Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
(
) (
)
( ) ( )
( )
2
01
1,
10 11 2
11
1,
0 1 01
10
1,
1 1 10 2
i
j
k
N
N
N
ξξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
−−
= =−−
−− −−
−− −
= = −
−− −
−− −
= = +
−− −
(104)
( )
g
ξ
,
ii j j kk
x Nx N x N x
=++
,
ij
NN
k
N
,
ii i
i
dN dN dN
dx
J
d dx d dx
ξξ
= =
1
.
ii
i
dN dN
J
dx d
ξ
−
=
( )
dx d
ξ
[ ]
J.
[ ]
J
[ ]
J.
j
ik
i jk
dN
dN dN
dx
xx x
dd d d
ξξ ξ ξ
==++
2, 4
ij
xx= =
6.
k
x =
[ ]
( )
11
J 2 24 6
22
j
ik
i jk
dN
dN dN
dx
xx x
dd d d
ξξ ξ
ξξ ξ ξ
= = + + =− + +− + + =
2 8 8 2,
ξξ
=+−=
где i, j и к соответственно три узла квадратичного элемента. Для того, чтобы
вычислить матрицу жесткости, необходимо найти производные функций формы по глобальной координате, т.е. в данном случае по х. И, следовательно, координатное преобразование (рис.17) будет определено. В любом случае, функции
и g(x) будут взаимнооднозначными отображениями.
Преобразование координат может быть выполнено с использованием тех
же функций, что и в (104), но заменой координатой для узлового параметра. Тогда преобразование координаты есть
(105)
где
и
определяются из (104). Производная по ξ определяется
(106)
где
(107)
Количество
обозначается через
называется преобразованием координаты по Якоби и
Для одномерной координаты преобразование
ляется следующим образом
(108)
Пример 1.4. Получить производные функции формы для одномерного
квадратичного элемента, который имеет узловые координаты
вычис-
и
Матрица Якобиана записывается так
(109)
31
тогда
[ ]
1
1
J.
2
−
=
[ ]
1
11
2 42
1
J 2.
2
11
2 42
i
i
jj
k
k
dN
dN
d
dx
dN dN
dx d
dN
dN
dx
d
ξ
ξ
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
−
−+ −+
= =−=−
++
ξ
(
) ( )
,, ,.xx yy
ξη ξη
= =
(
)
( )
,
,
,
,
i
ii
i
ii
N xy
NN
xy
xy
N xy
NN
xy
xy
ξ ξξ
η ηη
∂
∂∂
∂∂
= +
∂ ∂∂ ∂∂
∂
∂∂
∂∂
= +
∂ ∂∂ ∂∂
[ ]
J.
i
ii
ii
i
N
xy
NN
xx
NN
N xy
yy
ξ ξξ
ηη
η
∂
∂∂
∂∂
∂ ∂∂
∂∂
= ⋅=
∂∂
∂ ∂∂
∂∂
∂∂
∂
[ ]
1
J.
i
i
i
i
N
N
x
N
N
y
ξ
η
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
(110)
В итоге производные функции формы записываются
Для двухмерного случая можно x и y выразить через
(112)
(111)
и η, т.е.
Т.к. в данном случае имеется декартова система координат, то для вычисления матрицы жесткости преобразуем производные функций формы, используя формулы
(113)
которые могут быть записаны в виде
(114)
Откуда
32
(115)
Заметим, что обратная матрица Якоби
[ ]
1
J
−
[ ]
[ ]
1
1
J.
det J
yy
xx
ηξ
ηξ
−
∂∂
−
∂∂
=
∂∂
−
∂∂
8
1
.
ii
i
T NT
=
=
∑
( ) (
)
( ) ( )
8
1
8
1
, ,,
, ,,
ii
i
ii
i
x Nx
y Ny
ξη ξη
ξη ξη
=
=
=
=
∑
∑
( )
,
ii
xy
вычисляется так
(116)
Для восьмиузлового изопериметрического элемента (рис.18) величина температуры T в любой точке задается так
(117)
Рис. 18. Восьмиузловой изопараметрический элемент
Координаты x и y любой точки элемента определяются выражениями
где
координаты узла ″i″, а квадратичные функции формы записываются
33
(118)
( )( )( )
( )
( )
( )( )( )
( )
( )
( )( )( )
( )
( )
( )( )( )
( )
( )
1
2
2
3
2
4
5
2
6
7
2
8
1
111 ,
4
1
1 1,
2
1
1 1 1,
4
1
11 ,
2
1
1 1 1,
4
1
1 1,
2
1
1 1 1,
2
1
11
2
N
N
N
N
N
N
N
N
ξ η ξη
ξη
ξ ηξη
ξη
ξ ηξη
ξη
ξ η ξη
ξη
=−−−++
=−−
= + − −−
=+−
= + + +−
=−+
= − + −+ −
=−−
(119)
ξ
η
−
ξ
ξ
η
12, 12
ξη
= =
1 1 22
33
44
1 11 1
, ,, ,
4 44 4
11 11
,, ,.
44 44
NNNN
NN
NN
η ξη ξ
ξ η ξη
ηξ ηξ
ξηξ η
∂ −∂ −∂ −∂ +
=−=−= =−
∂ ∂ ∂∂
∂∂
+ +∂ +∂ −
===−=
∂∂∂ ∂
[ ]
44
11
44
11
25 4
1
J.
5 14
8
ii
ii
ii
ii
ii
ii
NN
xy
NN
xy
ξξ
ηη
= =
= =
∂∂
∂∂
= =
∂∂
∂∂
∑∑
∑∑
Переменные
изменяется с положением текущей точки. Узлы элемента нумеруются против
часовой стрелки, начиная с любого углового узла. Направления
чены на рис.18, т.е. положительные
в направлении узлов 3−5.
Пример 1.5. Оцените частные производные функций формы при
для четырехугольного элемента, предполагая, что температура
может быть аппроксимирована (а) билинейным и (б) квадратичным интерполяционными полиномами.
(а) Билинейный случай.
Производные функции формы в локальных координатах таковы
и
криволинейные координаты, направление которых
и η обозна-
в направлении узлов 1−3, положительные
(120)
Матрица Якоби и ее обратная матрица вычисляются по (114) и (116), т.е.
34
(121)
Определитель матрицы Якоби есть
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
25 14 5 4
330
det J .
88 88 64
⋅⋅
= −=
⋅⋅
[ ]
1
14 4
8
J.
5 25
330
−
−
=
−
12, 12
ξη
= =
11
11
и.
88
NN
ξη
∂∂
=−=−
∂∂
1
1
10
1
.
20
330
N
x
N
y
∂
−
∂
=
∂
−
∂
( )(
)( )
1
1
111 .
4
N
ξ η ξη
=−−−++
11
13
,.
16 16
NN
ξη
∂∂
= =
∂∂
1
1
30
1
.
60
660
N
x
N
y
∂
∂
=
∂
∂
Использование (116) дает
(122)
(123)
Подставляя
Подставляя в (115), имеем
Подобным образом могут быть вычислены все остальные производные.
(б) Квадратичная вариация
Функция формы в узле 1 есть
в (120), получим
(124)
(125)
(126)
Производные относительно преобразуемых координат
Производные относительно глобальных координат
Другие производные вычисляются аналогичным образом.
(127)
(128)
35
Возникает вопрос: как преобразовать систему координат для треугольных
ξη
−
ξ
11
22
33
1,
; 0 1,
; 0 1.
NL
NL
NL
ξη
ξξ
ηη
= =−−
= = ≤≤
= = ≤≤
(
) ( ) ( )
(
) (
)
(
)
( )
111
322
533
2 1 21 1 1 ,
2 1 2 1,
2 1 2 1.
NLL
NLL
NLL
ξη ξη
ξξ
ηη
= − = −− − −−
= −= −
= −= −
( )
( )
2 12
4 23
6 31
4 41 ,
4 4,
4 41 .
N LL
N LL
N LL
ξ ξη
ξη
η ξη
= = −−
= =
= = −−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
12 1121 2 12 2 3 12 3
12 112 1 2 12 2 3 12 3
, , , ,,
, , , ,,
xLL N LL x N LL x N LL x
yLL N LL y N LL y N LL y
=++
=++
элементов (L
, i=1,2,3) к
i
координатам.
Функции формы для трехузлового линейного треугольника могут быть
выражены в системе координат
Для квадратичного треугольника с шестью узлами функции формы для
угловых узлов есть
и η (рис. 19), т.е.
(129)
(130)
Рис. 19. Изопараметрическое преобразование единичного треугольного
элемента: а – глобальное; b – локальное–линейное; с – локальное квадратичное
Для срединных узлов
Рассмотрим линейный треугольный элемент (рис.19, а)
где x
, x2, x3, y1, y2, y3 − глобальные координаты трехузлового треугольного эле-
1
мента, которые используются для уяснения геометрии. Замена функций тока
координатами области дает
36
(131)
(132)
( ) ( )
( ) ( )
1 2 11 2 2 3 1 2
1 2 11 2 2 3 1 2
, 1,
, 1.
x L L xL x L x L L
y L L yL y L y L L
= + + −−
= + + −−
[ ]
(
)
(
)
(
)
(
)
13 13
11
23 23
22
J.
xy
xx yy
LL
xy
xx yy
LL
∂∂
−−
∂∂
= =
∂∂
−−
∂∂
[
]
( )( ) ( )( )
13 2 3 2 313
det J 2 ,xxy y xxyy A=− −−− −=
где А
[ ]
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
23 13 23 13
1
23 13 23 13
11
J.
det J 2
y y yy y y yy
A
x x xx x x xx
−
− −− − −−
= =
−− − −− −
[ ]
1
1
1
1
1
1
2
J.
N
N
L
x
N
N
y
L
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
4
Nx∂∂
4
Ny∂∂
(133)
Компоненты матрицы Якоби
(134)
Определитель матрицы Якоби
(135)
−
площадь элемента. Обратная матрица для матрицы Якоби есть
(136)
Окончательно, производные в глобальных координатах записываются
(137)
Пример 1.6. Вычислить
треугольного элемента (рис. 20) (левый рисунок), когда геометрия представлена
трехузловым треугольником (рисунок справа).
и
в точке (1,4) для квадратичного
Рис. 20. Треугольные элементы
37
Координаты выражаются так
11 2 2 3 3
11 2 2 3 3
,
.
x xL x L x L
y yL y L yL
=++
=++
23
23
3,
2 6.
x LL
yL L
= +
= +
[ ]
( )( ) ( )( )
det J 1 4 2 6 16.=− −− −=
[ ]
1
46
1
J.
21
16
−
−
=
−−
(
)
23 2 1 2
4 41 ,
LL L L L= −−
[ ]
4
4
1
23
1
4
4 23
2
1, 5
J.
0,5 0, 25
N
N
LL
L
x
N
N LL
y
L
−
∂
∂
+
∂
∂
= =
∂
∂−
∂
∂
( )
( )
, 1, 4 ,xy =
23
23
123
3 1,
2 6 4,
1,
LL
LL
LL L
+=
+=
++=
123
115
,,.
488
LLL= = =
После подстановки координат трех точек имеем
Определитель матрицы Якоби (135)
Обратная матрица Якоби (136)
(138)
(139)
(140)
(141)
Функция формы N
, используя равенство
4
Для того, чтобы определить локальные координаты в
пользуемся тремя уравнениями (139):
откуда
есть
(142)
вос-
(143)
(144)
Подставляя эти значения в (142), получим
38
4
4
8,5
8
.
1, 5
16
N
x
N
y
∂
∂
=
∂
−
∂
(145)
12 3 4
.T xyz
αα α α
=+++
11 22 33 44
.T NT NT NT NT=+++
( )
1
, 1,2,3,4
6
i ii i i
N a bx cy dz i
V
= +++ =
Таким же образом могут быть вычислены остальные производные.
1.8. Трехмерные элементы
Количество данных, требуемых для определения области вычисления и
граничных условий, становится существенно больше в трехмерном случае, чем
для двумерных задач. Поэтому очевидно, что объем вычислительной работы/
стоимости возрастает в значительной степени. Поэтому необходимо приспособить трехмерные элементы для использования. Рассматриваются тетраэдр,
прямоугольный гексаэдр, (рис. 21) в этом пункте, которые являются расширениями линейных элементов треугольника и четырехугольника на плоскости.
Линейное представление температуры для элемента тетраэдра (трехмерный линейный элемент) таково
(146)
Как было показано ранее для плоских элементов, константы в уравнении
(146) могут быть определены в следующем виде
где
(147)
(148)
Рис. 21. Трехмерные элементы: (а) тетраэдр, (b) гексаэдр, (с) призма
Объем тетраэдра определяется так
39
1 11
222
333
444
1
1
6 det .
1
1
xyz
xyz
V
xyz
xyz
=
11 11 11
,,.
666
Nb Nc Nd
xV yV zV
∂∂∂
= = =
∂∂∂
[ ]
3
12 4
1234
12 4
3
1
B,
6
b
bb b
cc cc
V
dd d
d
=
где
22
1 33
44
1
det 1 ,
1
yz
b yz
yz
= −
22
1 33
44
1
det 1 ,
1
xz
c xz
xz
= −
22
1 33
44
1
det 1 .
1
xy
d xy
xy
= −
( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
( )
( )( ) (
)( )
1 2 434 3 424
2 3 41 4 1 43 4
3 1 42 4 2 414
4123
,
,
,
;
b y yzz yyzz
b yyzz yyzz
b yyzz y yzz
b bb b
=− −−− −
=− −−− −
=− −−− −
=++
(149)
Также заметим, что
(150)
Поэтому градиентная матрица функций формы может быть записана как
(151)
(152)
Точно также и другие элементы в (151) могут быть определены. Поэтому
в окончательном виде все элементы таковы:
−элементы
b
с−элементы
(153)
(154)
(155)
40