Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
( )
(
) (
)
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )( ) ( )( )
( )
1 3 42 4 2 434
2 14 3 4 3 414
3 2 41 4 1 42 4
4 123
,
,
,
;
c xxz z xxzz
c xxzz xxzz
c xxzz xxzz
c cc c
=− −−− −
=− −−− −
= − −−− −
=− ++
(156)
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
1 2434 3434
2 3414 143 4
3 14 2 4 241 4
4 123
,
,
,
.
d xxyy xxyy
d xxyy xxyy
d xxyy xxyy
d dd d
=− −−− −
=− − −− −
=− −−− −
=−++
1234
1.LL LL+++=
11 22 33 44
,, , .NLNL NLNL
= = = =
( )
1234
!!! !
6.
3!
abcd
V
abcd
L L L L dV V
abcd
=
+++ +
∫
222
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.T x y z x y z xy yz zx
αααααααααα
=+++++++++
d
−элементы
(157)
Объемная координатная система для тетраэдра может быть аналогичным
образом введена, как и для треугольника. В тетраэдре используются четыре относительных расстояния, каждая из которых перпендикулярна сторонам L
L
и L4.
3
Заметим, что
Линейные функции формы связаны с объемной координатой следующим
образом
, L2,
1
Объемные интегралы могут быть легко вычислены из соотношения
Для квадратического тетраэдра
Т.е. десять узлов будут определять квадратичный тетраэдр, как показано
на рис. 22.
(158)
(159)
(160)
Рис. 22. Квадратичный тетраэдный элемент
41
Элемент может также иметь изогнутые поверхности на границах. Как и
11 22 33 44 55
6 6 7 7 8 8 9 9 10 10
.
T NT NT NT NT NT
NT NT NT NT N T
=+++++
++ +++
( ) ( )
( )
( )
111 2 2 2
333 444
5 41 6 34 7 32
8 1 2 9 2 4 10 1 3
2 1, 2 1,
2 1, 2 1,
4, 4, 4,
4, 4 , 4.
NLL N L L
NLL NLL
N LL N LL N LL
N LL N L L N LL
=−=−
=−=−
= = =
= = =
12 3 4 5 6 7 8
,T x y z xy yz zx xyz
αα α α α α α α
=++++ + + +
8
1
.
ii
i
T NT
=
=
∑
( )( )( )
1
111,
8
i ii i
N
ξξ ηη ρ ρ
=+++
, и
ii i
ξη ρ
−
( )( )( )( )
1
1 1 1 1 , 1, 8.
8
i i i ii i i
Ni
ξξ ηη ρ ρ ξξ ηη ρ ρ
=+ + + ++ − =
раньше, температурное распределение может быть переписано в терминах
функций формы
(161)
Функции формы могут быть выражены в терминах локальных координат
(162)
Параллелепипед или гексаэдральный элемент, показанный на рис. 21, b,
является простейшим элементом, который легко визуализируется при дискретизации области. Билинейная интерполяционная функция есть
(163)
которая может быть записана как
(164)
где
(165)
где
локальные координаты.
Для квадратичного 20 – узлового гексаэдра, который может представлять
твердые тела с изогнутыми поверхностями, как показано на рис. 23, функции
формы могут быть записаны следующим образом:
угловые точки
(166)
42
( )
( )( )
(
)
(
)( )
(
)
( )( )
2
2
2
1
1 1 1 , 9,13,15,11
4
1
1 1 1 , 10,14,16,12
4
1
1 1 1 , 18,19, 20,17.
4
i ii
i ii
i ii
Ni
Ni
Ni
ξ ηη ρ ρ
η ξξ ρρ
ρ ξξ ηη
=−+ + =
=−+ + =
=−+ + =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
11 2 2 33
41 5 2 63
111
1, 1, 1,
222
11 1
1, 1, 1.
22 2
N L wN L wN L w
N L wN L wN L w
=−=−=−
=+=+=+
1w = −
Рис. 23. Шестигранный элемент с 20 узлами
срединные точки
(167)
Функции формы для линейного пентаэдрального элемента (который используется в цилиндрической геометрии) могут быть сгенерированы на основе
треугольника и одномерных интерполяционных функций (рис. 21, с)
(168)
где
нии, изопараметрические элементы очень полезны, когда они могут быть использованы при моделировании иррегулярных твердых тел и элемент может
быть представлен одними кубами.
сте конечно элементного анализа, сосредоточим свое внимание на определении
элементных характеристик, т.е. отношение между узловыми неизвестными и
соответствующими нагрузками или силами в форме следующего матричного
уравнения, а именно,
для нижней поверхности и 1 для верхней поверхности. В заключе-
2. ФОРМУЛИРОВКА (ЭЛЕМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ)
После краткого описания различных элементов, используемых в контек-
43
[
]
{
} {
}
K T f,
⋅=
(169)
[ ]
K −
{
}
T
−
{ }
f −
( ) ( )
2
2
,
aa
xxdxx
dT dT dT d T
kA hPdx T T kA hPdx T T kA kA dx
dx dx dx
dx
+
− = −− = −− −
( )
2
2
0
a
dT
kA hP T T
dx
− −=
0, 0x dT dx= =
,
b
x LT T= =
где
тепловая матрица жесткости;
вектор неизвестных температур;
тепловая нагрузка, или усиливающий вектор.
Известно несколько методов для нахождения приближенного решения
данной задачи.
1. Метод Ритца (интеграл теплового баланса).
2. Метод Релея-Ритца (вариационная постановка).
3. Метод взвешенных остатков.
Для иллюстрации перечисленных методов рассмотрим одномерную задачу о шипе (рис. 24).
Рис. 24. Задача о шипе
Тепловой баланс дифференциального объема длиной dx (рис. 24)
где к — теплопроводность;
А — площадь поперечного сечения;
h — коэффициент теплопередачи;
P — периметр шипа;
а — атмосфера.
После упрощения, обобщенное дифференциальное уравнение становится
со следующими граничными условиями:
при
(верх), при
(170)
(171)
(основание).
44
Пусть
( )
2 22 2
,, и,
a
T T x L hP kA m m L
θξ µ
−= = = =
2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−=
0, 0
dd
ξ θξ
= =
1.
b
ξ θθ
= =
(
)
( )
12
1
, , ,..., ,
n
n ii
i
TTTxaa a aNx
=
≈= =
∑
12
, ,...,
n
aa a
( )
i
Nx
(
)
i
Nx
(
) ( ) ( )
11 11 2 2
,,T aN x T aN x aN x= = +
( )
1
.
n
ii
i
T aN x
=
=
∑
T
( )
( )
2
11bB
θξ
ξ
θ
=−−
уравнение переходит в
со следующими новыми граничными условиями
тогда обобщенное
(172)
при
и при
(173)
2.1. Метод Ритца (метод теплового интегрального баланса – метод Гудмена)
Приближенное решение (172) с соответствующими граничными условиями может быть найдено с использованием следующей функции:
(174)
которая имеет одно или более неизвестных параметров
и функций
, которые в точности удовлетворяют граничным условиям (173). Функ-
ции
относятся к пробным функциям, которые должны быть непрерыв-
ными и дифференцируемыми до самого высокого порядка, представленного в
интегральной форме данного уравнения.
Аппроксимации могут быть выполнены с использованием одного, двух
или n слагаемых
(175)
или
(176)
Когда
подставляется в дифференциальное уравнение, то они не удовле-
творяются точно, с точностью до невязки R. Точное решение будет тогда, когда
невязка R является нулем во всех точках области.
В приближенных методах решения, невязка не равна нулю везде в области, даже при том, что она может быть равна нулю в некоторых из них.
Выберем профиль, который удовлетворяет граничным условиям (173) в
общем смысле. Проверкой находим, что
(177)
45
удовлетворяют граничным условиям, где В является неизвестным параметром,
( )
1
2
2
2
0
0.
d
d
d
θξ
µθ ξ
ξ
−=
∫
( )
2
2
2.
b
d
B
d
θξ
θ
ξ
=
( )
{ }
1
1
3
22 2
0
0
2
2 11 2
3
2 1 0,
3
bb b
bb
B
B Bd B B
B
BB
ξ
µ ξ θξ θξµθξ ξ
θ µθ
− −− = − − + =
= − −+ =
∫
2
2
2
.
13
B
µ
µ
=
+
( )
( )
2
2
2
2
11 .
13
b
θξ
µ
ξ
θ
µ
=−−
+
( )
16,66k Вт м К=
2
25 ,h Вт м К=
22
3,0 и 300,m
µ
= =
( )
( )
2
3
11
4
b
θξ
ξ
θ
=−−
который должен быть определен.
В методе Ритца, приближенный профиль подставляется в дифференциальное уравнение (172), а затем интеграл от невязки R по области приравнивается нулю для определения константы В, т.е.
(178)
Дифференцирование (177) дает
(179)
Подставляя (179) в (178), получим
(180)
откуда
(181)
Подставляя (181) в (177), получим
(182)
Для шипа из нержавеющей стали
круглого попереч-
ного сечения диаметра 20м и длины 10см при коэффициенте теплоотдачи с окружающей средой
тогда
приближенное
решение будет
где точное решение есть
46
(183)
(
)
( )
( )
.
b
ch m L x
ch mL
θξ
θ
−
=
(184)
Безразмерная температура
Расстояние от вершины
2
2
2
0
d
d
θ
µθ
ξ
−=
( )
( )
0
0 и1 .
b
d
d
θ
θθ
ξ
= =
Заметим, что начало координаты x принято от верхней поверхности шипа
(рис. 24). Сравнение точного решения с приближенным показано на рис. 25.
Рис. 25. Сравнение между решением по методу Ритца и точным решением
Видно, что температуры согласуются хорошо в области, примыкающей к
x=1, но отличаются при приближении к изолированной поверхности.
2.2. Метод Релея–Ритца (вариационный метод)
Для случая вариационного метода, используется важная теорема из теории вычисления вариаций, которая говорит: «Функция Т(х), которая устремляет
к экстремуму вариационный интеграл, соответствующий дифференциальному
уравнению (называемому Эйлеровым или уравнением Эйлера–Лагранжа) является решением исходного дифференциального уравнения с соответствующими
граничными условиями». Это подразумевает, что полученное решение единственно, и хорошо подходит для означенной задачи. Таким образом, на первом
шаге определяется вариационный интеграл I, который соответствует дифференциальному уравнению и его граничным условиям. Дифференциальное уравнение (172) есть
(185)
со следующими граничными условиями
(186)
Используя дифференциальное уравнение как уравнение Эйлера–
Лагранжа, можно записать
47
1
2
2
2
0
0.
d
Id
d
θ
δ µ θ δθ ξ
ξ
=−=
∫
интегрирование по частям дает
( )
1
11
2
00
0
0.
d dd
dd
d dd
θθ
δθ δθ ξ µ θ δθ ξ
ξ ξξ
− −=
∫∫
(
)
2
2
11
, ,.
22
d dd d
d d dd d
θ θ δθ θ
δθ δ δ δ θ δθ δθ
ξ ξ ξξ ξ
= = =
1
2
1
22
0
0
1
0.
2
dd
d
dd
θθ
δθ δ µ θ ξ
ξξ
− +=
∫
2
1
22
0
1
0
2
d
d
d
θ
δ µθ ξ
ξ
+=
∫
2
1
22
0
1
.
2
d
Id
d
θ
µθ ξ
ξ
= +
∫
( )
( )
1
2
2
2 22
0
1
2 11 .
2
b
I B Bd
θ ξµ ξ ξ
= + −−
∫
2 2 2 22 2 2
1 4 21 2
2.
2 3 35 3
b
IB B
θ µ µ µµ µ µ
= +− + ++− +
Используем отношения
Тогда (188) упрощается
(187)
(188)
(189)
(190)
Когда используются граничные условия (186), первое слагаемое вышеприведенного уравнения обращается в ноль. Тогда вариационная формулировка
данной проблемы есть
(191)
и соответствующий вариационный интеграл таков
(192)
И теперь профиль, который минимизирует интеграл (192) есть решение
дифференциального уравнения (185) с граничными условиями (186).
Примем тот же самый профиль (177) и подставим его в (192):
(193)
После интегрирования и подстановки пределов, получим
48
(194)
Для того, чтобы I достигал минимума, нужно
0,IB∂∂=
2 2 22 2 2
1 4 21 2
2 2 0,
2 3 35 3
b
I
B
B
θ µ µ µµ µ µ
∂
= +− + ++− + =
∂
22
48 4
2.
3 15 3
B
µµ
+=
2
2
2
.
12 5
B
µ
µ
=
+
( )
( )
2
2
2
2
11 .
12 5
b
θξ
µ
ξ
θ
µ
=−−
+
22
3 и 300,m
µ
= =
которое дает
или
Подстановка в (177) дает
т.е.
(195)
(196)
(197)
(198)
Для задачи шипа в предыдущем пункте получено
срав-
нение между вариационным методом и точным решением показано на рис. 26.
Рис. 26. Сравнение между вариационным методом и точным решением
Видно, что соответствие между решениями лучше, чем соответствие ме-
жду решениями по методу Ритца и точным решением.
Можно заметить из вариационного интегрального уравнения (192), что
оно содержит только производную первого порядка, при том, что само дифференциальное уравнение (185) содержит производную второго порядка.
Если тело из двух различных материалов, то вторая производная от температуры, в соответствии с дифференциальным уравнением в точке сопряжения
этих материалов, может не существовать. В этом случае, вариационная формулировка задачи привела бы к более точному решению, т.к. в этом примере на-
49
личия второй производной нет необходимости. По этой причине, вариационная
( )
0 в.LT = Ω
( )
1
.
n
ii
i
T T aN x
=
≈=
∑
(
)
0LT R= ≠
12
, ,...,
n
aa a
( )
0, 1, 2,...,
i
w x Rdx i n
Ω
= =
∫
( )
i
wx−
( )
i
wx
( )
( )
ii
wx x x
δ
= −
( )
0;
i
i xx
R x x dx R
δ
=
Ω
−==
∫
( )
1
i
wx=
0, 1,2,...,
i
Rdx i n
Ω
= =
∫
( ) ( )
,
ii
wx Nx=
формулировка физической задачи часто называется «мягкой» формулировкой.
2.3. Метод взвешенных невязок
Для тех дифференциальных уравнений, для которых нельзя записать вариационную формулировку, необходимо найти альтернативный метод формулировки. Метод взвешенных невязок обеспечивает очень сильную приближенную решательную процедуру, которая применима к большому многообразию
задач и таким образом делает не нужным искать вариационные формулировки
для того, чтобы применить метод конечных элементов для этих задач.
Пусть дифференциальные уравнения представляются в виде
(199)
Пусть
(200)
Подставим последнее соотношение в (199)
(R–невязка) (201)
По методу взвешенных невязок требуется, чтобы параметры
были определены из удовлетворения условию
(202)
где функции
нечное число способов выбора
n произвольных взвешенных функций. Существует беско-
но чаще всего используется четыре. В зави-
симости от способа выбора взвешенных функций, им даны различные названия:
коллокация:
(203)
подобласть:
Галеркин:
(заметим, что подобласть ,Ω интегрируема)
(204)
т.е. те же самые функции, что и при записи T(x)
50