Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных элементов. Учебное пособие.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учебное пособие
Воронеж 2025
1
УДК 519.6:534(075.8)
Ряжских, В. И.
ROM дисковод; мышь. — Загл. с экрана.
ISBN 978-5-7731-1226-6
© Ряжских В. И., Ряжских А. В.,
университет», 2025
ББК 22.19я7
Р98
Рецензенты:
кафедра информационных и управляющих систем
Воронежского государственного университета инженерных технологий
(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. И. А. Хаустов);
И. Ф. Астахова, д-р техн. наук, проф. кафедры программного обеспечения и
администрирования информационных систем Воронежского государственного
университета
Р98
Метод конечных элементов: учебное пособие [Электронный
ресурс] / В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева. — Электрон.
текстовые и граф. данные (1,5 Mб). — Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2025. — 1 электрон.
опт. диск (DV
D-ROM). — Систем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб
ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-
ISBN 978-5-7731-1226-6
Учебное пособие охватывает основные концепции и применение метода
конечных элементов в решении сложных задач теплопереноса, гидродинамики
и других областей, предоставляя студентам необходимые знания для успешного использования этого мощного инструмента в практике.
Предназначено для студентов 3 курса, обучающихся по специальности
24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», а также будет
полезно всем, изучающим численные методы решения инженерных задач.
Ил. 30. Табл. 8. Библиогр.: 3 назв.
УДК 519.6:534(075.8)
ББК 22.19я7
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
Соболева Е. А., 2025
© ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический
2
ВВЕДЕНИЕ
Метод конечных элементов является числовым инструментарием для определения приближенных решений большого класса инженерных задач. Первоначально метод был развит для изучения напряжений в сложных пористых
структурах и позже был модифицирован на общую механику сплошных сред.
Было опубликовано большое количество статей по истории метода конечных
элементов многими авторами с противоположными мнениями о его возникновении. Метод конечных элементов получает значительное распространение в
инженерном образовании и в промышленности, ввиду его универсальности как
инструмента анализа. Часто необходимо получать приближенные численные
решения для сложных производственных задач, для которых точные решения
получить трудно. Примером такой сложной ситуации может быть охлаждение
электронного оборудования (или интегральных схем). Также, распространение
загрязнений в неоднородной атмосфере, температуры металлических изделий и
при обтекании газом турбинных лопаток, для которых входная температура
превышает точку плавления материала лопаток, задачи охлаждения электромоторов, различные задачи при фазовых переходах и т.д. Хотя, возможно, упростить общее уравнение и граничные задачи, но даже и в таком виде трудно получить их аналитические решения. Сложность заключается в том, что, как правило, приходится решать эти задачи для непростых геометрических конфигураций, или другие какие-то особенности, например, неоднородность и т.д. Аналитические решения таких задач редко удаётся найти; но эти задачи необходимо решать в производственной и научной практике ежедневно.
Метод конечных объёмов является дальнейшим развитием метода конечных разностей, и он становится популярным в вычислительной гидродинамике.
Техника метода конечных объёмов является подобием метода линейных конечных элементов.
Метод конечных элементов рассматривают решения в области, состоящей
из многих взаимосвязанных подобластей, которые дают кусочно-гладкое приближение исходных уравнений, т.е. сложные дифференциальные уравнения в
частных производных переходят либо в линейные, либо в нелинейные алгебраические уравнения. Итак, конечно-элементная дискретизация (т.е. деление
области на совокупность маленьких элементов) заменяет непрерывную задачу с
бесконечным числом неизвестных, на задачу с конечным числом неизвестных,
определяемых в специальных точках, называемых узлами. Тем самым метод
конечных элементов позволяет формировать совокупность элементов, или кусочно-гладкое представление, произвольным образом, а также довольно точно
представлять границы области.
Большинство конечно-разностных схем, используемых в гидродинамики
и теплопередаче, могут быть рассмотрены, как специальные случаи средневзвешенных структур. Для средневзвешенных процедур ошибка в приближенном решении уравнений сохранения не устанавливается в ноль. В пределах этого семейства методов, метод коллокаций воспроизводит классические конечно-
3
разностные уравнения, тогда как метод конечных объёмов алгоритмируется с
использованием постоянства весов.
Для инженеров, которые работают в области гидродинамики и теплопереноса, конечно элементные подходы, введенные математиками и структурными аналитиками, могут вызывать затруднения. Поэтому в данной книги материал излагается от простого к сложному, а затем производится обобщение. При
этом методически представленные результаты излагаются в предельно простой
и доступной форме, чтобы и студенты, и практикующие инженеры могли бы
разобраться.
Численная модель задачи теплопереноса начинается с физической модели, пример чего показан на рис. 1. Как можно заметить, одна часть модели имеет дело с дискретизацией области, а другая с дискретным приближение дифференциальных уравнений в частных производных. Окончательно комбинируя
эти две ветки, достигаем решения задачи.
Решение непрерывной задачи методом конечных элементов осуществляется следующими последовательными шагами:
Рис. 1. Численная модель для вычисления теплопереноса
4
1. Дискретизация непрерывной области.
[ ]
11
K,
11
e
Ak
l
−
=
−
{ }
f,
i
e
j
Q
Q
=
Необходимо область решения расчленить на пересекающиеся подобласти.
Конечно-элементная дискретизация допускает множество форм элемента, например, треугольники и прямоугольники. Каждый элемент формируется путём
соединения некоторого числа узлов (рис. 2). Число узлов зависит от типа элементов (или интерполяционной функции).
Рис. 2. Типовая конечно-элементная сетка
2. Выбор интерполяционных или функций размера.
Следующий шаг должен состоять в выборе вида интерполяционной
функции, которая представляет изменение переменного поля над элементом.
Число узлов формирует элемент, природу и число неизвестных в каждом узле и
определяет поле переменных в пределах элемента.
3. Форма элементных уравнений (формулировка).
Далее необходимо определить матричные уравнения, которые выражают
свойства индивидуальных элементов путём формирования левосторонней матрицы и свободного вектор столбца. Например, типовая левосторонняя матрица
и вектор столбец могут быть записаны так:
(1)
(2)
5
где индекс «е» означает элемент;
[ ] [ ] [ ]
K T f,⋅=
Q — общий тепловой поток;
k — теплопроводность;
l — длина одномерного элемента;
i и j — представляют узлы, формирующие элемент. Неизвестными являются
температуры в узлах.
4. Сборка уравнений элементов для получения системы уравнений.
Для установления свойств полной системы необходимо собрать воедино
уравнения для каждого элемента, т.е. объединить матричные уравнения каждого
элемента таким образом, чтобы результирующая матрица представляла поведение системы во всей области решения задачи. Граничные условия должны быть
так же включены после сборки индивидуальных вкладов элементов, т.е.
(3)
где [K] — общая матрица, которая является результатом сборки матриц элементов, представленная (1);
[f] — общий загрузочный вектор, который является сборкой загрузочных
векторов элементов, представленный (2);
[T] — вектор глобальных неизвестных.
5. Решение системы уравнений.
Получающаяся система алгебраических уравнений (3) может теперь раз-
решена для получения узловых переменных величин, например, температуры.
6. Вычисление вторичных параметров.
Из узловых величин переменного поля, например, температуры можно
получить путём вычисления, вторичные характеристики, например, плотность
теплового потока.
6
1. ЭЛЕМЕНТЫ И ФУНКЦИИ ФОРМЫ
Как показано на рис. 1., метод конечных элементов включает как дискретизацию области, так и исходных уравнений. В этом процессе переменные
представляются в кусочно–гладком виде по области. Представляя область решения числом малых подобластей, называемые элементами, и аппроксимируя
решение по этим подобластям известной функцией, устанавливается отношение между дифференциальными уравнениями и элементами. Функции, используемые для представления решения в каждом элементе, называются функциями
формы, или интерполяционными функциями, или базисными функциями. Они
называются интерполяционными функциями, т.к. используются для определения поля переменных элемента при интерполировании узловых величин. А базисными функциями они называются, поскольку формируют базис метода дискретизации. Для этого широко используются полиномиальные функции, т.к.
они могут быть проинтегрированы, либо продифференцированы легко и точно,
причем точность может быть повышена увеличением порядка полиномиальности, как показано на рис. 3 (с) и (d).
Рис. 3. Одномерные конечные элементы: (а) линейный элемент;
(b) квадратичный элемент; (с) линейное и (d) квадратичное изменение
температуры по элементу
7
1.1. Одномерный линейный элемент
i
T
j
T
( )
12
Tx x
αα
= +
1
α
2
α
1
α
2
α
12ii
Tx
αα
= +
12jj
Tx
αα
= +
1
i j ji
ji
Tx T x
xx
α
−
=
−
2
ji
ji
TT
xx
α
−
=
−
1
α
2
α
j
i
ij
ji ji
xx
xx
TT T
xx xx
−
−
= +
−−
i
ii j j i j
j
T
T NT N T N N
T
=+= ⋅
i
N
j
N
Большинство технических задач может быть приближенно использованием модели одномерного конечного элемента. Например, течение по трубам, течение реки, теплопередача через ребро постоянного сечения и.т.д., может быть
описано одномерным приближением. Рис. 3 показывает профиль температуры в
элементе линейном и квадратичными полиномами.
Рассмотрим типовой линейный элемент с узловыми концами «i» и «j», в
которых температура
и
соответственно.
Линейное изменение температуры в элементе представляется следующим
образом
, (4)
где Т– температура в локальной точке x – элемента, а
и
– постоянные. Т.к.
есть две произвольные константы в линейном представлении, то требуются
только два узла для определения
и
:
,
. (5)
Из этих уравнений можно получить
,
. (6)
При замене
и
в (4) на (6) имеем
или
где
и
называются функциями формы или интерполяционными функ-
циями или базисными функциями.
(7)
, (8)
8
j
i
ji
xx
N
xx
−
=
−
,
i
j
ji
xx
N
xx
−
=
−
[ ] [ ]
NT
T
= ⋅
[
]
N
ij
NN
= −
[ ]
T
i
j
T
T
= −
i
N
j
N
Функция
Узел i
Узел j
x
Ni 1
0
0≤x≤1
Nj 0 1
0≤x≤1
Ni+Nj
1 1 1
. (9)
Выражение (8) может быть записано так
(10)
где
(11)
– матрица функции формы, и
(12)
– вектор неизвестных температур.
Выражение (8) показывает, что температура T для любого x может быть
вычислена с использованием функций формы
и
при конкретном x. Зна-
чения функций формы для элементы приведены в табл. 1.
Таблица 1
Свойства линейных функций формы
Функция формы принимает единственное значение ы определённом узле,
т.е. 1, и 0 во всех других узлах. Можно заметить, что сумма всех функций формы элемента равна единице везде в элементе, включая границы. Это является
двумя основными требованиями к свойствам функций формы для любого элемента одно-, двух- и трехмерных. Рис. 4. показывает изменение функций формы и их производных в пределах линейного элемента. Типичное изменение
температуры также показана на этом рисунке. Заметим, что производные функций формы постоянны в пределах элемента.
9
Изменение функции
11
j
i
ij i j
ji ji
dN
dN
dT
TT T T
dx dx dx x x x x
=+=− +
−−
11
i
j
T
dT
T
dx l l
=−⋅
( )
ji
xx−
[ ] [ ]
BTg = ⋅
[ ]
B
[ ]
T
[ ]
N
[ ]
B
формы по элементу
Типовое изменение
температуры в пределах элемента
Производная функции
формы в пределах
элемента
Рис. 4. Изменение функций формы, температуры и производных
в пределах линейного элемента
По выражению (8) температурный градиент вычисляется так
(13)
или
, (14)
где l – длина элемента, равная
Итак, получено, что градиент температуры постоянен в пределах элемен-
.
та, когда температура изменяется линейно. Перепишем (14)
, (15)
где g — градиент T;
— матрица производных, или матрица напряжений в механике, которая
определяет градиент по значениям в узлах;
— вектор температур.
Матричная функция формы
и матрица производных
две важные
матрицы, которые используются при определении свойств элемента, что будет
показано позже в этой главе.
10