Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика обучения математике в условиях внедрения новых стандартов
.pdf
21
- формирование умения выделять существенные свойства понятия,
- формирование умения формулировать определение понятия,
- выяснить на наглядных примерах объем понятия,
- формирование умения выделять существенные свойства,
- формирование представления схемы развития понятия,
- формирование умения устанавливать связи между понятиями,
- формирование умения решать задачи практического характера на
применение понятия.
Задание 2. Составьте схему процесса формирования понятий при генетическом подходе и охарактеризуйте каждый этап: анализ ранее изученного материала; создание проблемной ситуации; постановка новых естественных вопросов; выделение свойств, которые составят определение; формулировка определения учащимися; понятийно-структурный анализ; развитие приложений.
Задание 3. Используя материал, носящий историко-математическую
направленность, составьте задания для проведения этапа мотивации.
Задание 4. Приведите примеры заданий для мотивации изучения отрицательных чисел. Логический аспект генетического подхода подразумевает мотивацию введения нового понятия потребностями развития самой
математики. В этой связи необходимо предусмотреть составление мотивационных заданий на усмотрение внутренней логики предмета.
Задание 5. Составьте серию заданий, при выполнении которых уча-
щиеся на основе анализа уже изученного материала, выделят объекты для
дальнейшего изучения.
Методический комментарий.
Введение нового понятия предполагается на основе анализа изученного материала или предложенных примеров, вызывающих проблемную
ситуацию, и «открытия» определения учащимися при соответствующей
помощи учителя. Попробуйте составить систему «наводящих» вопросов
для создания проблемной ситуации и спрогнозировать предположительные
ответы на них.
Задание 6. Составьте модель деятельности группы учащихся по самостоятельному поиску различных случаев взаимного расположения фигур и описания их на математическом языке. Предполагаемый результат
оформите в виде таблицы. Чтобы учащиеся нашли все случаи взаимного
расположения фигур, составьте соответствующие подсказки-указания.
Задание 7. Опишите проблемную ситуацию, показывающую необ-
ходимость введения понятия «угол треугольника», которая позволит мотивировать введение и последующее изучение понятий внутреннего и внешнего углов треугольника.
Задание 8. Опишите, как организовать исследовательскую деятель-
ность учащихся под руководством учителя, ориентирующую на постановку вопросов к понятию «модуль числа».
22
Методический комментарий.
Существуют три группы упражнений на выявление существенных
свойств понятия:
1. Упражнения, в которых учащимся предъявляется множество объек-
тов, обладающих какими-либо важными общими признаками.
2. Упражнения на выделение из окружающей действительности объ-
ектов, обладающих определенными свойствами.
3. Упражнения на конструирование моделей фигур, при выполнении ко-
торых учащиеся самостоятельно выделяют существенные свойства понятия.
Третью группу упражнений предлагаем конкретизировать как само-
стоятельное конструирование (изображение, моделирование, вербальное
описание) множества объектов учащимися через объединение, пересечение и различные комбинации отношений.
Упражнения, направленные на поиск формулировки определения
того или иного понятия, должны содержать материал, позволяющий учащимся самостоятельно выявлять различные свойства данного понятия.
Задание 9. Разработайте учебные материалы, необходимые для вы-
полнения действия выделения существенных свойств понятий «параллелограмм», «квадратное уравнение» и формулировки определений.
У ученика сформировано понятие, если он овладел предпонятием и
мыслит объект в системе понятий, т.е. может выделить понятия, для которых данное является максимальной подсистемой, и понятия, для которых
данное является ближайшим родом». При этом предполагается, что из набора существенных свойств объекта он может выделять достаточный и
необходимый набор и формулировать определение понятия.
Задание 10. В методической литературе выделяют два способа формирования понятия. Обсудите особенности каждого и сделайте вывод, относительно способа, который позволяет реализовать генетический подход
в обучении и дает возможность учащимся самостоятельно определять понятие.
Задание 11. Для усвоения логической структуры определения поня-
тия в систему упражнений включить задания на выполнение действия
«подведения под определение объекта». Действие «подведение под определение объекта» состоит из следующих операций: 1) вычленение всех
свойств, зафиксированных в определении; 2) установление логической связи между родом и видовым отличиями; 3) проверка наличия у примера,
подводимого под определение объекта, отмеченных свойств и их связей;
4) получение вывода – объект принадлежит к классу объектов, зафиксированных в определении, или нет. Выполните действия «подведение под определение объекта» для следующих определений: «симметричные точки»,
«линейная функция».
23
Задание 12. Разработать систему упражнений, направленную на
обучение учащихся самостоятельному формулированию определений понятий.
Задание 13. Докажите, что нижеперечисленные определения ошибочны: прямоугольником называется четырехугольник, у которого диагонали равны; прямоугольником называется четырехугольник, имеющий
хотя бы два прямых угла; параллелограммом называется четырехугольник,
две противоположные стороны которого параллельны; параллелограммом
называется многоугольник, противоположные стороны которого попарно
равны; квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.
Задание 14. Используя методы усвоения математических предложений, продемонстрируйте работу по усвоению определения трапеции.
Следующие упражнения связаны с выведением следствий из принадлежности объекта заданному понятию. Целесообразно использовать
школьные учебники с целью обобщения школьного курса.
Задание 15. Проведите анализ школьных учебников с целью выяв-
ления в них заданий на формирование действия выведения следствия из
того факта, что объект принадлежит к классу объектов, характеризуемых
определением.
Задание 16. Составить систему устных вопросов и упражнений, направленных на формирование умений осуществлять анализ и синтез, учитывая: дифференцированность заданий по степени сложности; четкое понимание стратегии постановки вопроса; проектирование возможных ответов на поставленные вопросы.
Задание 17. Составьте задачи, предлагаемые учащимся с целью
формирования действия выведения следствий из того факта, что объект
принадлежит к классу объектов, характеризуемых определением, таким
образом, чтобы их условия были представлены в наглядной и словесной
формах.
Методический комментарий.
Рассматривая формирование мышления учащихся, необходимо в
первую очередь думать о формировании основных приемов мыслительной
деятельности – об анализе и синтезе. В процессе формирования этих приемов можно использовать вопросы: «Мы имеем некоторое утверждение,
какие следствия из него можем получить? Мы хотим доказать утверждение, что для этого надо знать?».
В качестве ориентиров можно использовать готовые шаблоны: «Дан
…. Какими свойствами обладает его …?» или «Что надо знать про …, чтобы утверждать, что он …?». Задачи этого вида закладывают возможность
использования таких важных понятий, как признак объекта и достаточные
условия его существования.
24
Проверка умения выводить следствия из факта принадлежности
Количество ответов на вопросы при повторе-
нии темы
Количество продемон-
стрированных решений
практических заданий
Количество вы-
полненных
практических
заданий
Итоговое (сум-
марное) количе-
ство баллов
объекта заданному понятию проводилась еще на этапе усвоения логической структуры определения. Следующие задания предполагают организацию таких видов деятельности как: переосмысление элементов фигуры в
плане другого понятия; мысленное переконструирование чертежа. Упражнения на формулирование эквивалентных определений способствуют систематизации школьных знаний.
Одна из основных идей генетического подхода – установление свя-
зей между понятиями, требует тщательной проработки этапа систематизации понятий на различных упражнениях. Прослеживание генезиса понятия
невозможно без выяснения места данного понятия в системе других понятий, переосмысления объекта с точки зрения других. Поэтому процесс
классификации понятий является важным этапом формирования нового
понятия при генетическом подходе к обучению.
Задание 17. Составить различные задания для классификации четы-
рехугольников учащимися, не указывая основания классификации.
Задание 18. Одним из основных видов деятельности по формированию понятий является выполнение специальной системы упражнений.
Анализ школьных учебных пособий по геометрии, традиционно используемых в школах, показал, что среди предлагаемых заданий почти отсутствуют упражнения на выяснение места данного понятия в системе других
понятий. Дополните систему заданий собственными задачами на осознание
связей нового понятия с ранее изученными.
Задания для самостоятельной работы
Разработайте методику формирования понятия «функция» при генетическом подходе к обучению математике.
Параметры оценивания
25
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3
Методика работы с теоремой
Вопросы для повторения
1. Аксиомы. Постулаты. Математические предложения и утверждения.
2. Структурные элементы теоремы.
3. Формы теорем.
4. Методы доказательства теорем.
5. Основные этапы работы над теоремой. Особенности методики осуще-
ствления интеллектуального развития учащихся в процессе работы над
теоремой.
6. Средства реализации интеллектуального развития учащихся в процес-
се работы над теоремой.
7. Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне
учебных действий) при работе с теоремой.
Практические задания
1. На конкретных примерах покажите переход от категоричной форму-
лировки теоремы в условную и, наоборот, от условной к категоричной.
2. Сформулируйте а) в условной форме: теорему Пифагора, теорему о
сумме углов треугольника, теорему о средней линии трапеции; б) в категоричной форме: признаки равенства треугольников, признаки параллельности прямых.
3. Имея некоторую теорему, образуйте обратную, противоположную и
обратную противоположной. Установите, какие из них истинны.
4. Приведите примеры теорем, обратные предложения к которым не вер-
ны.
5. Выполните логико-математичесий анализ утверждения «В параллело-
грамме противоположные углы и стороны равны». Для этого ответьте
на вопросы. В какой форме сформулировано утверждение? Сформулируйте утверждение в импликативной форме. Выделите разъяснительную часть. Выделите условие и заключение утверждения. Установите
в зависимости от числа условий и заключений, является ли данное утверждение простым или сложным.
6. Сформулируйте какую-нибудь теорему в форме необходимого и дос-
таточного условия.
7. Умение устанавливать причинно следственные связи можно формиро-
вать, используя следующие упражнения: вместо многоточий поставьте
слова «необходимо, но не достаточно», «достаточно, но не необходимо», «не необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» –
так, чтобы получились верные утверждения:
26
А) для того чтобы число было меньше 14, … , чтобы оно было
меньше 15;
Б) условие (х²+1)(х-2)>0 является … для того, чтобы выполнялось
х>2;
В) для выполнения равенства |х+2|=|у–3| … выполнение (х+2)=(у–3).
Выполните данное упражнение и составьте аналогичное из 5 заданий
для учащихся 5-6 классов
8. На основе материала курса геометрии 8 класса и правил вывода логи-
ческих высказываний разработайте проверочный набор заданий типа:
«Следует ли из таких-то посылок такое-то заключение? Почему?».
9. Подберите по 2 примера, иллюстрирующих пропедевтическую работу
по подготовке учащихся к доказательству, по основным направлениям:
а) формирование у учащихся умения подмечать закономерно-
сти (формулировки таких заданий могут быть следующими: продол-
жить числовой ряд, вставьте пропущенное число, установите закономерность и укажите недостающее число, исключите лишнюю фигуру
или лишнее слово и т.д.);
б) воспитание у учащихся понимания необходимости доказа-
тельства (полезными могут оказаться примеры зрительных иллюзий
или примеры, убеждающие учащихся, что на основании экспериментов, даже многочисленных, нельзя делать общих выводов. Например,
утверждается, что формула n² + n+ 41 является формулой простого
числа. На самом деле, при изменении n от 1 до 39 выражение n² + n+
41 является простым числом, однако при n = 40 – это число составное).
в) ознакомление учащихся с простыми и сложными высказы-
ваниями и значениями их истинности (это могут быть задания на
определение истинности высказываний: если 12 делится на 6, то 12 делится на 3 или задания на разбор различных логических структур);
г) ознакомление учащихся с понятием отрицания высказыва-
ний и с понятием противоречивых высказываний (приведем при-
меры таких заданий. 1) Выясните, могут ли быть одновременно верными (неверными) следующие высказывания: а больше с, а меньше с ;
прямая а параллельна прямой с, прямая с перпендикулярна прямой а. 2)
Составьте отрицания высказываний: весь наш класс присутствовал на
мероприятии ; число 287 делится на 2.
д) обучение учащихся умению выделять различные конфигу-
рации на одном и том же чертеже (например, провести прямую со-
держащую одну из сторон треугольника, а также медиану из любой
вершины и поставить вопрос: сколько углов изображено на рисунке):
е) обучение учащихся умению пользоваться контрпримерами
(учащимся 5-6 классов может быть предложено задание: приведите
контрпримеры, доказывающие ложность следующих высказываний:
27
любое число, оканчивающееся единицей, делится на 3; любая фигура,
имеющая три угла, является треугольником).
10. Предложите задание, выполнение которого организует деятельность
учащихся на получение формулировки теоремы о свойстве медианы в
равнобедренном треугольнике, то есть, демонстрирующее использование генетического подхода к поиску некоторого факта.
Для самостоятельного получения формулировок теорем учащиеся
могут использовать различные построения, вычисления, измерения,
модели. Например, перед изучением теоремы Фалеса учащихся просят
построить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные
отрезки, через их концы провести параллельные прямые и измерить
получившиеся отрезки на другой стороне угла. Сопоставление результатов, полученных разными учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного отношения.
11. Подберите по одному примеру к каждому приему мотивировки необ-
ходимости изучения теорем: а) обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык, в) показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач, с) показ, как решалась данная проблема в истории науки.
12. Составьте задания для осуществления мотивации при изучении тео-
рем: признаков равенства треугольников; теоремы о сумме углов треугольника; теоремы Пифагора; признака перпендикулярности прямой
и плоскости.
13. Известен признак параллелограмма: если две стороны четырехуголь-
ника равны и параллельны, то этот четырехугольник является пара ллелограммом. Ниже приведены три доказательства этого факта. Определите, в каком из доказательств использован метод восходящего
анализа, нисходящего анализа, а в каком – синтетический метод? Какие знания необходимо актуализировать перед доказательством? Перечислите их.
Доказательство 1. Пусть четырехугольник ABCD таков, что АD || ВС (*),
АD = ВС (**). 1) Из условия (*) следует, что <ВСА = < DАС. 2) Из этого
равенства, из условия (**) и того факта, что диагональ АС является общей
стороной треугольников ВСА и DАС, следует равенство этих треугольников. 3) Из равенства треугольников следует, что <DСА= <ВАС. 4) Из равенства этих углов следует, что АВ || СD. 5) Из этого соотношения и условия (*) следует, что АВСD – параллелограмм.
Доказательство 2. 1) Для доказательства «параллелограммности» четырехугольника АВСD нужно доказать попарную параллельность противоположных сторон. В силу условия (*) достаточно доказать, что <САВ =
<АСD. 3) Для доказательства равенства углов достаточно доказать, что
они дежат против равных сторон в равных треугольниках. 4) В силу условия (**) эти углы действительно лежат против равных сторон ВС и АD
28
соответственно в треугольниках САВ и АСD. Теперь достаточно доказать
равенство названных треугольников. 5) Равенство треугольников действительно имеет место, поскольку АС – их общая сторона, АD =ВС по условию(**), а из условия (*) следует, что <АСВ = <САD.
Доказательство 3. 1) Если допустить, что АВСD – параллелограмм, то
получим, что СВ || АD и АВ || СD.2) Из параллельности сторон следует, что
<АСВ = <САD и <АСD = <САВ. 3) По признаку равенства треугольников
получаем, что треугольники АСВ и САD равны. 4) Отсюда следует, в частности, что СВ =АD и <АСВ = <САD. 5) Сохраняя первое утверждение и
преобразуя второе, получим, что СВ = АD и СВ || АD, то есть мы пришли к
условию теоремы.
Теперь проверим, обратимы ли все шаги наших рассуждений. 6) Из соотношений СВ = АD и СВ || АD следует, что СВ = АD и <АСВ = <САD. 7) По
признаку равенства треугольников получаем, что треугольник АСВ равен
треугольнику САD. 8) Из равенства треугольников следует, что <АСВ =
<САD и <АСD = <САВ. 9) Из последних соотношений следует, что СВ ||
АD и АВ || СD, а это и означает, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.
14. Самостоятельное доказательство теоремы облегчается, если учитель
дает план доказательства. Например, к доказательству признака параллелограмма можно предложить следующий план:
1) Провести диагональ четырехугольника,
2) Доказать равенство полученных треугольников,
3) Доказать параллельность противоположных сторон четырехуголь-
ника,
4) Сделать вывод.
Составьте план работы над теоремой: «Если внутренние накрест ле-
жащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180º,
то прямые параллельны». Опираясь на предыдущий пример, выполните
доказательство этой теоремы аналитическим методом.
15. Используя технологическую цепочку изучения теоремы с точки зрения
генетического подхода к обучению геометрии, разработайте методику
изучения одной из теорем курса геометрии 7-8 классах.
Задания для самостоятельной работы
1. Изучите вопрос о методах доказательства геометрических теорем.
2. Разработайте план доказательства теоремы методом от противного.
3. Оформите доказательство одной из теорем различными способами.
29
Технологическая цепочка изучения теоремы с точки зрения генетического
подхода к обучению геометрии.
На 1 мотивационном этапе нельзя допускать у учащихся представ-
лений о произвольности введения новых утверждений, нужно показывать
их неизбежность в силу стоящих перед наукой задач. С этой целью учитель
может использовать методические приемы создания проблемной ситуации:
обзор потребностей практики или других исторических причин, при-
водящих к появлению данного утверждения о свойствах некоторых
понятий;
решение с той же целью задач исторического, практического, про-
фессионального содержания (подводящих задач);
практическая или лабораторная работа исследовательского характе-
ра, приводящая к гипотезе о свойстве некоторого понятия, которое
затем нужно сформулировать и доказать;
самостоятельное открытие нового свойства с помощью вычислений,
построений или преобразований.
На 2 этапе проводится актуализация необходимых знаний. Состав-
ление цепочки понятий и теорем, на которые будет опираться новая теорема и ее доказательство.
На третьем этапе, основная цель которого – самостоятельное форму-
лирование теоремы и изучение содержания теоремы, используются следующие методические приемы:
формулировка теоремы в условной форме;
выделение условия и заключения теоремы;
определение вида теоремы, анализ ее логической структуры;
иллюстрация содержания теоремы с помощью чертежа (модели, ри-
сунка, схемы);
краткая запись содержания с использованием обозначений на черте-
же и необходимой символики;
рассмотрение частных и особых случаев, если они существуют.
На четвертом этапе, цель которого – управление поиском доказа-
тельства теоремы, используются следующие методические приемы:
рассмотрение примеров, убеждающих в необходимости доказатель-
ства теоремы;
решение математической задачи, близкой по методу решения к дан-
ной теореме или «наводящей» на метод доказательства новой теоремы;
выполнение практической или лабораторной работы, в ходе которой
«открывается» метод доказательства новой теоремы;
изучение и осмысление чертежа по содержанию теоремы с целью
установления связей между его элементами, которые можно было бы
использовать в доказательстве;
30
составление на основе поиска плана доказательства.
На пятом этапе осуществляется доказательство аналитическо-
синтетическим методом.
На шестом этапе закрепления используются следующие методиче-
ские приемы:
построение «родословной» теоремы;
выяснение места и роли новой теоремы в данной теме или теории,
систематизация и классификация теорем;
выведение следствий из теоремы, доказательство ее частных случаев;
самостоятельная формулировка и доказательство теорем, связанных
с данной (обратной, противоположной, аналогичной);
составление и решение задач на применение новой теоремы или ме-
тода ее доказательства;
На седьмом этапе с целью анализа и обобщения информации, полученной в результате изучения теоремы и формирования специальных
приемов учебной математической деятельности, можно предложить следующие приемы:
анализ и обобщение теоремы, метода ее доказательства и его основ-
ной идеи;
воспроизведение формулировки, схемы, доказательства теоремы;
анализ, обобщение и классификация типов математических задач,
решаемых с помощью новой теоремы или метода ее доказательства.
Литература
1. Далингер В.А. Методика обучения учащихся доказательству матема-
тических предложений: кн. для учителя/ В.А. Далингер. – М.: Просвещение, 2006.
2. Дразнин И.Е. О применении обратных и противоположных теорем в
курсе геометрии/ И.Е. Дразнин // Математика в школе. – 1994. – №6.
3. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельно-
стного подхода: кн. для учителя/ О.Б. Епишева. – М.: Просвещение,
2003.
4. Новосельцева З.И. Некоторые примеры мотивации изучения теорем/
З.И. Новосельцева // Математика в школе. – 1985. – №5.
5. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе:
Кн. для учителя/ Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2000. – 173 с.
6. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб.
пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов/ Г.И. Саранцев. –
М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
7. Сафуанов И.С. Теория и практика преподавания математических дис-
циплин в педагогических институтах /И.С. Сафуанов. – Уфа, «Магарифат», 1999.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]