Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных разностей во временной области. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Н.Ю. Кручинин
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО
ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
Учебное пособие
Рекомендовано ученым советом федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования «Оренбургский
государственный университет» для обучающихся по образовательным программам
высшего образования по направлениям подготовки 03.03.02 Физика и 03.03.03
Радиофизика
Оренбург
2024
УДК 538(9)
ББК 22.37
К 84
Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент В.Н. Степанов
Кручинин, Н.Ю.
К 84 Метод конечных разностей во временной области: учебное пособие /
Н.Ю. Кручинин; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2024. – 98 с.
ISBN
В учебном пособии рассмотрен метод конечных разностей во временной
области и его применение для расчета свойств плазмонных наноструктур.
Учебное пособие предназначено для обучающихся по образовательным
программам высшего образования по направлениям подготовки 03.03.03
Радиофизика, 03.03.02 Физика при изучении дисциплин «Математическое
моделирование физических процессов, «Основы молекулярной электроники и
фотоники».
УДК 538(9)
ББК 22.37
ISBN
© Кручинин Н.Ю., 2024
© ОГУ, 2024
2
Содержание
Введение ............................................................................................................................... 5
1 Основы метода конечных разностей во временной области (FDTD) ......................... 6
1.1 Одномерное моделирование ..................................................................................... 6
1.2 Двумерное моделирование ..................................................................................... 21
1.3 Трехмерное моделирование .................................................................................... 29
2 Программный комплекс для моделирования методом коечных разностей во
временной области ............................................................................................................ 32
2.1 FDTD моделирование .............................................................................................. 33
2.1.1 Задание параметров сетки ................................................................................ 33
2.1.2 Граничные условия ........................................................................................... 44
2.1.3 Расширенные настройки ................................................................................... 56
2.2 Источники излучения .............................................................................................. 58
2.2.1 Дипольный источник ........................................................................................ 58
2.2.2 Источник плоских волн и лучей ...................................................................... 62
2.2.3 Источник полного-рассеянного поля .............................................................. 67
2.2.4 Источник излучения «мода» ............................................................................ 69
2.2.5 Источник излучения «импорт» ........................................................................ 70
2.2.6 Метод широкополосного источника с фиксированным углом (BFAST) ..... 72
2.3 Мониторы ................................................................................................................. 76
2.3.1 Монитор показателя преломления .................................................................. 76
2.3.2 Временной монитор .......................................................................................... 78
2.3.3 Видеомонитор .................................................................................................... 79
2.3.4 Монитор профиля частотной области и мощности ....................................... 81
2.4 Анализ результатов .................................................................................................. 84
2.5 Примеры .................................................................................................................... 86
2.5.1 Расчет сечения рассеяния и поглощения ........................................................ 86
2.5.2 Усиление флуоресценции ................................................................................. 90
3
Заключение ......................................................................................................................... 96
Список использованных источников .............................................................................. 97
4
Введение
В учебном пособии рассмотрен метод конечных разностей во временной
области (FDTD). Рассмотрены основы метода конечных разностей во временной
области: одномерное, двумерное и трехмерное моделирование, задание шага
времени моделирования, поглощающие граничные условия, размер ячейки
моделирования, идеально согласованный слой. Также рассмотрена работа в
программном комплексе для моделирования методом конечных разностей во
временной области, пример расчета сечения рассеяния и поглощения золотой
наночастицы и усиления флуоресценции вблизи нее.
Метод конечных разностей во временной области является современным
методом решения уравнений Максвелла для систем сложной геометрии.
Электромагнитное моделирование во временной области рассчитывает уравнения
Максвелла с течением времени в пределах некоторого конечного вычислительного
объема по сути выполняя своего рода численный эксперимент. А это можно
использовать для расчета спектров пропускания и отражения. Путем
преобразования Фурье отклика на короткий импульс одно моделирование методом
конечных разностей во временной области может дать амплитуды рассеяния в
широкополосном спектре. Также возможен расчет резонансных частот. Анализируя
реакцию системы на короткий импульс, можно извлечь частоты, скорости затухания
и характер поля гармонических режимов систем с потерями и без потерь, включая
моды волновода и резонатора. Метод конечных разностей во временной области
решает эти уравнения в дискретной пространственной и временной сетке. Каждый
компонент поля вычисляется в внутри ячейки сетки (ячейка Йи).
5
1 Основы метода конечных разностей во временной области (FDTD)
Метод конечных разностей во временной области (FDTD) предложен Кейном
Йи в 1966 году.
Алгоритм Йи заключается в следующем:
1. Все производные в законах Ампера-Максвелла и Фарадея заменяются
конечными разностями. Пространство и время дискретизируется таким образом, что
электрические и магнитные поля смещаются как в пространстве, так и во времени.
На этом этапе область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным
набором точек, называемых узлами. Совокупность всех узлов называют сеткой.
Вместо функций непрерывных аргументов рассматриваются функции,
определенные на сетке (сеточной области), называемые сеточными функциями.
Уравнения и условия, входящие в описание задачи математической физики,
заменяются из дискретными аналогами. В результате получается сеточная
(разностная) схема.
2. Полученные разностные уравнения решаются таким образом, чтобы
получить так называемые «уравнения обновления», которые выражают будущие
(неизвестные) поля в терминах прошлых (известных) полей.
3. Оценка магнитных полей на один временной шаг в будущем, чтобы они
были известны (фактически они становятся прошлыми полями).
4. Оцениваются электрические поля на один временной шаг в будущее, чтобы
они также были известны.
5. Предыдущие два шага повторяются до тех пор, пока поля не будут
получены [1-3].
1.1 Одномерное моделирование
Рассмотрим данный алгоритм в одном измерении, который легко расширяется
для более высоких измерений.
Зависящие от времени уравнения Максвелла в свободном пространстве имеют
вид:
6
H
E
0
1
t
, (1.1)
EH
0
1
t
z
H
t
E
y
x
0
1
z
E
t
H
x
y
0
1
z
kHkH
t
kEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
)2/1()2/1(
1
)()(
0
2/12/1
z
kEkE
t
kHkH
n
x
n
x
n
y
n
y
)()1(
1
)2/1()2/1(
2/12/1
0
1
ntt
nzz
, (1.2)
здесь E и H — векторы в трех измерениях, поэтому в общем случае уравнения (1.1)
и (1.2) представляют собой по три уравнения каждое. В простом одномерном
случае, используя только Ex и Hy, уравнение (1.1) и (1.2) становятся
, (1.3)
. (1.4)
Это уравнения плоской волны с электрическим полем, ориентированным в
направлении x, магнитное поле ориентировано в направлении у, а волна
распространяется движется в направлении z [1-2, 4-5].
Принимая приближения центральной разности для временных и для
пространственных производных
, (1.5)
. (1.6)
В этих двух уравнениях время указывается верхними индексами, то есть n
фактически означает время
. Соответственно, n+1 означает на один
временной шаг позже. Это делается для того, чтобы дискретизировать для решения
уравнений на компьютере. Символы в скобках обозначают расстояние, то есть k на
самом деле означает расстояние
.
Формулировка уравнений (1.5) и (1.6) предполагает, что поля E и H
чередуются как в пространстве, так и во времени. Поле H использует аргументы
7
2/1k
и
2/1k
2/1n
2/1n
)2/1( kH
y
)1( kE
x
y
H
)]2/1()2/1([)()(
0
2/12/1
kHkH
z
t
kEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
)]()1([)2/1()2/1(
2/12/1
0
1
kEkE
z
t
kHkH
n
x
n
x
n
y
n
y
x
E
x
E
y
H
0
0
x
E
y
H
, чтобы показать, что значения поля H считаются расположенными
между значениями поля E. Это показано на рис. 1.1. Аналогично, для индексов
или
. Например, для вычисления
значения Ex в точках k и k+1. А для расчета
k+1/2 и k+3/2.
необходимы соседние
необходимо значение
при
Рисунок 1.1 – Чередование полей E и H в пространстве и во времени в
формулировке FDTD
Выражения (1.5) и (1.6) можно преобразовать к виду:
, (1.7)
. (1.8)
В уравнении (1.7) новое значение
, а также самого последнего значения
рассчитывается на основе предыдущего
. Вычисления чередуются как в
пространстве, так и во времени. Уравнения (1.7) и (1.8) похожи, но так как
константы
и
отличаются на несколько порядков, то и значения
и
8
также будут различаться на несколько порядков. Это можно обойти, сделав
EE
0
0
~
)]2/1()2/1([
1
)(
~
)(
~
00
2/12/1
kHkH
z
t
kEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
)](
~
)1(
~
[
1
)2/1()2/1(
2/12/1
00
1
kEkE
z
t
kHkH
n
x
n
x
n
y
n
y
c
z
t
2
2/1
2/1
00
z
cz
с
z
t
])[]1[(*5.0][][ khykhykexkex
])1[][(*5.0][][ kexkexkhykhy
сzt /
)2/( сzt
следующую замену переменных:
. (1.9)
Таким образом из уравнений (1.7) и (1.8), используя выражение (1.9),
получаются следующие уравнения:
, (1.10)
. (1.11)
При выборе размера ячейки z шаг по времени t определяется выражением:
, (1.12)
где c – скорость света в вакууме. Таким образом:
. (1.13)
Уравнения (1.10) и (1.11) с учетом (1.12) для решения на компьютере:
, (1.14)
. (1.15)
Шаг времени моделирования
Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме не может
превышать скорости света. Для прохождения расстояния в одну ячейку требуется
минимальное время
. В случае двумерному моделирования необходимо
учитывать распространение в диагональном направлении, а это приводит к тому,
что минимальное время становится равным
. Для трехмерного
9
моделирования необходимо
)3/( сzt
)/( сnzt
сzt 2/
2/ztcl
)1()0(2
n
z
n
z
EE
. Временной шаг должен удовлетворять
условию Куранта [1, 6]:
, (1.16)
где n - размерность моделирования.
Для простоты, как правило, часто употребляется следующий размер
временного шага, который удовлетворяет условию (1.16):
, (1.17)
Поглощающие граничные условия в одном измерении
Поглощающие граничные условия необходимы для предотвращения
отражения полей E и H от границ обратно. Обычно при расчете поля E необходимо
знать окружающие значения H, что необходимо при моделировании методом
конечных разностей во временной области. На краю рассматриваемой области
пространства рассчитать значения на одной из сторон области не получится.
Однако, за пределами моделируемой области нет источников излучения и, поэтому,
поля E и H на краю области должны распространяться наружу [1-3, 7-8].
Если волна движется к границе в вакууме, то за один шаг времени алгоритма
FDTD она проходит расстояние, равное
. (1.18)
Это уравнение объясняет, что волновому фронту требуется два шага по
времени, чтобы пересечь одну ячейку. Таким образом, приемлемым граничным
условием может быть:
. (1.19)
В этом случае импульс распространяется наружу и поглощается, ничего не
отражая обратно в моделируемую область.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]