Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных разностей во временной области. Учебное пособие
.pdf
Распространение в диэлектрической среде
H
E
0
1
t
EH
0
1
t
z
tH
t
tE
y
x
)(
1)(
~
00
z
tE
t
tH
x
y
)(
~
1
)(
00
z
kHkH
t
kEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
)2/1()2/1(
1)(
~
)(
~
00
2/12/1
z
kEkE
t
kHkH
n
x
n
x
n
y
n
y
)(
~
)1(
~
1
)2/1()2/1(
2/12/1
0
1
)2/1()2/1(
2
1
)(
~
)(
~
2/12/1
kHkHkEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
)(
~
)1(
~
2
1
)2/1()2/1(
2/12/11
kEkEkHkH
n
x
n
x
n
y
n
y
])[]1[(*][][][ khykhykcbkexkex
])1[][(*5.0][][ kexkexkhykhy
При моделировании в среде с диэлектрической проницаемостью, отличной от
единицы, соответствующей вакууму, необходимо добавить относительную
диэлектрическую проницаемость ε к уравнениям Максвелла [1, 4, 9]:
, (1.20)
. (1.21)
В одномерном случае уравнения изменятся, используя (1.9):
, (1.22)
Конечно-разностные приближения:
Используя (1.13):
. (1.23)
, (1.24)
. (1.25)
, (1.26)
. (1.27)
Уравнения (1.26) и (1.27) в компьютерной кодировке:
, (1.28)
, (1.29)
11
где
)2/(1][ ekcb
/с
10/
z
)/(
с
JHE
t
0
EH
0
1
t
EJ
.
Размер ячейки
Размер ячейки при моделировании методом конечных разностей во временной
области выбирается так, чтобы обеспечивалась достаточная точность. Количество
точек на длину волны, как правило, берется равным 10 точкам на длину волны. На
практике было показано, что такого количества точек достаточно, а ошибки
появляются тогда, когда объем выборки падает ниже этого уровня. Поэтому для
определения размера ячейки нужно рассчитывать количество точек для самой
высокой рассматриваемой частоты в вакууме:
,
. (1.30)
В случае распространения электромагнитной волны в среде с диэлектрической
проницаемостью, отличной от единицы, нужно учитывать уменьшение длины
волны:
. (1.31)
Распространение в диэлектрической среде с потерями
Выше было рассмотрено моделирование распространения электромагнитной
волны в вакууме и однородной среде с диэлектрической проницаемостью .
Существует множество сред, в которых происходит ослабление
распространяющейся электромагнитной волны в зависимости от проводимости
среды [1-2, 10].
, (1.32)
, (1.33)
где J – плотность тока:
, (1.34)
12
а – проводимость.
EH
E
00
1
t
)(
~
)(
1)(
~
00
tE
z
tH
t
tE
x
y
x
z
tE
t
tH
x
y
)(
~
1
)(
00
t
kEkE
z
kHkH
t
kEkE
n
x
n
x
n
y
n
y
n
x
n
x
)(
~
)(
~
)2/1()2/1(
1)(
~
)(
~
2/12/1
0
00
2/12/1
2
11
00
z
t
)2/1()2/1(
2
1
2
1)(
~
2
1)(
~
0
2/1
0
2/1
kHkH
t
kE
t
kE
n
y
n
y
n
x
n
x
)2/1()2/1(
2
12
1
2
1
2
1
)(
~
)(
~
0
0
0
2/12/1
kHkH
t
t
t
kEkE
n
y
n
y
n
x
n
x
В одномерном случае:
Аппроксимации конечных разностей как для временных, так и для
пространственных производных:
. (1.35)
, (1.36)
. (1.37)
Учитывая, что
. (1.38)
(1.39)
(1.40)
13
Переформулировка с использованием электрической индукции
H
D
t
)()()(
0
*
ED
EH
0
1
t
EE
0
0
~
DD
00
1
~
H
D
00
1
~
t
)(~)()(
~
*
ED
E
H
~
1
00
t
0
*
)(
j
)()()(
0
E
j
ED
t
dttEtEtD
0
0
')'()()(
Уравнения Максвелла в более общем виде с использование электрической
индукции D:
Нормализованные уравнения:
, (1.41)
, (1.42)
, (1.43)
, (1.44)
, (1.45)
Пусть диэлектрическая среда с потерями вида:
, (1.46)
, (1.47)
. (1.48)
, (1.49)
. (1.50)
Используя теорию Фурье:
. (1.51)
14
Аппроксимируя интеграл суммированием по шагам:
n
i
inn
E
t
ED
0
0
1
0
00
n
i
innn
E
t
E
t
ED
0
1
0
0
t
E
t
D
E
n
i
in
n
n
E
n
i
in
E
t
I
0
0
0
1
t
ID
E
nn
n
nnn
E
t
II
0
1
])[]1[(5.0][][ khykhykdxkdx
])[][]([][ kixkdxkgaxkex
][][][][ kexkgbxkixkix
])1[][(5.0][][ kexkexkhykhy
))/*(/(1][ epszdtsigmaepsilonkgax
, (1.52)
. (1.54)
, (1.53)
Можно рассчитать
(текущее значение E), на основе текущего значения D и
предыдущих значений E. Пусть параметр I равен:
Таким образом, формулировка метода конечных разностей во временной
области (FDTD):
, (1.55)
, (1.56)
. (1.57)
, (1.58)
, (1.59)
, (1.60)
, (1.61)
где
, (1.62)
15
epszdtsigmakgbx /*][
Расчет выходных данных
dtetEfE
T
t
tfj
0
2
1
1
)()(
T
n
tnfj
etnEfE
0
2
1
1
)()(
tTt
T
T
n
T
n
tnftnEjtnftnEfE
0
1
0
11
)2sin()()2cos()()(
)**)(**2cos(][],[_],[_ ndtmfregpikexkmptrealkmptreal
)**)(**2sin(][],[_],[_ ndtmfregpikexkmptimagkmptimag
Вычислить преобразование Фурье поля E(t) на частоте f1 можно с помощью
уравнения:
. (1.63)
, (1.64)
, (1.65)
где
– время окончания моделирование, T – число шагов.
Разделив на действительную и мнимую части:
, (1.66)
что может быть реализовано таким образом:
, (1.67)
, (1.68)
Частотно-зависимые среды
Диэлектрическая проницаемость и проводимость большинства сред
изменяются на разных частотах. Пусть есть среда, у которой диэлектрическая
проницаемость и проводимость которой изменяются в диапазоне частот от 10 до
1000 МГц (рис. 1.2 и 1.3).
16
0
1
0
*
1
)(
tjj
)(
1
)(
0
1
E
tjS
)()/(
0
/
01
tuet
tt
f, МГц
f, МГц
Рисунок 1.2 – Зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты
Рисунок 1.3 – Зависимость проводимости среды от частоты
Такой материал можно представить таким образом (формулировка Дебая):
. (1.69)
Определим последнее слагаемое, умноженное на поле E, как
. (1.70)
Обратное преобразование Фурье слагаемого Дебая имеет вид
где u(t) — это функция Хэвисайда, или прямоугольная функция, которая равна 0 при
t < 0, а в остальных случаях равна 1. Таким образом во временной области:
,
17
')'()(
0
/)'(
0
1
0
dttEe
t
tS
t
ttt
. (1.71)
i
n
i
tint
ni
n
i
tint
n
EeE
t
t
Ee
t
t
S
1
0
/)(
0
1
0
/)(
0
1
00
i
n
i
tinttt
i
n
i
tint
n
Eee
t
t
Ee
t
t
S
1
0
/)(/
0
1
1
0
/)(
0
1
1
000
1
/
0
1
0
n
tt
nn
SeE
t
t
S
1
/
0
1
0
1
0
n
tt
nnnnnnnn
SeE
t
t
E
t
IESIED
n
E
0
1
0
1
/
1
0
t
tt
SeID
E
n
tt
nn
n
nnn
E
t
II
0
1
nn
tt
n
E
t
t
SeS
0
1
1
/
0
)(
1)(
2
*
c
p
j
pp
f2
p
f
c
Аппроксимация как суммирование в дискретной временной области:
, (1.72)
, (1.73)
. (1.74)
Таким образом электрическая индукция:
. (1.75)
Решая относительно
:
, (1.76)
, (1.77)
, (1.78)
Моделирование незамагниченной плазмы
Диэлектрическая проницаемость незамагниченной плазмы определяется как:
, (1.79)
где
,
- плазменная частота, а
- частота столкновений электронов. На
относительно низких частотах плазма выглядит как металл, а на более высоких
18
частотах становится прозрачной. Под более низкими или более высокими частотами
p
f
jj
c
cpcp
//1)(
22
*
ze
zt
z
t
cpcp
c
/1
/
/11
/
1
)(
22
*
tzEzzD )()()(
*
)(
//)1(1
/)1(
)(
)(
/1
1
/11
1
)()(
2
2
2
zE
zeze
ze
t
zE
zE
ze
z
t
zEzD
tt
t
c
p
t
c
p
cc
c
c
)(
//)1(1
/)1(
)(
2
2
zE
zeze
ze
t
zS
tt
t
c
p
cc
c
zzSzDzE /)()()(
2
00
0
1
*
21
)(
j
имеется в виду частоты ниже или выше частоты плазменного резонанса
выражение можно преобразовать:
. (1.80)
Используя Z-преобразование:
, (1.81)
, (1.82)
, (1.83)
. Данное
. (1.85)
Формулировка лоренцевой среды
Лоренцева зависимость диэлектрической проницаемости среды:
. (1.86)
, (1.84)
19
)()()(
21
)()(
2
00
0
1
SEE
j
ED
)(
)(2
)(
2
00
2
0
120
E
jj
S
1
120
2
212
00
12
0
2
2
2
n
nnnnn
n
E
t
SSS
t
SS
S
f, МГц
f, МГц
Рисунок 1.4 – Зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты
Рисунок 1.5 – Зависимость проводимости среды от частоты
На рисунках 1.4 и 1.5 изображены частотные зависимости диэлектрической
проницаемости и проводимости лоренцевой среды.
Конечно-разностная аппроксимация:
, (1.87)
. (1.88)
, (1.89)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]