Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
( )
0, 1, 2,...,
i
N x Rdx i n
Ω
= =
∫
(205)
ii
w Ra
=∂∂
0, 1,2,...,
i
R
dx i n
a
Ω
∂
= =
∂
∫
(
)
ii
w xx
δ
= −
1 2,
i
ξ
=
( )
1
2
2
2
0
0.
i
d
d
d
θ
µθδ ξ ξ ξ
ξ
− −=
∫
2
2
2
1
2
0.
i
d
d
ξ
θ
µθ
ξ
=
−=
1
,
2
ξ
=
2
2
1
2 1 1 0,
2
BB
µ
− −− =
2
2
2
.
13 8
B
µ
µ
=
+
( )
( )
2
2
2
2
11 .
13 8
b
θξ
µ
ξ
θ
µ
=−−
+
2
3,
µ
=
( )
( )
2
12
11.
17
b
θξ
ξ
θ
=−−
наименьшие квадраты:
(206)
Для иллюстрации каждым из этих способов решена задача о шипе.
Метод коллокации
Вес есть
Пусть
поскольку в задачи о шипе есть только одно неизвестное.
.
Переписывая уравнение в коллокационной форме в безразмерных координатах,
получим
(207)
Тогда можно записать
Подставляя (207) в (208) при
получаем
откуда
Подставляя это в (177), решение принимает вид
(208)
(209)
(210)
(211)
Для нашей задачи
тогда
(212)
51
Метод подобласти
(
)
1,
i
wx
=
(
)
1
2
2
2
0
1 0.
d
d
d
θ
µθ ξ
ξ
−=
∫
2
2
2
.
13
B
µ
µ
=
+
( )
( )
2
2
2
2
11 .
13
b
θξ
µ
ξ
θ
µ
=−−
+
2
µ
(
)
( )
2
3
11 .
4
b
θξ
ξ
θ
=−−
( )
2
1.
i
Nx
ξ
= −
(
)
1
2
2
2
0
0.
i
d
Nx d
d
θ
µθ ξ
ξ
−=
∫
2
2
2 82
20
3 15 3
B
BB
µ
µ
−+ − =
2
2
.
12 5
B
µ
µ
=
+
Весовая функция
добласти
Подставляя (177) и интегрируя, получим
Решение становится
что приводит к формулировке в терминах по-
(213)
(214)
(215)
В частном случае
=3 и
(216)
Метод подобласти совпадает с решением по интегральному тепловому
балансу, т.к. интегрирование выполнено в данном случае по всей области ввиду
наличия только одного постоянного.
Метод Галеркина
Это один из самых важных методов, используемых к конечноэлементном
анализе. Весовая функция есть
Уравнение в формулировке Га-
леркина есть
(217)
Подставляя (177) и интегрируя, получим
или
Итак, решение есть
52
(218)
(219)
( )
( )
2
2
2
2
11 .
12 5
b
θξ
µ
ξ
θ
µ
=−−
+
(220)
2
0,
i
R dx
a
Ω
∂
=
∂
∫
0,
i
R
dx
a
Ω
∂
=
∂
∫
( )
,
i
i
R
wx
a
∂
=
∂
11
2
22
2
00
.
d
E Rd d
d
θ
ξ µθ ξ
ξ
= = −
∫∫
2 44 2 4
2 28
4 41 2 .
3 3 15
EB B B B B
µ µµ µ
= − − +− +
0,EB∂ ∂=
44 2
2
4 16 16
8 4 0,
3 15 3
E BB
B
B
µµ µ
µ
∂
=− + −+ =
∂
Можно заметить, что решение по методу Галеркина является точно таким
же, как и в вариационном методе. Можно также показать, что вариационный
метод и метод Галеркина дают одни и те же результаты, если задача допускает
классическую вариационную формулировку. Фактически позже будет показано
при конечно–элементной формулировке выполняется квазигармоническое
уравнение, используя как вариационный, так метод Галеркина, приводящие к
одному и тому же результату, т.к. классический вариационный принцип существует для квазигармонического уравнения.
Метод наименьших квадратов
В этом случае, минимизация ошибки выполнена в смысле наименьших
квадратов, так что
(221)
или
где весовая функция есть
а ошибка Е дается формулой
Подставляя (177) в (224) и интегрируя, имеем
Ошибка минимизируется удовлетворением условия
(222)
(223)
(224)
(225)
так что
что приводит к
(226)
53
22
2
2
1
23
.
1
12
3 15
B
µµ
µ
µ
+
=
++
Поэтому решение принимает вид
( )
( )
22
2
2
2
1
23
11 .
1
12
3 15
b
µµ
θξ
ξ
θ
µ
µ
+
=−−
++
2
µ
( )
( )
2
15
11.
24
b
θξ
ξ
θ
=−−
(227)
(228)
Для нашей задачи
=3, где получим
(229)
Рис. 27 показывает соответствие между различными методами весовых
невязок. Видно, что метод Галеркина является наилучшим.
Рис. 27. Сравнение между различными методами весовых невязок
и точным решением
2.4. Конечноэлементный метод Галеркина
Решим задачу о шипе конечноэлементным методом Галеркина и для этого разобьём область решения на пять линейных элементов с общим числом узлов, равным шести, как показано на рис. 28. В отличие от метода взвешенных
невязок, рассмотренного в предыдущем пункте, нам не нужно априорного
предположения о температурном профиле в этом случае.
54
Для линейного элемента
ii j j
NN
θθ θ
= +
11
.
j
i
i j ij
ee
dN
dN
d
dd d
θ
θ θ θθ
ξξ ξ ξ ξ
= + =−+
2
2
2
0
k
d
Nd
d
ξ
θ
µθ ξ
ξ
−=
∫
( )
(
)
2
0
00
,
e
ee
j
i
i i ii j j
dN
dN
d
nN d N N N d
d dd
ξ
ξξ
θ
ξθ µ θ θ ξ
ξ ξξ
− −+
∫∫
n −
n −
( )
( )
2
00
2! 0! 1!1!
,.
2 0 1! 3 1 1 1! 6
ee
ee ee
i ij
N d NN d
ξξ
ξξ ξξ
ξξ
= = = =
+ + ++
∫∫
[ ] [ ]
2
1
1 1 21 .
6
0
ii
e
jj
e
d
d
θ
θθ
µξ
ξ
θθ
ξ
−+ +
(230)
(231)
В соответствии с методом Галеркина
(232)
где индекс к номерует узлы в области. Интегрирование по частям предыдущего
уравнения для одного элемента, с весом, являющимся функцией формы для
первого узла элемента, приводит к следующему результату
(233)
где
нормаль к границе. Для одномерного случая,
меняется знак. Заметим, что
Для первого элемента, с N
единственна, только
(234)
, являющимся весом, (233) упрощается до
i
(235)
Рис. 28. Рассеяние теплоты от шипа (рис. 24).
Пространственная дискретизация. Узлов:6. Элементов:5.
55
Заметим, что нормаль в узле 1 есть 1. Также, заметим, что градиенты в
[ ]
[ ]
2
0
1
1 1 21 .
6
ii
e
jj
e
d
d
θθ
µξ
θ
θθ
ξ
ξ
−+ +
−
2
1 1 21
1
.
1 1 12
6
i
e
j
e
d
d
d
d
θ
θ
ξ
µξ
θ
θ
ξ
ξ
−
++
−
0,2,
e
ξ
=
lL
2
3,µ=
5.2 4.9
.
4.9 5.2
i
j
d
d
d
d
θ
θ
ξ
θ
θ
ξ
−
+
−
1
2
3
4
5
6
0.0
5.2 4.9 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0
4.9 10.4 4.9 0.0 0.0 0.0
0.0
0.0 4.9 10.4 4.9 0.0 0.0
0.0
0.0 0.0 4.9 10.4 4.9 0.0
0.0
0.0 0.0 0.0 4.9 10.4 4.9
0.0 0.0 0.0 0.0 4.9 10.4
d
d
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ξ
−
−−
−−
=
−−
−−
−
,
12 6
, ,...,
θθ θ
−
dd
θξ
(233) становятся нулевыми в узле j как и N
помощью N
, получим
j
=0 в j. Теперь нагружая уравнение с
i
(236)
В этом случае градиент исчезает в узле i и N
=0 в узле i. Направленная
i
наружу нормальная величина точки j есть -1 (см. рис. 28). Характеристики элемента представляются в виде
(237)
длины
Для нашей задачи
(рис.28), а
которая является безразмерным элементом
элементные характеристики для одного элемента
таковы
(238)
Подобным образом можно записать элементное характеристическое
уравнение для всех других четырех элементов. Собирая все пять элементов, получим
где
значения температуры во всех шести точках. Заметим, что
в узле 1 есть ноль, потому что нулевые граничные условия, и имеется
56
(239)
граничное условие при
1 1.
ξθ
= =
12
1 23
2 34
3 45
4 56
6
5.2 4.9 0.0
4.9 10.4 4.9 0.0
4.9 10.4 4.9 0.0
4.9 10.4 4.9 0.0
4.9 10.4 4.9 0.0
1.0
θθ
θ θθ
θ θθ
θ θθ
θ θθ
θ
−=
−+ − =
−+ − =
−+ − =
−+ − =
=
.
θ
Местополо-
Точное
МКЭ
Коллокация
Подмно-
Вариация
Наимю
0.0
0.343
0.340
0.294
0.250
0.318
0.375
0.1
0.348
–
0.301
0.258
0.325
0.381
0.2
0.364
0.361
0.322
0.280
0.345
0.400
0.3
0.390
–
0.358
0.316
0.380
0.431
0.4
0.429
0.426
0.407
0.370
0.427
0.475
0.5
0.480
–
0.471
0.438
0.490
0.531
0.6
0.546
0.543
0.548
0.520
0.563
0.600
0.7
0.628
–
0.640
0.618
0.652
0.691
0.8
0.729
0.727
0.746
0.730
0.755
0.755
0.9
0.851
–
0.866
0.858
0.870
0.881
1.0
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Результирующая система узловых уравнений
может быть записана так
(240)
Заметим, что последнее уравнение появляется из-за постоянного температурного граничного условия в узле 6. При решении системы уравнений методом Гаусса, окончательно получим все
Табл. 5 показывает сравнение между
точным результатом и всеми другими вычислениями по различным методам.
Таблица 5
Сравнение решений, полученных различными методами
жение ξ
решение
Заметим из табл. 5, что методы, использующие заранее принятый профиль, удовлетворяющий граничным условиям, для всей области менее точны в
сравнении с методом конечных элементов, использующим только пять линейных элементов. Это можно объяснить тем, что значения в узлах в методе конечных элементов близки к точному решению.
3. ФОРМУЛИРОВКА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Во многих практических ситуациях, нахождение температуры в твердом
теле очень важно при определении максимально допустимой температуры, например, в полупроводниковых устройствах, максимально допустимого смеши-
57
жества
квадратов
вания, например, пара и газа в турбине, максимального теплового напряжения и
0,
xyz
TTT
k k kG
x xy yz z
∂∂ ∂∂ ∂∂
+ + +=
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
b
TT=
0
xy z
TT T
k l k mk nq
xy z
∂∂ ∂
+ + +=
∂∂ ∂
(
)
0
xy z a
TT T
k l k m k n hT T
xy z
∂∂ ∂
+ + + −=
∂∂ ∂
, и
lm n
−
(
)
( )
23
2
22
2
1
2
2
1
.
2
xyz
a
SS
TTT
I T k k k GT d
xyz
qTds h T T ds
Ω
∂∂∂
= + + − Ω+
∂∂∂
++ −
∫
∫∫
Ω
[ ]
{ }
1
N T,
r
e
ii
i
T NT
=
= =
∑
[ ]
N , ,...,
ij r
NN N
= −
максимального числа повторяемых тепловых циклов в проблеме усталости материалов. В этом пункте выводятся конечноэлементные уравнения, как на основе вариационного метода, так и на основе метода Галеркина, для трехмерного уравнения теплопроводности стационарных систем изучаются граничные
условия.
Обобщенное дифференциальное уравнение, есть
(241)
со следующими граничными условиями
на поверхности S1,
на поверхности S2,
на поверхности S3, (242)
где
нормали к поверхности, h – коэффициент теплоотдачи, k –
теплопроводность и q – тепловой поток.
3.1. Вариационный подход
Вариационный интеграл I, соответствующий приведенному выше уравнению с граничными условиями, таков
Данная область
разделена на n конечных элементов, причем каждый
(243)
(244)
где
матрица функции формы и
58
{ }
T
i
j
r
T
T
T
=
(245)
(
)
1
0,
n
i
i
I
IT
T
δ
=
∂
= =
∂
∑
0, 1, 2,..., .
i
I
in
T
∂
= =
∂
( )
(
)
1
.
n
ee
e
IT I T
=
=
∑
1
0,
n
e
e
II
δδ
=
= =
∑
e
I
0, 1,2,..., .
ee
j
II
jr
TT
∂∂
= = =
∂∂
– вектор температуры в узлах.
Конечноэлементное решение задачи включает отбор узловых величин T
таким образом, чтобы сделать функцию I(T) минимальной. Для того, чтобы
сделать I(T) минимальной относительно узловых величин T, потребуем, чтобы
(246)
где n общее число дискретных величин T, определяющих область решения. Т.к.
произвольны, то (246) считается хорошим, если
T
i
(247)
Функционал I(T) может быть записан как сумма индивидуальных функ-
ций, определенных на множестве элементов, только если функции формы, данные в кусочно-гладком представлении Т, удовлетворяют определенным условиям непрерывности. Эти условия будут рассмотрены позже в тексте.
ласти решения, можно сосредоточить внимание на функционале, определенном
на отдельных элементах. Следовательно
где вариация по
ных с элементом е, т.е.
ют поведение элемента е. Фактически можно представить функционал для совокупности элементов как сумму функционалов для всех индивидуальных элементов, что является ключом к формулировке уравнений индивидуальных эле-
(248)
Таким образом, вместо того, чтобы работать с функционалом во всей об-
(249)
берется только относительно по r узловых величин, связан-
(250)
Уравнение (250) включает множество r уравнений, которые характеризу-
59
ментов из вариационного принципа. Набор множества совокупных уравнений
1
0 с 1,2,..., .
e
n
ii
e
II
iM
TT
=
∂∂
= = =
∂∂
∑
( )
23
2
22
2
1
2
2
1
,
2
ee
ee
xyz
ee
a
SS
TTT
I k k k GT d
xyz
qT ds h T T ds
Ω
∂∂∂
= + + − Ω+
∂∂∂
++ −
∫
∫∫
[
]
{
}
[
]
1
2
1 2 11 2 2
N T , ,..., ...
e
r rr
r
T
T
T N N N NT N T NT
T
= = =++
12
12
, , ...,
ee e
r
r
TT T
NN N
TT T
∂∂ ∂
= = =
∂∂ ∂
{
}
{ }
[ ]
1
2
N N.
T
e
T
r
N
N
T
N
∂
= = =
∂
для элементов в задаче получается суммированием всех производных I, заданных уравнением (250), для всех элементов. Можно записать набор множества
уравнений так
(251)
Задача считается решенной, когда множество М уравнений решено одновременно для М узловых величин Т. Дадим детальную формулировку индивидуальных конечноэлементных уравнений из вариационного принципа
(252)
с
и
или
(253)
(254)
(255)
Градиентная матрица записывается так
60