Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
Пример 1.1. Вычислить температуру 8-ми сантиметрового стержня на
ii j j
T NT N T
= +
5x см=
3
8
j
i
ji
xx
N
xx
−
= =
−
5
8
i
j
ji
xx
N
xx
−
= =
−
120
T
С=
°
1
ij
NN+=
(
)
T x
(
)
2
12 3
x xxT
αα α
=++
1i
T
α
=
2
12 3
22
j
T
ll
αα α
=++
2
12 3k
llT
αα α
=++
1 i
T
α
=
( )
2
34
1
i jk
l
T TT
α
= −+ −
( )
3
2
2
2
i jk
T TT
l
α
= −+
1
α
2
α
3
α
i
T
,
j
T
k
T
2 22
2 22
32 44 2
1
i jk
xx xx xx
TT T T
ll l
l ll
= −+ + − + −
ii j j kk
T NT N T N T=++
расстоянии 5см от одного из концов, в котором поддерживается температура
○
120
С, а на другом 200 ○С. Предположить линейное изменении температуры.
Из выражения (8) температурное распределение по элементу составит
, (16)
где
Подставляя в (16), получим
;
, заметим, что
. (17)
.
1.2. Одномерный квадратичный элемент
Можно заметить из рис. 3 (d), что более лучшая аппроксимация для температурного профиля может быть достигнута, если использовать параболические дуги по каждому элементу в отличие от линий. Функция
в пределах
каждого элемента будет квадратичной
. (18)
Имеется теперь три параметра для определения и, следовательно, необходимо добавить дополнительную точку в элемент. Выберем среднюю точку дополнительно в элементе для получения следующих уравнений в узлах:
;
Из этих трех уравнений следует
;
Подставляя из (20)
, получим
,
,
или
;
;
. (19)
. (20)
в (18) и группируя коэффициенты при
(21)
. (22)
11
,
Следовательно, функции формы для одномерного квадратичного элемен-
2
2
32
1
i
xx
N
l
l
=−+
2
2
44
j
xx
N
l
l
= −
2
2
2kxx
N
l
l
= −
j
ik
i jk
dN
dN dN
dT
TT T
dx dx dx dx
=++
2 22
4 3 48 4 1
i jk
dT x x x
TTT
dx l l l
l ll
= − +− + −
та в соответствии с (21) таковы:
Измерение температуры и функций формы для типового квадратичного
элемента показано на рис. 5.
;
;
. (23)
Рис. 5. Изменение функций формы и их производных
Первая производная от температуры есть
или
в матричной форме
на одномерном квадратичном элементе
(24)
(25)
12
[ ]
[
]
BT
g
= ⋅
. (26)
[
]
B
[ ]
2 22
4 3 48 4 1
B
x xx
ll l
l ll
=−− −
1
i
N =
1
j
N
=
1
k
N =
3
1
1
i
iN=
=
∑
4xl=
32 6
1
4 16 16
i
N =−+ =
4 12
1
16 16
j
N =−=
21 2
16 4 16
k
N = −=−
( )
1n
−
( )
1n −
( )
1
n
e
i
k
ki
i
xx
Nx
xx
=
−
=
−
∏
ik≠
2n =
2
1
12
xx
N
xx
−
=
−
1
2
21
xx
N
xx
−
=
−
Матрица
Выражение (27) показывает, что
0;
в k, и 0 в i и j.
Легко может быть проверено, что внутри элемента сумма функций формы равна 1, т.е.
Например, в точке
есть
в i, а в j и k 0;
. (28)
функция формы есть
;
. (27)
в j, а в i и k
;
. (29)
причем легко заметить, что их сумма равна 1.
Можно также заметить, что производные функции квадратичного элемента являются функциями x, но они не будут непрерывными во внутренних
узлах элемента. Типовая интерполяция, используемая здесь, носит название Лагранжевой (т.к. они могут быть обобщены с помощью интерполяционной формулы Лагранжа), и она гарантирует непрерывность функции на границе. Такие
типы элементов известны как C
0
– элементы, в которых производные нулевого
порядка (т.е. сами функции) только непрерывны. Элементы, которые непрерывны и по производным, известны как C
1
– элементы и такие функции носят
название Эрмитовых полиномов.
Функции формы C
ванием полиномиальной формулы Лагранжа. Одномерный
0
могут быть определены в общем случае с использо-
-й порядок
интерполяционного полинома Лагранжа есть результат отношения. Для элемента с n узлами, полином
– го порядка с интерполяционной функцией
. (30)
Заметим, что в (30)
формы могут быть записаны с использованием (30), когда
. Для одномерного линейного элемента, функции
и
. (31)
13
1
N
2
N
i
N
j
N
1
0x =
2
1x =
1
ii
x
NL
l
=−=
jj
x
NL
l
= =
i
L
j
L
3
2
1
1 21 3
xx
xx
N
xxxx
−
−
= ⋅
−−
3
1
2
2 12 3
xx
xx
N
xxxx
−
−
= ⋅
−−
12
3
3 13 2
xx xx
N
xxxx
−−
= ⋅
−−
1
0
x =
2
2xl=
3
xl=
Рис. 6. Одномерный линейный элемент в локальных координатах
Заметим, что
и
функции формы для двух узлов одномерного ли-
нейного элемента (
и
).
Если воспользоваться локальными координатами, как показано на рис. 6,
со значениями
где
и
— функции формы, определенные в локальной системе координат.
и
, то функции формы (31) станут
и
, (32)
Для одномерного квадратичного элемента функции формы на основе полиномов Лагранжа таковы:
Если заменить
и
;
и
в (33), то получается результат,
;
. (33)
идентичный (23).
Точно также будет и для кубических элементов или любых других одномерных более высоких порядков элементов и их функций формы, используя
Лагранжеву интерполяционную формулу.
Для квадратичных или кубических элементов аппроксимация кривой
лучше, поскольку будет в наличии больше двух точек по элементу.
1.3. Двумерные линейные треугольные элементы
Когда одномерные аппроксимации не подходит, то необходимо использовать многомерные. В этом пункте вначале вводится двумерный элемент. простейшая геометрическая форма, которая может быть использована для аппроксимации иррегулярной поверхности есть треугольник, который является самым
популярным элементом, используемым в методе конечных элементов. Это объ-
14
ясняется наличием техники генерации и неструктурированных и адаптивных
(
)
12 3
,
T xy x y
αα α
=++
1
α
2
α
3
α
12 3
i ii
T xy
αα α
=++
12 3
j jj
T xy
αα α
=++
12 3k kk
T xy
αα α
=++
( )
( )
( )
1
1
2
jk k j i ki ik j i j ji k
x y x y T x y xy T xy x y T
A
α
= −+−+−
( )
( )
( )
2
1
2
j ki k i j i jk
y y T y yT y y T
A
α
= − + − +−
( )
( )
( )
3
1
2
k ji i k j j ik
x x T x x T x xT
A
α
= − +− + −
сеток.
Рис. 7. Линейный треугольный элемент
Двумерный линейный треугольный элемент, который известен также как
симплекс-элемент, представляется следующим образом
, (34)
где полином, линейный по x и y, содержит три коэффициента. Т.к. линейный
,
,
треугольный элемент имеет три узла (рис. 7), то величины
опреде-
ляются из
,
, (35)
,
в результате чего
,
, (36)
где A – площадь треугольника, вычисляемая как
15
,
( )
( )
( )
1
2 det 1
1
ii
j j i j ji ki ik jk k j
kk
xy
A x y xy x y x y xy x y x y
xy
= =−+−+ −
Подставляя величины
1
α
2
α
3
α
i
T
j
T
k
T
i
ii j j k k i j k j
k
T
T NT N T N T N N N T
T
=++=
( )
1
2
i ii i
N a bx cy
A
= ++
( )
1
2
j jj j
N a bx cy
A
= ++
(
)
1
2
k kk k
N a bx cy
A
= ++
i jk k j
a xy x y= −
i jk
by y
= −
ik j
cx x
= −
j ki ik
a x y xy= −
jki
byy
= −
jik
c xx= −
k i j ji
a xy x y= −
kij
b yy= −
k ji
cxx= −
i
N
(
)
,
ij
xx
( )
( ) ( ) ( )
12
1
22
i jk k j j k i k j j
i
A
N xy xy y y x x x y
AA
= −+−+− ==
( )
( )
0
jk
i
i
NN= =
1
i jk
NN N
++=
,
22 2
,
22 2
jj
i ki k
i j ki jk
jj
i ki k
i j ki jk
Nb
N Nb b
T
T T T TT T
xx x x A A A
Nc
N Nc c
T
T T T TT T
yy y y A A A
∂
∂∂
∂
=+ + =++
∂∂ ∂ ∂
∂
∂∂
∂
=+ + =++
∂∂ ∂ ∂
,
,
, получим
. (37)
,
и
в (35) и группируя коэффициенты при
, (38)
,
и
Если вычислить
в узле i с координатами
Точно также можно найти
Таким образом видно, что функции формы в одном из узлов равны 1, а в
оставшихся 0. Можно показать, что
,
;
;
;
;
;
;
,
, (40)
.
(39)
, то получится
. (41)
.
в любом элементе, включая граничные.
Градиенты температуры T таковы
или
16
(42)
(43)
[
] [ ] [ ]
1
BT
2
i
j
ik
j
i jk
k
T
T
b
bb
x
gT
T
cc c
A
T
y
∂
∂
= = = ⋅
∂
∂
. (44)
Tx∂∂
Ty∂∂
i
b
j
b
k
b
i
c
j
c
k
c
x
q
y
q
x
q
x
q
(
)
2Вт см К
⋅
60 С°
Узел
х, см
y, см
T,С°
i
0.0
0,0
50.0
j
4.0
0.0
70.0
k
0.0
2.5
100.0
1
10
i
N =
5
10
j
N =
4
10
k
N =
154
50 70 100 80
10 10 10
ii j j k k
T NT N T N T С= + + =⋅+⋅+⋅ =°
50
2
200
2 10
i
j
x
ik
j
y
i jk
k
T
b
q
bb
k
T
q
cc c
A
T
=−=⋅
Необходимо отметить, что
делах элемента, т.к.
,
,
и
Следовательно, тепловые потоки
и
,
,
константы для данного треугольника.
и
также постоянны в пределах линей-
являются константами в пре-
ного треугольного элемента. Т.к. температура изменяется линейно в элементе,
то можно получить изотермы в линейном треугольнике, что иллюстрируется
следующим образом.
Пример 1.2. Для иллюстрации метода вычисления найдем температуру T
и тепловые потоки
. Проведите изотерму для
и
при (2.0, 1.0), если теплопроводность материала
в треугольнике.
Таблица 2
Данные к примеру 1.2
Температура в любой внутренней точке треугольника вычисляется по
(38). Функции формы вычисляются с использованием (39) по координатам x и y
из табл. 2. Результат следующий:
;
;
. (45)
Подстановка температур в узлах и значений функции формы в них в (38)
приводит к получению результирующей температуры в точке (2.0, 1.0)
. (46)
Компоненты теплового потока в направлении x и y таковы
. (47)
17
Позиция изотермы при
60
С
°
60
С°
60
С°
( ) (
)
( ) ( )
22
22
60.0 50.0
70.0 50.0
pi p i
ji ji
xx yy
xx yy
−+−
−
=
−
− +−
( )
( )
10.0
20.0
pi
ji
xx
xx
−
=
−
20
p
x
см
=
( )
( )
60.0 50.0
100.0 50.0
Qi
ki
yy
yy
−
−
=
−−
3,5
Q
y см=
60 С°
температур ясно, что точка
лежит на ik (точка Q). Если их соединить, то как раз получим изолинию с тем-
пературой
Рис. 8. Внутренняя изотерма в линейном треугольном элементе
Для того, чтобы определить местоположение P на ij, у нас следующее ли-
нейное отношение между расстоянием и температурой, а именно
.
может быть получена из рис.8. Из данных
лежит на стороне ij (точка P), а другая точка
. (48)
Ясно, что координата y на ij равна 0, что упрощает (48) до
, (49)
откуда
что дает
Линия, соединяющая P и Q как раз и является изотермой для
(рис.8). Необходимо отметить, что такой же принцип может быть применен для
произвольного треугольника.
. Местоположение Q на ik может быть определено аналогично
, (50)
( x в этом случае равен 0).
18
1.4. Координаты области
i
L
j
L
k
L
i
L
i
OP
L
QP
=
j
L
k
L
i
L
i
A
0.5
0.5
i
i
A
OP jk OP
L
A QP jk QP
⋅⋅
= = =
⋅⋅
i jk
AA A A++=
1
j
ik
A
AA
AAA
++=
1
i jk
LL L++=
Координаты по области, или естественные координаты необходимо ввести для треугольных элементов для того, чтобы упростить процесс решения.
Для этого рассмотрим произвольную точку P внутри элемента (рис.9). Локаль-
ные координаты
,
и
этой точки могут быть установлены вычислением
соответствующих безразмерных расстояний. Например,
определяется как
отношение расстояния от P до ‘jk’ (OP) к расстоянию от ‘i’ до ‘jk’ (QP). Тогда
. (51)
Точно также определяется
площади
(напротив узла ‘i’) к общей площади треугольника, т.е.
и
. Величина
равна также отношению
. (52)
Итак, локальная координата изменяется от 0 на стороне jk до 1 в узле i. Из
рис. 9 очевидным образом следует
или
поэтому
Рис. 9. Координаты по области треугольного элемента
(53)
, (54)
. (55)
19
Отношение между координатами по области и декартовыми координата-
ii j j k k
x Lx L x L x
=++
ii j j k k
y Ly L y L y
=++
( )
1
2
i ii i
L a bx cy
A
= ++
(
)
1
2
j jj j
L a bx cy
A
= ++
( )
1
2
k kk k
L a bx cy
A
= ++
ii
LN=
jj
LN=
kk
LN=
i
L
j
L
k
L
( )
!!!
2
2!
abc abc
i jk i j k
AA
abc
L L L dA N N N dA A
abc
= =
+++
∫∫
i
L
j
L
k
L
4
j
x
L =
2,5
k
y
L =
ми (x, y) таковы
, (56)
. (57)
Из (55) – (57) следует отношения для локальных координат
,
,
, (58)
где константы a, b и c определяются по (40). Сравнивая, с (39), ясно, что
,
,
. (59)
Таким образом, локальные или координаты по площади в треугольнике
это тоже самое, что и функции формы для линейного треугольного элемента.
Вообще локальные координаты и функции формы тоже самое линейных элементов для размерности один, два или три.
Для двумерного линейного треугольного элемента, с локальными координатами
,
и
, имеется простая формула для интегрирования треуголь-
ника, т.е.
, (60)
где ‘A’ площадь треугольника. Заметим, что
,
и
помогают определить
функции формы для линейного треугольного элемента. Пример 1.2. может быть
решен с использованием локальных координат из (53) и (56), т.е. подставляя
координаты x и y точек i, j, k треугольника в (56), мы получаем
(61)
и
. (62)
20