Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
Из (55) получаем
1
4 2,5
i
xy
L
=−−
( ) ( )
, 2,1xy
=
0,1
ii
LN= =
0,5
jj
LN= =
0,4
kk
LN= =
22
12 3 4 5 6
T x y x y xy
αα α α α α
=+++ + +
1
α
2
α
6
α
1
T
2
T
6
T
22
1 1 21 31 41 51 611
T x y x y xy
αα α α α α
=+++ + +
1
α
2
α
6
α
. (63)
При
,
Заметим, что эти локальные координаты в точности такие же, как и функция формы, вычисленная в примере 1.2.
1.5. Квадратичные треугольные элементы
Запишем квадратичную аппроксимацию для треугольного элемента
Так как имеется шесть произвольных констант то, следовательно, будет и
шест узлов (рис.10).
,
. (64)
. (65)
Рис. 10. Квадратичный треугольный элемент
Эти шесть констант
,
, …,
координат с соответствующим выбором значения температур
пример, для первого узла будет
Определив
,
, …,
функций форм. Этот процесс является утомительным, да и ненужным. В общем
случае существует довольно удобный метод установления функций формы, ко-
могут быть найдены подстановкой узловых
,
, …,
. На-
. (66)
подставляем их в (65), найдем соотношения для
21
торый базируется на локальных координатах. Пояснения поэтому поводу дают-
αβγ
n
αβγ
++=
N
αβγ
i
L
j
L
k
L
( )
(
)
(
)
( )
,,
i jk i j k
N LLL N LN L N L
αβγ α β γ
=
( )
1
1
i
i
i
nL i
NL
i
α
α
=
−+
=
∏
1
α
≥
( )
1
i
NL
α
=
0α=
N
β
N
γ
j
L
k
L
1 200
NN=
3 020
NN=
5 002
NN=
2 110
NN=
4 011
NN=
6 101
NN=
200
N
110
N
( )
( )
( )
200 2 0 0i jk
N NLNLNL=
ся и могут быть использованы также для кубического треугольного элемента.
Вводим тройной индекс
, для которого справедливо
, (67)
где n – порядок интерполяционного полинома. Запись
означает интерпо-
ляционную функцию для узла как функцию от локальных координат
, а именно
, (68)
где
Точно также можно записать
и
, если
, если
в терминах
. (70)
и
(69)
соответственно.
Для квадратичного треугольного элемента (рис. 11), функции формы оп-
ределяются так:
,
и
угловые узлы:
срединные узлы:
;
;
Рис. 11. Определение функции формы для квадратичного
треугольного элемента
Пусть нужно вычислить, например,
;
;
,
.
и
. (71)
22
Из вышеприведенного соотношения, в котором
2
α
=
0
β
=
0
γ
=
(
) ( )
2
2
1
1 2 11 2 21
2 1,
12
i ii
i ii
i
nL i L L
N NL L L
i
α
=
−+ −+ − +
== =⋅=−
∏
( )
( )
00
1, 1.
jk
N NL N NL
βγ
= = = =
( )
( )
( ) (
)
200 2 0 0 1
21
i j k ii
N NLNLNL L L N= = −=
(
)
( )
3 020 5 002
21
и 2 1.
j j kk
NNLL NNLL==−==−
( )
( )
( )
11
110 1 1 0
11
21
21
j
i
ijk
ii
Li
Li
N NLNLN L
ii
= =
−+
−+
= =⋅=
∏∏
2 11
2 11
.
11
j
i
L
L
−+
−+
= ⋅
2 110
4.
ij
N N LL= =
4 011
4,
jk
N N LL= =
6 101
4.
ki
N N LL= =
( )
2 1 , 1,3,5, , , ,
mnn
N L L m n i jk= −= =
24 6
4, 4 , 4.
i j jk ki
NLLNLLNLL= = =
и соответственно
Следовательно,
есть функция формы в узле 1. Аналогично
,
,
(73)
. (74)
, имеем
(72)
(75)
Для среднего узла с функцией формы N
Итак,
Аналогично
В обобщенном виде функции формы для квадратичного треугольного
элемента следующие:
, имеем
110
(76)
(77)
(78)
для угловых узлов:
а для узлов в центре
23
(79)
(80)
Подобным образом, можно показать, что интерполяционные функции для
( )
( )
1
2 1 3 2 , 1, 4, 7, , , .
2
m nn n
N L L L m n i jk
= −−= =
(
)
(
)
23
99
3 1, 3 1.
22
ij i ij j
N LL L N LL L= −= −
( )
( )
56
99
3 1, 3 1.
22
jk j jk k
N LL L N LL L= −= −
(
) (
)
89
99
3 1, 3 1.
22
ki k ki i
N LL L N LL L
= −= −
10
27 .
i jk
N LL L=
10-ти узлового кубического треугольника (рис. 12) следующие:
для угловых узлов
Сторона ij:
Сторона jk:
Сторона ki:
(81)
(82)
(83)
(84)
Рис. 12. 10-ти узловой кубический треугольный элемент
и для узла в центре треугольника
(85)
Возможно получение функций формы для более высокого порядка, ис-
пользуя эту же процедуру.
1.6. Двумерные четырехугольные элементы
У четырехугольного элемента имеется четыре узла в вершинах (рис. 13).
На практике также используются четырехугольники с 8–ю или 9–ю узлами. Четырехугольная сетка напоминает конечно–разностную сетку. Однако, в случае
конечно–разностной сетки, сетка должна быть ортогональной, т.е. все линии
пересекаются под прямым углом друг с другом, тогда как в конечно–
24
элементной сетке, каждый элемент может быть уникальным по форме и каждая
12 3 4
,
T x y xy
αα α α
=+++
24
,Ty
x
αα
∂
= +
∂
34
.
T
x
y
αα
∂
= +
∂
( ) ( )
11 4 4
, ,..., ,xy x y
сторона может иметь различный наклон. Для простейшего случая четырехугольный элемент становится прямоугольным элементом. (рис. 14) с границами, параллельными координатным осям.
Рис. 13. Типовой четырехугольный элемент
Температура в четырехугольнике представляется следующим образом
а температурный градиент
(86)
(87)
Таким образом градиент изменяется в элементе линейно. Подставляя величины Т
, Т2, Т3, и Т4 в (86) для координат
1
Рис. 14. Простой правильный элемент
и решая полученную
25
систему, получим значения величин
123 4
,,и.
ααα α
11 22 33 44
,T NT NT NT NT
=+++
( )( )
1
1
,
4
N b xa y
ab
= −−
( )( )
2
1
,
4
N b xa y
ab
= +−
( )( )
3
1
,
4
N bxa y
ab
= ++
( )( )
4
1
.
4
N b xa y
ab
= −+
,xb ya
( )( )
( )(
)
1
1 11
1 1 1 1,
4 44
xy
N b xa y
ab b a
ξη
= − −= − − = − −
11
ξ
−≤ ≤
11
η
−≤ ≤−
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1
11
1 1,
44
xbya
N bxa y
b b a a ab
ξη
−−
= = − −= − −
−− −−
(
) ( )
(
) ( )
( )(
) (
)
(
)
2
11
1 1,
44
x b ya
N bxa y
b b a a ab
ξη
−− −
= = + −= + −
−− − −
( ) (
)
( ) ( )
( )( ) ( )( )
3
11
1 1,
44
x by a
N bxa y
b b a a ab
ξη
−− −−
= = + += + +
−− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
4
11
1 1.
44
xb y a
N bxa y
b b a a ab
ξη
− −−
= = − += − +
−− −−
Подставляя для них найден-
ные выражения в (86) и группируя коэффициенты при Т
где для прямоугольного элемента
(89)
Выразим функции формы в безразмерных величинах
, Т2,…Тn получим
1
(88)
(90)
где
безразмерные координаты элемента (рис. 15). Функции формы могут быть получены с использованием интерполяционных функций Лагранжа (30)
и
(91)
(92)
26
( )( )
1 1,
i ii
N
ξξ ηη
=++
( )
,
ii
ξη
3
12 4
1234
N
TN N N
TTTT
xx x x x
∂
∂∂ ∂ ∂
=+++=
∂∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )
1234
1
.
4
a yT a yT a yT a yT
ab
= −− +− ++ −+
( ) ( )
( ) ( )
1234
1
.
4
T
b xT b xT b xT b xT
y ab
∂
= −− −+ ++ +−
∂
[ ]
( ) (
) ( ) (
)
( ) (
) ( ) ( )
[ ][ ]
1
2
3
4
1
g B.
4
T
T
ay ay ay ay
T
x
T
T
T
ab
bx bx bx bx
y
T
∂
−−−+−+
∂
= = =
∂
−− −− + −
∂
[ ]
B
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
111 1
1
B.
4
1 11 1
ηηη η
ξ ξξ ξ
−−−+−+
=
−− −+ + −
С°
Рис. 15. Безразмерные координаты прямоугольного элемента
В общем случае функции формы могут быть записаны так
(93)
где
конструкции. Производные могут быть записаны так
Соответственно,
координаты узла «i».
Т.к. функции формы линейны по x и по y, то они относятся к билинейной
Градиентная матрица может быть записана следующим образом
(94)
(95)
(96)
Матрица
Пример 1.3. Определить температуру и тепловые потоки в точке (2,1) в
квадратной пластине (рис. 16) по данным из табл. 3. Проведите изотерму для
125
.
может быть записана в виде
27
(97)
Таблица 3
N узла
х, см
y, см
T,С°
1
0.0
0,0
100.0
2
5.0
0.0
150.0
3
5.0
5.0
200.0
4
0.0
5.0
50.0
11 22 33 44
,
T NT NT NT NT
=+++
N узла
ξ
η
1
-2,5
-2,5
2
2,5
-2,5
3
2,5
2,5
4
-2,5
2,5
( )( )
1
1 12
,
4 25
N b xa y
ab
= − −=
Данные к примеру 1.3
Рис. 16. Квадратная пластина
Заметим, что начало координат находится в узле 1. Для того, чтобы использовать уже полученные функции формы, определим координаты узлов с
началом в центре квадратной пластины.
Заметим, что 2а=2b=5.0.
Температура в любой точке элемента
(98)
Координаты точки (2,1), с использованием локальных координат и нового
начала координат в центре, будут (-0,5, -1,5). Локальные координаты четырех
угловых точек приведены в табл. 4.
Таблица 4
Локальные координаты для примера 1.3
Функции формы в этих точках вычисляются подстановкой новых координат точки (2,1), т.е.
28
( )( )
2
18
,
4 25
N b xa y
ab
= + −=
( )( )
3
12
,
4 25
N bxa y
ab
= − +=
( )( )
4
13
.
4 25
N b xa y
ab
= − +=
1234
1.NN N N+++=
(
)
0,5, 1,5
12 8 2 3
100 150 200 50 118 .
25 25 25 25
TC
−−
= + + +=
2
100,0
4,0 4,0 1,0 1,0 150,0 28,0
2
.
3,0 2,0 2,0 3,0 200,0 4,0
25
50,0
x
x
y
y
T
k
q
x
Вт см
T
q
k
y
∂
−−
∂
=−=− =
∂
−−
∂
С°
С°
С°
( )( ) ( )( )
1
125,0 2,5 2,5 0,0 100,0 2,5 2,5 0,0 150, 0
25
xx=−−++−+
( )( ) ( )( )
2,5 2,5 0,0 200,0 2,5 2,5 0,0 50,0 ,xx++ + +− +
С
°
С°
(99)
Заметим, что
Поэтому температура в точке (-0,5, -1,5) есть
(100)
Тепловой поток вычисляется из (96):
(101)
Изотерма при 125
не будет прямой в силу естественной билинейности эле-
ментов. Поэтому, необходимо больше двух точек для представления изотермы.
Очевидно, что одна точка будет на стороне 1–2, а другая на стороне 3–4, которые отвечают температуре 125
. Координаты y на стороне 1–2 и 3–4 известны.
Тогда координата х точки на стороне 1–2, которая имеет температуру 125
определяется подстановкой y=0,0 в (98)
(102)
откуда х=2,5 и аналогичным образом, если подставить величину y=5,0 для сто-
роны 3–4, то получим х=2,5. Эти координаты имеют вид (0.0, -2.5) и (0.0, 2.5).
Из найденных двух точек, ясно, что изотерма для 125
пересекает все гори-
зонтальные линии между нижней и верхней сторонами пластины. Поэтому,
чтобы определить другую точку, нужно принять другое значение для y и под-
ставить в (98). Соединяя три точки, получим изотерму для 125
.
1.7. Изопараметрические элементы
Многие практические задачи имеют криволинейные границы, и часто необходимо использовать большое число прямосторонних элементов вдоль этих
границ, чтобы достигнуть геометрического соответствия. Необходимое число
элементов может быть уменьшено, если использовать криволинейные элементы
29
с последующим сокращением общего количества переменных в системе. В слу-
1 1,
ξ
−≤ ≤
ξ
−
1
,1xx
ξ
= = −
2
1x =
( )
( )
( )
(
)
1
11 1
1, 1,
11 2 1 1 2
ij
NN
ξ
ξ
ξξ
−−
−
==−= =+
−− −−−
чае трехмерных задач, общее число элементов всегда еще больше и снижение
общего числа переменных очень важно, особенно, когда есть ограничение на
память компьютера. В то время как есть много методов создания криволинейных элементов, изопараметрический метод более широко используется на
практике, суть которого в сопоставлении регулярного элемента (рис. 17).
Рис. 17. Изопараметрия треугольная и четырехугольная
Т.к. функции формы исходного регулярного элемента известны в локальной системе координат, то криволинейный элемент также может быть определен. Изопараметризация (картография) проста и следует непосредственно.
Имеется два набора отношений, которые должны быть определены при
использовании метода конечных элементов. Первый определяет форму элемента, а другой - порядок интерполяционной функции для поля переменной. Нет
необходимости использовать те же функции формы для координатного преобразования и интерполяционного уравнения. Тогда два различных набора общих
узлов существуют. Оба множества глобальных узлов идентичны в случае изопараметрических элементов.
Для одномерного элемента естественная система координат есть относительная длина, такая, что
координат находится в середине линейного отрезка. Для одномерного линейного элемента (подставляя
где
и
естественная координата. Начало
в (31)), получим
где i и j −два узла одномерного элемента. Для одномерного квадратичного элемента
(103)
30