Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных разностей во временной области. Учебное пособие
.pdf
1
00
120
2
2
00
00
1
00
2
0
2
)1()1(
)1(
)1(
)2(
nnnn
E
t
t
S
t
t
S
t
t
S
nn
n
SDE
)(
)(2)(
)(
1
222
E
jj
S
где
2
0
1
00
2
00
1
)(
/)cos(21
/)sin(
)(
1
2
E
ezte
ztte
zS
tt
t
1
1
221
)sin()cos(2
ntntntn
EtteSeSteS
z
E
~
x
H
y
H
x
E
~
y
E
~
z
H
y
H
x
H
t
D
x
y
z
00
1
, (1.90)
. (1.91)
Альтернативная форма формулировки Лоренца:
, (1.92)
,
,
.
Используя Z-преобразования:
. (1.93)
Соответствующее дискретное уравнение во временной области:
1.2 Двумерное моделирование
При двумерном моделировании мы выбираем одну из двух групп по три
вектора в каждой: (1) поперечную магнитную (TM) моду, состоящую из
, или (2) поперечную электрическую (ТЕ) моду, который состоит из
. (1.94)
,
и
,
и
. Рассмотрим ТМ моду [1-2, 6, 11]:
, (1.95)
21
)()()(
*
zz
ED
, (1.96)
y
E
t
H
zx
00
1
x
E
t
H
z
y
00
1
y
jiHjiH
x
jiHjiH
t
jiDjiD
n
x
n
x
n
y
n
y
n
z
n
z
),2/1(),2/1(1
),2/1(),2/1(
1),(),(
00
00
2/12/1
y
jiEjiE
t
jiHjiH
n
z
n
z
n
x
n
x
),()1,(1)2/1,()2/1,(
2/12/1
00
1
x
jiEjiE
t
jiHjiH
n
z
n
z
n
y
n
y
),(),1(1
),2/1(),2/1(
2/12/1
00
1
, (1.97)
. (1.98)
Как и в одномерном моделировании, важно обеспечить систематическое
чередование вычисляемых полей. Ставя данные уравнения в конечно-разностную
схему получаются разностные уравнения:
, (1.99)
, (1.100)
. (1.101)
Идеально согласованный слой (PML)
Размер области, которую можно моделировать с помощью метода конечных
разностей во временной области (FDTD) ограничен вычислительными ресурсами.
При двумерном моделировании используются двумерные матрицы для значений
всех полей, а также матрицы для хранения остальных параметров. Если волна,
генерируемая точечным источником, распространяется в вакууме, то по мере
распространения волны она в конечном итоге достигнет края допустимого
пространства, что определяется тем, как были заданы матрицы при моделировании.
Если бы граничные поглощающие условия были бы не заданы, то возникли бы
непредсказуемые отражения, которые вернулись бы обратно в моделируемую
22
область. При этом не было бы возможности определить какая волна настоящая, а
BA
BA
y
H
x
H
cDj
x
y
z
)()()(
*
zz
ED
y
E
cHj
z
x
x
E
cHj
z
y
y
H
x
H
cyxDj
x
y
FFz
zz
)()(
**
)()()(
*
zz
ED
какая отраженная.
Одним из наиболее гибких и эффективных граничных поглощающий условий
является идеально согласованный слой (PML). Основная идея заключается в
следующем: если волна распространяется в среде A и падает на среду B, то степень
отражения определяется внутренними импедансами двух сред:
, (1.102)
которые определяются диэлектрическими и магнитными проницаемостями двух
сред:
, (1.103)
Нужно использовать среду с потерями, такую, чтобы импульс затухал до того,
как достигнет границы. Преобразуем уравнения (1.95-1.98) в виде:
, (1.104)
, (1.105)
, (1.106)
. (1.107)
Для реализации идеально согласованного слоя добавим фиктивные
диэлектрические и магнитные проницаемости:
, (1.108)
, (1.109)
23
y
E
cyxHj
z
FFx
xx
)()(
**
, (1.110)
x
E
cyxHj
z
FFy
yy
)()(
**
1
*
*
0
x
x
F
F
m
*
*
1
y
x
F
F
*
*
1
y
x
F
F
0
**
1
j
mm
FF
0
**
1
j
mm
FF
. (1.111)
Значения фиктивной диэлектрической проницаемости связано с
электрической индукцией, а не с напряженностью электрического поля. Также
добавлены фиктивные магнитные проницаемости для различных направлений x и y.
Эти фиктивные диэлектрические и магнитные проницаемости не имеют ничего
общего с реальными для рассмотренной среды.
Условия для идеально согласованного слоя:
1) Импеданс от фоновой среды к идеально согласованному слою должен быть
постоянным (равен 1 в рассмотренных нормализованных единицах измерения):
. (1.112)
2) В направлении, перпендикулярном границе (например, в направлении x),
диэлектрическая и магнитная проницаемости должны быть обратными значениям в
других направлениях:
, (1.113)
. (1.114)
Каждая из них представляет собой комплексную величину:
, (1.115)
, (1.116)
где m равно x или y.
Исходя из (1.112):
24
1**
xx
FF
, (1.117)
000
DHmDm
y
H
x
H
cxDj
x
y
Fz
z
)(
*
y
E
cxHj
z
Fx
x
)(
*
x
E
cxHj
z
Fy
y
)(
*
y
H
x
H
cD
j
x
j
x
y
z
D
0
)(
1
y
E
cH
j
x
j
z
x
D
1
0
)(
1
x
E
cH
j
x
j
z
y
D
0
)(
1
z
D
zz
D
D
x
DjD
j
x
j
00
)()(
1
. (1.118)
Рассмотрим идеально согласованный слой в направлении x:
, (1.119)
, (1.120)
. (1.121)
Используя (1.118):
Перейдя во временную область, получаются конечно-разностные
аппроксимации:
, (1.122)
, (1.123)
. (1.124)
, (1.125)
25
0
2/1
0
2/1
2/12/1
0
2/12/1
0
2
)(
1
1
),(
2
)(
1
1
),(
2
),(),()(),(),(
)(
ti
t
jiD
ti
t
jiD
jiDjiDi
t
jiDjiD
D
i
dt
dD
D
n
z
D
n
z
n
z
n
zD
n
z
n
z
z
Dz
Таким образом:
),2/1(),2/1(),2/1(),2/1(
2
)(2
),()(3),(
2/12/1
jiHjiHjiHjiH
igi
jiDigijiD
n
x
n
x
n
y
n
y
n
z
n
z
0
2
)(
1
1
)(2
ti
igi
D
0
0
2
)(
1
2
)(
1
)(3
ti
ti
igi
D
D
),(),1(
2
)2/1(2
),2/1()2/1(3),2/1(
2/12/1
1
jiEjiE
ifi
jiHifijiH
n
z
n
z
n
y
n
x
0
2
)2/1(
1
1
)2/1(2
ti
igi
D
0
0
2
)2/1(
1
2
)2/1(
1
)2/1(3
ti
ti
igi
D
D
где параметры:
. (1.126)
, (1.127)
, (1.128)
. (1.129)
Аналогично для (1.124):
, (1.130)
где параметры:
, (1.131)
. (1.132)
26
Уравнение (1.123) представляется системой уравнений:
)2/1,()(1
2
)1,(),(
)2/1,()2/1,(
2/1
2/12/1
1
jiIifi
jiEjiE
jiHjiH
n
Hx
n
z
n
z
n
x
n
x
)1,(),()2/1,()2/1,(
2/12/12/12/1
jiEjiEjiIjiI
n
z
n
z
n
Hx
n
Hx
0
2
)(
)(1
ti
ifi
y
H
x
H
cD
j
y
j
x
j
x
y
z
DD
00
)(
1
)(
1
y
E
cH
j
y
j
x
j
z
x
DD
01
0
)(
1
)(
1
x
E
cH
j
y
j
x
j
z
y
DD
00
)(
1
)(
1
),2/1(),2/1(
),2/1(),2/1(
2
)(2)(2
)()(3)(3),(
2/12/1
jiHjiH
jiHjiH
jgiigi
iDjgiigijiD
n
x
n
x
n
y
n
y
n
z
n
z
),2/1()(1
2
),(),1(
)2/1(2
),2/1()2/1(3),2/1(
2/1
2/12/1
1
jiIjfi
jiEjiE
ifi
jiHifijiH
n
Hy
n
z
n
z
n
y
n
y
),(),1(),2/1(),2/1(
2/12/12/12/1
jiEjiEjiIjiI
n
z
n
z
n
Hy
n
Hy
. (1.135)
В уравнениях (1.122) - (1.124) произведено описание только в направлении x.
В случае добавления зависимости от y уравнения переходят в:
, (1.133)
, (1.134)
, (1.136)
, (1.137)
. (1.138)
, (1.139)
, (1.140)
, (1.141)
а по направлению x изменится так:
27
)2/1,()(1
2
)1,(),(
)2/1(2
)2/1,()2/1(3)2/1,(
2/1
2/12/1
1
jiIifi
jiEjiE
jfi
jiHjfijiH
n
Hx
n
z
n
z
n
x
n
x
. (1.142)
Полное и рассеянное поле
Моделирование плоских волн представляет большой интерес. Кроме того, на
расстоянии порядка десятков длин волн поле большинства антенн можно
аппроксимировать как плоскую волну.
Для моделирования плоской волны в двумерной программе метода конечных
разностей во временной области (FDTD) пространство разделяется на две области:
полное поле (total) и рассеянное (scaterred) поле (рис. 1.6). Для этого есть две
причины:
1) распространяющаяся плоская волна не должна взаимодействовать с
поглощающими граничными условиями;
2) нагрузка на поглощающие граничные условия должна быть
минимизирована.
Граничные условия не идеальны, поэтому определенная часть падающей
волны отражается обратно в исследуемое пространство. Для того, чтобы уменьшить
количество ошибок, добавляется вспомогательный одномерный буфер. Поскольку
это одномерный массив, плоскую волну легко сгенерировать. Затем плоская волна
распространяется в обоих направлениях. Поскольку это одномерный массив,
граничные условия идеальны. Поэтому попадание излучающего поля на границу
поглощающего слоя сводится к минимуму, тем самым уменьшая количество
ошибок.
28
Рисунок 1.6 – Полное и рассеянное поле в двумерном FDTD
1.3 Трехмерное моделирование
Для трехмерного моделирования FDTD используется ячейка Йи (Yee),
названная в честь Кейна Йи (рис. 1.7) [1-11].
Рисунок 1.6 – Трехмерная решетка Йи
29
Уравнения Максвелла:
H
D
00
1
~
t
)(
~
)()(
~
0
*
ED
E
H
~
1
00
t
z
H
y
H
t
D
y
zx
00
1
x
H
z
H
t
D
zx
y
00
1
y
H
x
H
t
D
x
y
z
00
1
y
E
z
E
t
H
z
y
x
00
1
z
E
x
E
t
H
xz
y
00
1
x
E
y
E
t
H
y
xx
00
1
)2/1,2/1,()2/1,2/1,(
)2/1,,2/1()2/1,,2/1(
)2/1,,()2/1,,(
00
2/12/1
kjiHkjiH
kjiHkjiH
x
t
kjiDkjiD
n
x
n
x
n
y
n
y
n
z
n
z
, (1.143)
, (1.144)
. (1.145)
В дальнейшем величины будут E и H будут использованы без обозначения ~,
но будет подразумеваться, что используются нормированные значения.
, (1.146)
, (1.147)
, (1.148)
, (1.149)
, (1.150)
. (1.151)
Конечно-разностные аппроксимации для уравнений (1.141) и (1.144) (другие
уравнений будут аппроксимироваться аналогично):
, (1.152)
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]