Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
{ }
[ ]
{ }
12
1
2
12
12
g B T.
...
...
...
e
r
e
r
e
r
r
T
NN N
T
x
xx x
T
T NN N
y yy y
NN N
T
T
zz z
z
∂
∂∂ ∂
∂
∂∂ ∂
∂ ∂∂ ∂
= = =
∂ ∂∂ ∂
∂∂ ∂
∂
∂∂ ∂
∂
{ }
[
]
{
}
222
00
g Dg 0 0
0
0
,
e
x
eee e
T
y
z
e
eee
xyz
T
x
k
TTT T
k
xyz y
k
T
z
TTT
kkk
xyz
∂
∂
∂∂∂ ∂
= =
∂∂∂ ∂
∂
∂
∂∂∂
=++
∂∂∂
{ }
[ ]
{ }
( )
23
2
11
g Dg 2 .
22
ee
T
e eee
a
SS
I GT d qT ds h T T ds
Ω
= − Ω+ + −
∫ ∫∫
{ }
[ ]
{ } { }
[ ] [ ][ ]
{ }
g Dg T B DBT
T
TT
=
{ }
[ ] [ ][ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
233
11
2B D B T 2 N T
T2 2
NT NT N 0.
eee
e
TT
TTT
a
SSS
I
dG d
q ds h ds h T ds
ΩΩ
∂
= Ω− Ω+
∂
+ + −=
∫∫
∫∫∫
[ ]
{ } { }
K T f,
=
[
] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
3
K B DB N N ,
TT
S
d h ds
Ω
= Ω+
∫∫
Рассмотрев
(256)
(257)
и подставив в (252), имеем
Из (256) можно подставить
и миними-
зировать интеграл, получим (имея ввиду (255))
(259)
Вышеприведенное уравнение может быть записано в компактной форме
где
61
(260)
(258)
{
}
[ ] [ ] [ ]
23
f N N N.
TT T
a
SS
G d q ds hT ds
Ω
= Ω− +
∫ ∫∫
(261)
( )
L 0,
k
w Td
Ω
Ω=
∫
k
w
( )
k
Nx
0.
kx y z
TTT
N k k k Gd
x xy yz z
Ω
∂∂ ∂∂ ∂∂
+ + + Ω=
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
∫
{ }
,
km
m
k x kx x
S
NN
TT
NkdNkds k Td
xx x x x
ΩΩ
∂∂
∂∂ ∂
Ω= − Ω
∂∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫∫
{ }
{ }
0.
km km km
m
xyz
m
k k km ak
SS S
NN NN NN
k k k Td
xx yy zz
GN d N qds h N N T ds h T N ds
Ω
Ω
∂∂ ∂∂ ∂∂
− + + Ω+
∂∂ ∂∂ ∂∂
+ Ω− + + =
∫
∫ ∫∫ ∫
{ }
m
T
[ ]
{ }
{ }
KT f=
Уравнения (260) формируют основу вычислительного метода для конечноэлементного анализа задач теплопроводности. Легко можно заметить, что,
когда нет источника теплоты внутри элемента (G=0), соответствующий член
исчезает. Точно также для изолированной границы (т.е. q=0 или h=0) соответствующий член снова исчезает. Таким образом, для изолированной границы
можно не устанавливать вклад и пренебрегать ее влиянием. В этом отношении
это более удобно по сравнению с методом конечных элементов, когда узловые
уравнения записываются для изолированных границ.
3.2. Метод Галеркина
Метод требует, чтобы следующее выражение было удовлетворено
(262)
где вес
водными второго порядка. Используя лемму Грина, можно переписать вторые
производные двумя слагаемыми в виде
где m число узлов. С учетом граничных условий (242), можно переписать уравнение (263) так
заменяется функциями формы в узлах
Интегрирование по частям часто существенно, когда имеют дело с произ-
, так что
(263)
(264)
(265)
Группируя коэффициенты узловых переменных
(266)
62
, получим
или
[ ]
{ }
{ }
m
km k
KT f=
,
km km km
km x y z k m
S
NN NN NN
K k k k d h N N dS
xx yy zz
Ω
∂∂ ∂∂ ∂∂
=− + + Ω+
∂∂ ∂∂ ∂∂
∫∫
.
k k k ak
SS
f GN d qN dS h T N dS
Ω
= Ω− +
∫ ∫∫
(267)
где
(268)
Можно заметить, что уравнения (260) и (266) идентичны, что доказывает
факт о том, что вариационный и Галеркина методы дают один и тот же результат, потому что существует классический вариационный интеграл для уравнения теплопроводности.
4. ТРЕБОВАНИЯ К ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫМ ФУНКЦИЯМ
Процедура формулирования индивидуальных элементных уравнений из
вариационного принципа и сборка этих уравнений предполагает допущение,
что интерполяционные функции удовлетворяют следующим допущениям. Это
возникает из необходимости гарантировать, что уравнение (240) выполняется и
что наше приближенное решение сходится к правильному решению, когда число элементов увеличивается, т.е. когда учащается сетка.
a) Совместимость: На элементных поверхностях поле переменной Т и
любые ее частные производные на один порядок меньше, чем наивысшая
производная, входящая в I(T), должны быть непрерывны.
b) Полнота: Любое Т и ее частные производные вплоть до наивысшего
порядка в I(T) должны быть такими, что, когда элемент стремится к нулю
Т стремится к точному решению.
Если поле переменных непрерывно на элементных поверхностях, то С
непрерывность. Если еще и первые производные непрерывны, то это С
непрерывность, а если вторые производные непрерывны, то имеем С
0
–
1
–
2
–
непрерывность, и.т.д. Если функции, появляющиеся в интегралах элементных
уравнений, содержат производные до (r+1) – го порядка, то чтобы иметь твердую гарантию сходимости, когда размер элемента уменьшается, надо удовлетворить следующим требованиям.
Для совместимости: На элементных поверхностях надо иметь С
r
–
непрерывность.
Для полноты: В пределах элемента надо иметь С
r+1
– непрерывность.
Эти требования должны будут выдерживаться независимо от того, что
элементные уравнения (интегральные выражения) были получены с использованием вариационного метода или метода Галеркина, метода баланса энергии
63
или любого другого метода. Эти требования управляют выбором надлежащих
( )
22
12 3 4 5 6
,P x y x y x xy y
αα α α α α
=+++ + +
33
78
xy
αα
+
22
78
.x y xy
αα
+
интерполяционных функций, зависящих от порядка дифференциального уравнения. Итак, для задачи теплопроводности, наивысшая производная в I есть
первого порядка. Итак, функция формы должна быть непрерывна от температуры на границе между двумя элементами, а также гарантировать непрерывность температуры и теплового потока внутри каждого элемента.
В дополнение к требованиям непрерывности поля переменной и сходимости к правильному решению, когда происходит уменьшение размера элемента,
потребуем, чтобы поле переменной представлялось (в полиноминальном случае) внутри элемента неизменным при переходе из декартовой системы координат в другие системы координат. Полиномы, которые проявляют это свойство, называют «геометрической изотропией». Ясно, нельзя ожидать реалистического приближения, если наше переменное поле изменяется при перемещении
начала координат, или при переориентации координатной системы. Следовательно, необходимость гарантии геометрической изотропии для наших функций в виде интерполяционных полиномов очевидна. К счастью имеется два
простых принципа, которые позволяют строить полиномы с геометрической
изотропией:
1) Полиномы порядка ″n″ полны, т.е. они содержат слагаемые, которые
имеют геометрическую изотропию. Семейство треугольников удовлетворяют
этому условию будь оно, линейным, квадратичным или кубичным;
2) Полиномы порядка ″n″, которые не полны, содержат ″симметричные″
слагаемые обладают геометрической изотропией. Можно пренебречь только
этими членами, которые встречаются симметричными парами, т.е. и.т.д.
В качестве примера рассмотрим два элемента с восьмью узлами, следующий полином P удовлетворяет геометрической изотропии, т.е.
(269)
с добавкой
(270)
или
(271)
Пример 4.1. Прежде чем закончить эту главу, необходимо рассмотреть
численную задачу для иллюстрации изложенной теории. Для этой цели, снова
рассмотрим задачу о шипе, показанную на рис. 29. Линейная вариация для температуры внутри каждого конечного элемента принята.
64
N элемента
Узел i
Узел j
1 1 2
2 2 3
e i j
n n n+1
ii j j
T NT N T= +
11
,
j
i
i j ij
dN
dN
dT
T T TT
dx dx dx l l
= + =−+
[ ]
{ }
11
, B T,
i
j
T
dT
g
T
dx l l
==−=
[ ]
[ ]
1
B 1, 1 .
l
= −
Рис. 29. Теплообмен от прямоугольного шипа
Получим элементные уравнения в самой общей формулировке, данной в
пункте 3, и определим температурное распределение, тепловое рассеяние, эффективность шипа, предполагая, что торец изолирован.
Т.к. используются линейные элементы, то у элемента будет только два
узла. Во-первых, разделим данную длину шипа на число областей – скажем на
″n″ элементов. Поэтому будет (n+1) узлов для представления шипа (см. табл. 6).
Таблица 6
Номера элемента и узла линейных одномерных элементов
Вариация температуры в элементах линейна. Поэтому
и первая производная будет
так что, матрица градиентов есть
где
(272)
(273)
(274)
(275)
65
С помощью вышеупомянутых отношений можно написать соответст-
[ ]
[ ]
[ ]
1
11
K 1, 1 , ,
1
i
x ij
e
j
lS
N
k Adx N N Pdx
N
ll
−
= −+
∫∫
[ ]
x
Dk
=
[ ]
2
2
2
11
K,
11
ij
i
x
e
ij
j
ll
NN
N
Ak
dx hP dx
NN
l
N
−
= +
−
∫∫
ii
NL
=
,
jj
NL=
( )
!!
.
1!
ab
ij
l
abl
L L dl
ab
=
++
∫
( )
22
2!0!
.
2 0 1! 3
ii
ll
ll
N dl L dl= = =
++
∫∫
[ ]
K
[ ]
1 1 21
K.
1 1 12
6
x
e
Ak
hPl
l
−
= +
−
[ ]
11 1
f.
11 1
22 2
a
e
hT Pl
GAl qPl
= −+
вующие элементные матрицы следующим образом
(276)
где А – площадь поперечного сечения шипа, а P– периметр шипа, с которого
имеет место конвекция. Заметим, что
для одномерных задач.
Перегруппировывая уравнение (276), получим
(277)
где
и
что верно вообще для всех линейных элементов. Следо-
вательно, можно использовать формулу
(278)
Например,
и другие члены могут быть также проинтегрированы.
Если предположить постоянство А, к
то получим следующую
матрицу
, Р всюду по элементу (см. рис. 29),
x
Теперь рассмотрим тепловую нагрузку. Из (261) можно записать
(279)
(280)
(281)
В этом случае нагрузка распределена равномерно между двумя узлами,
которые являются общими характеристиками линейных элементов.
Решение данной задачи может быть найдено подстановкой числовых величин.
(а) Сначала рассмотрим решение с одним элементом, в случае, когда
l=2см, как показано на рис. 30. Элементы матрицы жесткости есть
66
[ ]
1 1 2 1 0,06 0,06 0,008 0,004
K
1 1 1 2 0,06 0,06 0,004 0,008
6
x
e
Ak
hPl
l
−−
= += + =
−−
0,068 0,056
,
0,056 0,068
−
=
−
нагрузочное слагаемое
[ ]
1 0,30
f.
1 0,30
2
a
hPlT
= =
a
T
,C
( )
2
.Вт м C⋅
1
2
0,068 0,056 0,30
.
0,056 0,068 0,30
T
T
−
=
−
C
(282)
(283)
Рис. 30. Теплообмен от параллелипипедного шипа. Первый линейный элемент
Заметим, что
выражается в
как и h в
Так как используется только один элемент, то нет необходимости в сборке элементов. Тогда совокупная система уравнений может быть записана так
(284)
Теперь включаем известную температуру в 100
дит к тому, что симметрия матрицы
[К] сохраняется. Это является существен-
для узла 1. Это приво-
ным при использовании симметричной матрицы в процедуре решения совокупной системы уравнений.
Следующие шаги дают типовую процедуру для граничных условий по
температуре:
(1) Диагональный элемент первой степени полагается величиной равной
1, а остальные элементы ряда приравниваются 0;
(2) Заменяется нагрузка первой строки вектора f известной величиной
Т
, т.е. 100:
1
(3) Для того, чтобы сохранить симметрию, первый член второй строки в
матрице
[К] полагается нулю, тогда
67
1
2
1,0 0,0 100,0
.
0,0 0,068 0,30 0,056(100.0)
T
T
=
+
Уравнение, которое будет решено, таково
2
0,068 0,3 0,056(100).T = +
C
C
( )
12
0,7941 .
kA
Q TT Вт
l
= −=
12
1
1, 64 ,
2
M
a
e
TT
Q hPl T Вт
=
+
= −=
∑
( )
max 1 2
1
1, 8 .
M
e
Q hPl T T Вт
=
= −=
∑
max
1, 64
91,11%.
1, 80
f
Q
Q
η
= = =
( )
( )
точное
1,593 .
ba
Q kAm T T th kml
Вт=−=
31,62.m hP kA
= =
( )
точное
точное
88,48 %.
f
Q
Q
η
= =
(285)
(286)
Поэтому, решение есть T
=100
1
и T2=86,765
.
Рассеяная теплота есть
(287)
Этот ответ очень приблизителен. Однако более точная величина может
быть определена с использованием следующего конвективного условия, т.е.
(288)
где М — общее число элементов. Максимально возможный теоретический тепловой поток есть
(289)
Эффективность определяется как
Точное решение этой задачи таково
где
(b) Рассмотрим решение с двумя элементами той же задачи (3 узла).
Длина шипа делится на два равных элемента с l=1см.
Вычисление матрицы жесткости аналогично случаю одноэлементного
решения, т.е.
(290)
(291)
Поэтому, точная эффективность есть
(292)
68
[
]
[ ]
12
0,124 0,118
KK
0,118 0,124
−
= =
−
равны также нагрузочные векторы
{ } { }
12
0,15
ff .
0,15
= =
1
2
3
0,124 0,118 0,0 0,15
0,118 0,124 0,124 0,118 0,15 0,15 .
0,0 0,118 0,124 0,15
T
T
T
−
− +− =+
−
C
1
2
3
1,0 0,0 0,0 100,0
0,0 0,248 0,118 0,30 0,118(100) .
0,0 0,118 0,124 0,15
T
T
T
−=+
−
23
0,248 0,118 12,1TT
−=
23
0,118 0,124 0,15.TT−+ =
C
C
х,мм
Точное
1 элемент
2 элемента
4 элемента
0,0
100,0
100,0
100,0
100,0
5,0
94,28
–
–
94,26
10,0
90,28
–
90,209
90,25
15,0
87,93
–
–
87,908
20,0
87,15
86,77
87,07
87,128
При сборке получаем
(293)
(294)
(295)
Теперь подставим известную величину температуры, т.е. T
=100
1
(296)
Поэтому получим систему из двух уравнений
и
Решение этих уравнений: T
=90,209
2
, T3=87,057
.
Результаты, которые получаются с использованием различного числа
элементов приведены в табл. 7 и 8.
Как можно увидеть, решение с использованием двух элементов лучше, а с
использованием четырех элементов еще более может быть улучшено. Даже одноэлементная изоализация дает разумный результат при небольших усилениях.
Таблица 7
Температура
69
Число элементов
Q, Вт
f
η
1
1,640
91,11
2
1,604
89,11
4
1,596
88,65
точное
1,590
88,48
Таблица 8
Тепловое рассеяние и эффективность
70