного треугольника.
Задание 7. Постройте модель деятельности учащихся и учителя на
этапе мотивации изучения теоремы Пифагора (Виета) через создание проблемной ситуации и постановку вопросов учащимися.
Задание 8. Разработайте содержание и организацию работы учащихся на этапах формулировки свойств ромба, мотивации необходимости их
доказательства. Перечислите используемые методы познания.
Задание 9. Смоделируйте ситуацию по анализу математического утверждения и обучению учащихся постановке вопросов к нему.
Задание 10. Опишите ситуацию по поиску зависимостей между эле-
ментами треугольника с помощью цифровых образовательных ресурсов,
например, программы «Живая математика». Какие приемы мыслительной
деятельности использованы?
Задание 12. Проведите поиск идеи доказательства теоремы о сумме
углов треугольника аналитическим методом в вопросно-ответной форме.
Задание 13. Учитель запланировал решить на уроке задачу: «По разные стороны от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4
см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка AB до прямой а».
Составьте этап поиска способов решения данной задачи (не менее 2-х способов).
Задание 14. Рассмотрите различные способы доказательства теоре-
мы Пифагора. Какие из них и как могут быть использованы на этапе поиска доказательства теоремы?
33
Задание. Разработайте учебные материалы, средства обучения, не-
обходимые для раскрытия содержания теоремы Пифагора учащимися.
Задание 15. Смоделируйте учебную деятельность учащихся, направ-
ленную на установление связи теоремы Пифагора с другими утверждениями.
Задание 16. Разработайте учебные материалы и средства обучения,
использование которых позволит «визуально» доказать формулы сокращенного умножения.
Задание 17. Самостоятельное доказательство теоремы облегчается
при наличии плана. Составьте план аналитического доказательства теоремы: «Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних
односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны».
Задание 18. Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и
после ее доказательства. Проиллюстрируйте такую работу на конкретном
примере.
Задание 19. Для закрепления теоремы полезны задачи, имеющие
прикладной характер. Определите, для усвоения какой теоремы можно
предложить учащимся следующую задачу: «Земельный участок имеет
форму треугольника со сторонами 50, 60 и 70 м, а соответствующие стороны на плане равны 5, 6 и 7,5 см». Верно ли начерчен план? Составьте задачу прикладного характера, решение которых требует применения теорем
из курса геометрии.
Задание 20. Опишите работу по составлению родословной теоремы
косинусов.
Задание 21. Приведите примеры задач, которые позволяет решить
теорема косинусов.
Задание 22. Подберите задачи, предлагаемые учащимся с целью вы-
полнения ими действия распознавания объектов, к которым применима
теорема Пифагора.
Задание23. Опишите организацию работы класса по выделению дей-
ствий, составляющих умение применять признаки равенства треугольников
и разработать систему упражнений, ориентированную на их усвоение.
Задание 24. Проанализируйте задачи по теме «Сумма углов в треугольнике» с целью выяснения возможности составления задач - аналогов,
обобщений.
Задание 25. Составить методическую разработку учебного материа-
ла, включающую генетический анализ, по изучению теоремы о площади
трапеции. (Анализ изучаемого материала с исторической точки зрения позволяет проектировать материал на основе задач на разрезание).
Задание для самостоятельной работы
Задание. Используя технологическую цепочку изучения теоремы,
выделить этапы, целесообразные с точки зрения генетического подхода к
34
обучению математике и на ее основе разработайте методику изучения тео-
Количество ответов на вопросы при повторе-
нии темы
Количество продемон-
стрированных решений
практических заданий
Количество вы-
полненных
практических
заданий
Итоговое (сум-
марное) количе-
ство баллов
ремы о средней линии треугольника.
Параметры оценивания
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
Формирование познавательных УУД при освоении
учебно-научного текста. Методы усвоения и приемы закрепления
математических предложений.
Вопросы для повторения
1. Этапы изучения математических предложений.
2. Способы введения определений, аксиом и теорем.
3. Методы усвоения математических предложений.
4. Виды повторения и формы его организации.
5. Приемы работы с учебно-научным текстом. УУД при освоении учени-
ком текста.
Практические задания
1. Наиболее распространены три метода обеспечения усвоения матема-
тических предложений: раздельный, компактный и алгоритмический.
Первый метод предполагает раздельное (неодновременное) протекание
процессов запоминания определений, теорем, аксиом и формирования
навыков применения полученных знаний. Приведите пример обеспечения усвоения понятия равнобедренного треугольника раздельным
методом.
2. Продемонстрировать работу учителя и учащихся по усвоению ком-
пактным методом: определения «биссектрисы», формулы сокращенного умножения, правила нахождения произведения двух отрицательных
чисел.
3. Приведите примеры алгоритмов, содержащихся в определениях, фор-
мулировках теорем, правилах.
35
4. Приведите пример применения алгоритмического метода для усвоения
математических предложений в 5-6 классах.
5. Составьте упражнение с готовыми чертежами для усвоения понятия
компактным методом.
6. Выберите из учебников алгебры и геометрии по одному понятию и
проследите по упражнениям учебника направленность их на усвоение
определений этих понятий.
7. Составьте упражнения для усвоения понятия «симметрия» с использо-
ванием сравнения.
8. Выберите некоторое определяемое понятие, вводимое в 7 классе. Раз-
работайте систему вопросов и заданий ученику с целью выявления и
оценки уровня усвоения этого понятия.
Уровни усвоения учащимися понятия можно представить в виде
следующей последовательности. Учащийся:
узнает понятия,
знает формулировку определения,
понимает значение каждого слова, отделяет существенные свой-
ства от несущественных,
может привести собственные примеры объектов, подходящих
под определение,
может доказать, почему некоторый объект подходит под опре-
деление, а другой нет,
может использовать понятия в явных ситуациях при решении
задач,
может использовать понятия в неявных ситуациях, при решении
нестандартных задач.
9. Учителя математики в качестве опорных сигналов иногда используют
план. В таких планах при изучении геометрических теорем вместо одного чертежа дается ряд рисунков, иллюстрирующих последовательность построений. Методика работы с теоремой такова: учащиеся читают по учебнику доказательство теоремы, иллюстрируя все рассуждения на модели, и составляют план примерно в таком виде:
Тема.
Формулировка теоремы.
Дано:
Доказать:
План доказательства:
Обоснование.
Составьте памятку по составлению плана изучения теоремы для учащихся.
10. Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и после ее до-
казательства. Проиллюстрируйте такую работу на конкретном примере. Какие познавательные УУД при этом формируются у учащихся?
36
11. Для закрепления теоремы полезны задачи, имеющие прикладной ха-
Количество от-
ветов на вопросы
при повторении
темы
Количество продемонст-
рированных решений
практических заданий
Количество
выполненных
практических
заданий
Итоговое (сум-
марное) количе-
ство баллов
рактер. Определите, для усвоения какой теоремы можно предложить
учащимся следующую задачу. Задача: Земельный участок имеет форму треугольника со сторонами 50, 60 и 70 м, а соответствующие стороны на плане равны 5, 6 и 7, 5 см. Верно ли начерчен план? Составьте
задачу прикладного характера, решение которых требует применения
других теорем.
12. Составьте родословную теоремы косинусов.
13. Приведите примеры на применение различных приемов закрепления
математических предложений.
14. Сформулируйте задание к уроку геометрии направленное на самостоя-
тельный поиск информации учащимися 8 класса, на работу с различными источниками информации.
15. Разработайте карточки-таблицы (с пропусками) для доказательства
любой из теорем курса геометрии 8 класса.
16. Составьте дидактический материал по закреплению теорем и опишите
методику работы с этим материалом.
Литература
1. Блох А.Я. Методика преподавания математики в средней школе. Об-
щая методика: Учеб пособие для студентов /А.Я. Блох и др. – М.: Просвещение, 1985.
2. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя матема-
тики: кн. для учителя/ Я.И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 224с.
3. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству матема-
тических предложений: кн. для учителя/ В.А. Далингер – М.: Просвещение, 2006.
4. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельно-
стного подхода: кн. для учителя/ О.Б. Епишева. – М.: Просвещение,
2003.
5. Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе.
Общая методика: Учеб пособие для студентов физ.-мат. фак. ин-тов/
В.А.Оганесян, Ю.П. Колягин. – М., 1980.
Параметры оценивания
37
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Организация проблемного обучения
Цели:
- актуализация знаний о проблемном методе обучения;
- формирование умения по отбору методов обучения, адекватных
путям развития математических знаний.
План занятия.
1. Проверка и обсуждение задания для самостоятельной работы.
2. Обсуждение теоретических вопросов и формулировка соответствую-
щих выводов.
3. Выполнение практических заданий.
Вопросы для обсуждения на занятиях
- Проанализировав соответствующую литературу, дать краткую ха-
рактеристику проблемному обучению.
- Раскрыть смысл основных понятий (проблемная ситуация, про-
блемный вопрос).
- Перечислить достоинства и недостатки метода целесообразных за-
дач как разновидности эвристического метода
- Раскрыть сущность вопросно-ответного метода.
- Выделите типы проблемных ситуаций можно использовать на эта-
пе мотивации при обучении математике.
Практические задания
Задание 1. Приведите пример организации проблемной ситуации на
этапе мотивации при изучении неравенства треугольника.
Задание 3. Составьте учебные материалы для выведения правил
сложения дробей с разными знаменателями через эвристическую самостоятельную работу. Опишите проблемное изложение этого материала.
Задание 4. Организуйте постановку проблемной ситуации по откры-
тию свойств равнобедренного треугольника.
Задание 5. Составьте «побуждающий» диалог на поиск оптимально-
го пути решения квадратных неравенств с помощью графиков.
Задание 6. На плоскости даны две точки А и В. Как расположена
точка Р, если выполняется условие АР=ВР? Из данной проблемы сформулируйте новую, выполнив замену условий: 1)заменить плоскость на прямую, 2) изменить число точек, 3) заменить равенство на отношение длин
отрезков.
38
Задание 7. Опишите ситуацию по выдвижению и проверке гипотезы
о свойствах линейной функции, используя возможности программы «Живая математика».
Задание 8. Разработать упражнения следующих типов к теме «Деся-
тичные дроби»:
-на распознавание объектов, принадлежащих понятию;
-на выведение следствий;
-на конструирование объектов, принадлежащих понятию;
-на осознание места понятия в системе понятий;
-на построение схем для систематизации материала.
Задание 9. Выберите методические приемы создания проблемной
ситуации, соответствующие принципам генетического подхода и смоделируйте их применение на конкретных ситуациях:
1)наблюдение с использованием различной наглядности, в результа-
те которого выделяются общие и существенные свойства наблюдаемых
объектов;
2)опыт или практическая работа исследовательского характера, в ре-
зультате которой накапливаются данные для индуктивного умозаключения;
3)отыскание ярких практических примеров, показывающих необхо-
димость изучения нового понятия;
4)моделирование при отделении необходимых свойств от самих
объектов и их фиксировании при помощи символов, терминов, схем;
5) варьирование несущественных свойств объектов при сохранении
существенных свойств, что создает основу для их обобщения;
6)обзоры изученного или исторические обзоры, показывающие кор-
ни нового в старом или аналогии нового со старым;
7)решение задач, в ходе которого появляется необходимость введе-
ния нового понятия.
Методический комментарий.
Рассмотрим краткое содержание каждого этапа структуры матема-
тического исследования.
Постановка и выделение проблемы. При подготовке к применению
генетического подхода в обучении необходимо научиться ставить или выделять проблемные ситуации. Постановке проблемной ситуации способствуют умения: анализировать изученный материал, ставить вопросы по отношению к окружающей действительности, подбирать задания, ведущие к
классификации, наблюдение опыта, который содействует постановке проблем и открытию нового факта, постановка эксперимента.
Наиболее характерной для уроков математики является проблемная
ситуация «с затруднением». В ее основе лежит противоречие между необходимостью выполнить практическое задание учителя и невозможностью
это сделать без сегодняшнего нового материала. Проблемная ситуация «с
39
затруднением» возникает, когда учитель дает ученикам практическое задание: а) невыполнимое вообще на актуальном, на начало урока уровне знаний; б) невыполнимое из-за непохожести на предыдущие задания; в) невыполнимое, но сходное с предыдущим.
В первых двух случаях ученики, не справившись с заданием, испытывают явное затруднение. В третьем случае школьники, не замечая
подвоха, применяют уже известный способ, и затруднение возникае т
лишь после того, как учитель доказывает, что задание ими все-таки не
выполнено.
Для вывода учеников из проблемной ситуации учитель разворачивает диалог, побуждающий их к осознанию противоречия и формулированию проблемы. Поскольку проблемные ситуации создаются разными
приемами, то на шаге осознания противоречия текст диалога будет разным.
Осознание сути затруднения, возникшего после предъявления того или
иного невыполнимого практического задания, стимулируется соответственно фразами:
«Вы можете выполнить это задание? В чем затруднение?»
«Почему не получается выполнить задание? Чем это задание не
похоже на другие?»
«Что вы хотели сделать? Какие знания применили? Задание вы-
полнено?»
Осознание учениками противоречивости двух фактов или мнений
можно добиться репликами: «Что вас удивляет? Какие видите факты?
Сколько же есть мнений?»
Выдвижение гипотез и их проверка. Гипотеза выдвигается в случае,
если уже существует некий вопрос, и имеются различные варианты ответов на него. Остается привести аргументы в пользу одного из вариантов
решения. Эти аргументы позволяют выдвинуть наиболее правдоподобную
гипотезу. Сформулированная гипотеза подвергается дальнейшим исследованиям, которые могут ее либо подтвердить, либо отвергнуть. Так действует математик в процессе выдвижения гипотез.
Значительную часть теоретического материала по геометрии составляют теоремы. Поэтому суть генетического подхода состоит в том, что
учитель должен помочь ученикам «открыть» новые факты, составляющие
содержание теорем. Существует три возможности обеспечить такое открытие на уроке. Первый путь лежит через гипотезы и включает два разных
шага.
Первый шаг – выдвижение гипотезы. Выдвинуть гипотезу – значит
высказать предположение, истинность или ложность которого должна установить проверка. Та гипотеза, которая выдержит проверку и станет искомым знанием, называется решающей, остальные ошибочными.
Второй шаг – проверка гипотезы. Смысл проверки состоит в приведении аргумента в пользу решающей гипотезы или контраргумента к оши-
40
бочной. Есть два разных способа выдвижения и проверки гипотезы на уроке, любой из шагов делает учитель по своему выбору:
Учащиеся самостоятельно выдвигают и проверяют гипотезу;
Учитель в диалоге побуждает учеников к выдвижению или про-
верке гипотезы.
При генетическом подходе к обучению эффективен подводящий
диалог, который в одном случае разворачивается от четко сформулированной проблемы, а в другом – вообще без всякой проблемы.
Изучение и анализ данных и искомых. Одним из важных этапов методической подготовки к обучению математике с привлечением генетического подхода является овладение приемами выполнения понятийно
структурного анализа. Понятийно-структурный анализ преследует цель
выработать у учащихся умение сопоставлять изученные факты, отыскивать
новые связи и отношения. С этой целью составляются системы упражнений:
-на распознавание объектов, принадлежащих понятию;
-на выведение следствий;
-на конструирование объектов, принадлежащих понятию;
- на осознание места понятия в системе понятий;
-на построение схем для систематизации материала.
Построение математической модели. Следующий этап – это этап
построения математической модели выдвинутой проблемы.
Пример организации проблемной ситуации.
Постановка проблемы осуществляется с опорой на изображение
разностороннего треугольника АВС, в котором проведены: высота BD,
медиана BE и биссектриса BF.
Учитель: «Указать основание треугольника, стороны, составляющие
угол при вершине, углы, прилежащие к основанию. Какие вопросы можно
сформулировать?»
Ученики:
- Как убедиться, что BD- высота, BE -медиана и BF- биссектриса?
- Какие из этих трех элементов остаются без изменения, а какие из-
меняются при изменении длины сторон АВ и АС треугольника АВС?
Учитель: «Какой вывод можно сделать из наблюдений?»
Ученики: «Медиана, высота и биссектриса угла при вершине в некоторых треугольниках сливаются в одно».
Учитель: «Как убедиться, что явление, которое мы наблюдаем, не
случайно, а свойственно некоторому виду треугольников?»
Ученики: «Выяснить для какого вида и доказать этот факт».
Учитель: «Что произошло с треугольником АВС, когда мы провели
биссектрису угла В?»
Ученики: «Треугольник АВС разбился на два треугольника: АВD и
СВD».
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]