Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метод конечных разностей во временной области. Учебное пособие
.pdf
),,2/1(),1,2/1(
),2/1,(),2/1,1(
),2/1,2/1(),2/1,2/1(
2/12/1
2/12/1
00
1
kjiEkjiE
kjiEkjiE
x
t
kjiHkjiH
n
x
n
x
n
y
n
y
n
z
n
z
Идеально согласованный слой в трех измерениях
y
H
x
H
cD
j
z
j
y
j
x
j
x
y
z
z
y
x
1
000
)(
1
)(
1
)(
1
y
H
x
H
j
z
cD
j
y
j
x
j
x
y
z
z
y
x
000
)(
1
)(
1
)(
1
roth
jy
H
x
H
j
I
x
y
Dz
11
Dz
z
z
y
x
I
z
rothcD
j
y
j
x
j
000
)(
)(
1
)(
1
)2/1,,()(1
2
)(2)(2
)2/1,,()(3)(3)2/1,,(
2/12/1
kjiIkgkroth
jgiigi
kjiDjgiigikjiD
n
Dz
n
z
n
z
rothkjiIkjiI
n
Dz
n
Dz
)2/1,,()2/1,,(
1
)2/1,2/1,()2/1,2/1,(
)2/1,,2/1()2/1,,2/1(
kjikjiH
kjiHkjiHroth
n
x
n
x
n
y
n
y
В трехмерном случае уравнение (1.136) переходит в:
которое можно преобразовать:
, (1.153)
, (1.154)
, (1.155)
, (1.156)
Таким образом:
. (1.157)
, (1.158)
, (1.159)
. (1.160)
31
2 Программный комплекс для моделирования методом коечных
разностей во временной области
Рисунок 2.1 – Интерфейс программного комплекса Lumerical
Программный комплекс Lumerical позволяет производить моделирование
методом конечных разностей во временной области как в двумерном, так и в
трехмерном пространстве. На рисунке 2.1 представлен интерфейс программного
комплекса Lumerical, который позволяет достаточно просто и удобно производить
такое моделирование [12].
32
2.1 FDTD моделирование
2.1.1 Задание параметров сетки
Рисунок 2.2 – Задание параметров сетки auto non-uniform
В методе конечных разностей во временной области используется
прямоугольная сетка в декартовой системе координат. Фундаментальные величины
моделирования (свойства материала и геометрическая информация, электрические и
магнитные поля) рассчитываются в каждой точке сетки. Очевидно, что чем меньше
размер сетки, то более точно можно рассчитать все величины. Но уменьшение
размера сетки требует повышения вычислительных затрат. По мере того как сетка
становится меньше, время моделирования и требования к памяти будут
увеличиваться. Также доступен алгоритм конформной сетки, который позволяет
получать точные результаты даже при использовании относительно грубой сетки.
По умолчанию сетка моделирования создается автоматически (рис. 2.2). Для
обеспечения точности алгоритм построения сетки будет создавать сетку меньшего
размера для материалов с высоким показателем преломления (чтобы поддерживать
постоянное количество точек сетки на длину волны) и с высокой поглощающей
способностью (определять глубину проникновения). В некоторых случаях
необходимо вручную добавлять дополнительные ограничения сетки. Обычно это
делается для уменьшения размера сетки вблизи сложных структур (часто
33
металлических), где поля меняются очень быстро. Опция уточнения сетки позволяет
поддерживать высокую точность без необходимости использования очень
маленькой сетки.
Доступны три типа алгоритмов создания сетки. По умолчанию используется
неоднородная сетка, которая создается автоматически (auto non-uniform).
Неоднородная сетка создается автоматически на основе точности сетки (mesh
accuracy). Рекомендуется начинать с точности сетки 1–2 для начального
моделирования, чтобы моделирование выполнялось быстро. При необходимости для
тестирования сходимости можно использовать более высокую точность сетки.
Параметр mesh accuracy представляет собой целое число от 1 до 8, где 1 — низкая
точность, а 8 — высокая точность (меньшая сетка).
На алгоритм построения сетки влияет множество факторов, включая длину
волны источника, свойства материала и геометрии конструкции. Количество точек
сетки на длину волны (ppw) является важным фактором для алгоритма построения
сетки. Точность 1 соответствует целевому показателю 6 ppw (число точек сетки на
длину волны). Точность 2 соответствует 10 ppw, а точность 2 соответствует 14 ppw и
так далее с шагом 4 ppw. Необходимо учитывать, что длина волны обратно
пропорциональна показателю преломления. В материалах с высоким показателем
преломления эффективная длина волны меньше, а это означает, что алгоритм
построения сетки будет использовать меньшую сетку в материалах с высоким
индексом.
34
Рисунок 2.3 – Задание параметров сетки custom non-uniform
Также доступна неоднородная сетка с настаиваемыми параметрами (custom
non-uniform). Этот параметр позволяет использовать дополнительные параметры для
настройки способа создания неоднородной сетки (рис. 2.3). При настройке ячеек
сетки с использованием длины волны обычно достаточно значения по умолчанию,
равного 10 (mesh cells per wavelength), но его можно уменьшить до 6–8 для грубого
моделирования. Коэффициент оценки (grading factor) определяет максимальную
скорость, с которой можно изменить сетку. Коэффициент оценки должен
находиться в диапазоне от 1 до 2. Значением по умолчанию является корень из
числа два.
35
Рисунок 2.4 – Задание параметров сетки uniform
Однородная сетка (uniform) применяется ко всему объему моделирования,
независимо от свойств материала (рис. 2.4). Если область переопределения сетки
используется в сочетании с этой опцией, то область переопределения будет
принудительно изменять размер сетки повсюду, а не только внутри области
переопределения, так как сетка является однородной.
Кроме того, для всех способов задания сетки доступно уточнение сетки (mesh
refinement), которое позволяет улучшить точность моделирования в субячейке.
Предоставляется несколько вариантов уточнения сетки, которые могут обеспечить
точность моделирования в пределах ячейки.
По умолчанию установлен конформный вариант 0 (conformal variant 0),
который может использоваться для большинства случаев моделирования методом
конечных разностей во временной области. В этом случае технология конформной
36
сетки (CMT) применяется ко всем материалам, кроме металлов и идеальных
электрических проводников (PEC). Металлы (или плазменные материалы)
определяются как материалы с реальной частью относительной диэлектрической
проницаемости меньше единицы (свойства материала указаны в обозревателе
материалов).
Можно использовать другие варианты в зависимости от свойств материала, но
необходимо тестирование. Если в моделировании используются металлы, то можно
рассмотреть конформный вариант 1 (conformal variant 1). В этом случае технология
конформной сетки применяется ко всем материалам, включая металлы. Технология
конформной сетки обеспечит лучшую сходимость, чем лестничная (ступенчатая),
для достаточно маленьких размеров сетки, но при больших размерах сетки иногда
может давать гораздо худшие результаты. В некоторых случаях достаточно сетки
размером менее 5 нм, тогда как в других случаях недостаточно 1 нм (оптические
длины волн). Поэтому, нужно проводить тестирование конвергенции между
конформным вариантом 0 и конформным вариантом 1, чтобы проверить, какой
метод следует использовать. Конформный вариант 1 также может давать численные
артефакты. Если вместо металлов используется идеальный электрический
проводник PEC, то лучшая сходимость получается с конформным вариантом 1.
Любой метод построения конформной сетки увеличит время, необходимое для
создания сетки структуры перед моделированием. Для сложных структур,
включающих множество объектов и большие модели, время построения сетки
может стать очень большим по сравнению со временем моделирования. В этом
случае нужно вернуться к лестничной сетке (staircase) для первоначального
моделирования, а конформную сетку использовать для получения окончательных
результатов.
Технология конформной сетки может обеспечить гораздо лучшую сходимость
для многих моделей, включающих такие расчеты, как рассеяние Ми от сфер или
отражение и пропускание от многослойных систем. Однако при этом может
измениться локальная плотность состояний. Если выполняются расчеты,
включающие мощность, излучаемую диполями, расположенными на очень малых
37
расстояниях (10 нм) от металлических поверхностей, то следует сравнить
конформный вариант 1 или конформный вариант 2 со стандартной конформной
настройкой, которая отключает технологию конформной сетки для металлических
поверхностей.
В лестничном методе (staircase) происходит оценка материала оценивается в
каждой позиции ячейки Йи, а поле E в этом месте использует только это
единственное свойство материала. Результирующая дискретная структура не может
учитывать изменения структуры, которые происходят внутри любой отдельной
ячейки Йи. В результате получается «лестничная» сетка диэлектрической
проницаемости, которая совпадает с декартовой сеткой. Кроме того, любые слои
эффективно перемещаются в ближайшее положение электронного поля в ячейке Йи,
что означает, что толщину слоя нельзя определить лучше, чем dx.
Технология конформных сеток (CMT) использует строгое физическое
описание интегральных уравнений Максвелла вблизи границ раздела между двумя
материалами, что позволяет включать в себя многокоэффициентные материалы.
Технология конформных сеток может обрабатывать интерфейсы между
произвольными дисперсионными средами. В целом она обеспечивает большую
точность для заданного размера сетки или позволяет выполнять задания намного
быстрее, не теряя в точности. Конформная сетка может повысить точность
моделирования для заданного размера сетки или позволить выполнять задания
намного быстрее, не жертвуя точностью. Из-за зависимости времени моделирования
от размера сетки (1/dx)4, результаты часто могут быть достигнуты примерно за 1/10
времени. Кроме того, технология конформных сеток обеспечивает чувствительность
подсетки к изменениям геометрических параметров, что значительно облегчает
оптимизацию конструкции. Если в одной ячейке обнаружено более двух
материалов, то происходит возврат к лестничному методу.
Конформная сетка существует в трех вариантах.
Конформный вариант 0: в этом случае технология конформных сеток не
применяется к границам раздела с металлами или материалом PEC (идеальный
электрический проводник).
38
Конформный вариант 1: технология конформных сеток применяется ко всем
материалам, включая PEC и металлы.
Конформный вариант 2: метод Ю-Миттры 1 (Yu-Mittra method 1) применяется
к границам раздела металлов и РЕС, а технология конформных сеток применяется
ко всем остальным границам раздела.
Рисунок 2.5 – Метод Ю-Миттры 1 (Yu-Mittra method 1)
Метод Ю-Миттры 1 (Yu-Mittra method 1): этот метод был разработан для
повышения точности при моделировании границ раздела между идеальным
электрическим проводником (PEC) и диэлектриком. В исходной формулировке
данного метода наличие идеального электрического проводника учитывается путем
уменьшения контурного интеграла C (рис. 2.5), чтобы включить только область вне
идеального электрического проводника, где электрическое поле отлично от нуля
(С1). В программном комплексе Lumerical при обновлении поля B контур C1
оценивается в материале 1, а контур C2 = (C-C1) оценивается в материале 2 [13-15].
В случае, если один из материалов это идеальный электрический проводник
(где E=0), то данная формулировка совпадает с оригинальной формулировке Ю-
39
Миттры для PEC. Если в одной ячейке обнаружено более двух материалов, метод
возвращается к лестничному методу для этой ячейки.
Рисунок 2.6 – Метод Ю-Миттры 2 (Yu-Mittra method 2)
Метод Ю-Миттры 2 (Yu-Mittra method 2): Этот метод был разработан для
обеспечения большей точности при моделировании диэлектрических границ
раздела. Формулировка в программном комплексе Lumerical является расширением
оригинальной формулы Ю-Миттры, которую можно использовать с произвольными
дисперсионными средами. Эффективная диэлектрическая проницаемость
присваивается каждому компоненту диэлектрической проницаемости в ячейке Йи,
который взвешивается долей шага сетки, находящейся внутри материала 1 или
материала 2. Если в одной ячейке обнаружено более двух материалов, метод
возвращается к лестничному методу для этой ячейки.
Метод точного усреднения по объему (precise volume average) используется в
фотонно-инверсном проектировании. Это опция, требующая большого объема
памяти, но обеспечивающая наиболее чувствительную сетку к небольшим
геометрическим изменениям, что необходимо для точных расчетов градиентов,
используемых при обратном проектировании. Средняя диэлектрическая
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]