Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Комплексная оценка недвижимости. Учебное пособие-1
.pdf
С помощью множителя ренты определяется текущая стоимость
()
по размеру аннуитетного платежа pmt (англ. payment – платеж):
PV = pmt · a
. (4.22)
n
В пакете Microsoft Excel множитель ренты (4.20)–(4.22) реализуется финансовой функцией ПС, той же, что и множитель приведения. Однако при этом используется иной набор аргументов.
Функция имеет вид
ПС(Ставка;Кпер;Плт;Бс;Тип).
Для расчетов текущей стоимости аннуитетных платежей для
множителя ренты используются следующие аргументы: Ставка –
эффективная процентная ставка i за период; Кпер – число перио-
дов n; Плт – величина платежа в каждый период (Плт = – pmt);
Бс – будущая стоимость для множителя ренты полагается Бс = 0;
Тип – 0 для обыкновенного аннуитета (может быть опущен) или
1 для полагающегося аннуитета.
Если n – количество платежей в списке значений, то формула
для функции ПС принимает вид
n
ПС ПлтСтавка=⋅+
ПРИМЕР 1. Сдается помещение на один год с помесячной оплатой
вперед по 300 дол., и владелец хочет получить арендную плату за год
вперед с учетом действующей на рынке эффективной ставки 10% го
довых.
∑
1
=
1jj
–
.
Для расчета следует использовать множитель ренты:
PV = 300 · а(1 · 12;10%/12) = ПС(10%/12;12;–300) = 3412,35.
Если в условиях задачи используется ежемесячная предоплата,
то, естественно, сумма увеличится:
PV = ПС(10%/12;12;–300;;1) = 3440,79.
ПРИМЕР 2. Пусть существует поток платежей размером 20 000 дол.,
которые выплачиваются в конце года в течение 12 лет. Необходимо определить текущую стоимость данного потока платежей с помощью функции ПС. Эффективная процентная ставка i = 8%.
121
Решение представим в виде части поля Microsoft Excel:
В4
А
Платеж
1
2
Количество переводов
Процентная ставка
3
Приведенная стоимость
4
–
Примечание. Знак «минус» перед значением стоимости появляется из-за
того, что функция считает данный поток платежей исходящим.
f
= ПС (В3; В2; В1)
x
В
20 000,00
12
8%
– 150 721,56
ПРИМЕР 3. Пусть существует поток платежей размером 300 дол.,
которые выплачиваются в начале каждого месяца в течение пяти лет.
Необходимо определить текущую стоимость данного потока платежей
с помощью функции ПС. Эффективная процентная ставка i = 10%.
Решение представим в виде части поля Microsoft Excel:
В4
Платеж
1
2
Количество периодов
Процентная ставка
3
Приведенная стоимость
4
f
= ПС (В3/12; В2 12; В1)
x
А
*
В
300,00
5
10%
– 14 237,27
Примечание. Чтобы найти месячную процентную ставку, необходимо годовую годовую разделить на 12. Поскольку платежи производятся ежемесячно,
то количество периодов равно произведению количества лет на 12.
Естественным обобщением понятия аннуитета является аннуитет, выплачиваемый непрерывно. Его можно использовать в качестве приближения как для часто (например, еженедельно) выплачиваемых платежей, так и для описания непрерывных процессов, происходящих с объектом оценки. В этом случае говорят
о непрерывной ренте с плотностью платежей ρ(t) = 1. Множитель
непрерывной в интервале (0; n) ренты обозначается ān и представ-
122
ляет собой текущую стоимость непрерывного потока платежей в
ad
,;
10
⋅≠
{
δδ
соответствии с формулой (4.19):
n
t
–.δ
=e10⋅
n
∫
t
Интеграл легко вычисляется:
n
−=
via
()//
a
=
n
,.
0
=
δ
n
δ
n
Отметим без доказательства, что формулы, связанные с непре-
рывным аннуитетом, справедливы и для нецелых n.
Иногда необходимо знать не текущую, а будущую стоимость
аннуитета. Ее можно интерпретировать как размер фонда накопления, создаваемого аннуитетными платежами, положенными
в этот фонд под определенный процент. В том случае, если ставка
процента постоянна, а будущая стоимость относится к моменту
последнего аннуитетного платежа, вводится множитель итога.
Для него применяется обозначение Sn или S(n; i). Составляя соответствующее уравнение стоимостей для момента времени n аналогично тому, как это делалось для множителя ренты, получим
S(n; i) = 1 + A + A
2
+ A3 + … + A
n–1
.
В этом выражении участвует множитель накопления A = 1 + i.
В силу постоянства множителя накопления A ряд представля-
ет собой геометрическую прогрессию с частным A, сумма которой
легко вычисляется с помощью формул элементарной математики. В итоге после приведения подобных членов имеем
n
S(n; i) = (A
– 1) / i. (4.23)
В случае платежей несколько раз в году и использования номинальной ставки процента формула (23) запишется в виде
S(n; i
(p)
) = p · [(1 + i
(p)
Формулы (4.23), (4.24) относятся к множителю итога с обыкновенным аннуитетом (множителю обыкновенного итога), но
аналогичные формулы можно легко найти подобным образом
самостоятельно и для множителя полагающегося итога.
/ p)np – 1] / i
(p)
. (4.24)
123
С помощью множителя итога по размеру аннуитетного пла-
Sd
⋅≠
{
,;
10
тежа pmt определяется будущая стоимость:
FV = pmt · S
. (4.25)
n
В пакете Microsoft Excel формула (4.25) с множителем итога
реализуется финансовой функцией БС, той же, что и реализует
множитель накопления. Однако при этом используется иной набор аргументов. Функция имеет вид
БС(Ставка;Кпер;Плт;Пс;Тип).
Для расчетов будущей стоимости аннуитетных платежей для
множителя итога используются следующие аргументы: Ставка –
эффективная процентная ставка i за период; Кпер – число пе рио-
дов n; Плт – величина платежа в каждый период (Плт = –pmt);
Пс – приведенная стоимость для функции итога полагается
Пс = 0; Тип – 0 для обыкновенного аннуитета (может быть опущен) или 1 для полагающегося.
Например, если есть желание за год накопить сумму на покупку мебели, ежемесячно помещая на депозит в банке по 300 дол.
под номинальную ставку 10% годовых, то для расчета следует использовать множитель итога:
FV = 300 S(112;10%/12) = БС(10%/12;12;–300) = 3769,67.
Если в условиях предыдущей задачи взносы будут делаться в
начале каждого месяца, то сумма увеличится за счет процентов:
FV = БС(10%/12;12;–300;;1) = 3801,08.
Возможно использование множителя итога и в случае аннуитета, выплачиваемого непрерывно. В этой ситуации говорят о
непрерывном итоге с плотностью платежей ρ(t) = 1. Множитель
непрерывного в интервале (0; n) итога обозначается
ляет собой будущую стоимость непрерывного потока платежей:
Этот интеграл легко вычисляется, давая в итоге следующие
результаты для различных значений δ:
124
n
()//
AiS
S
=
n
−=
,.
δ
n
n
=⋅
10eδ.
∫
n
δδδ
=
0
и представ-
S
n
t
t
n
.
4.5. МНОЖИТЕЛЬ АМОРТИЗАЦИИ
И МНОЖИТЕЛЬ ВОЗМЕЩЕНИЯ
При обращении с аннуитетами можно поставить вопрос о величине аннуитетного платежа. При этом возникают понятия
множителей амортизации и возмещения. Следует отметить, что
термин «амортизация» в оценке стоимости употребляется в значении, отличном от используемого в бухгалтерском учете, но совпадающем с принятым в банковской терминологии: амортизация означает погашение финансового обязательства (долга),
в частности, аннуитетными платежами.
Исходя из формулы (4.22) можно легко найти выражение для
величины аннуитетного платежа по известной текущей стоимости (суммы долга):
pmt = PV / a
.
n
Если ввести обратный множителю ренты множитель амортизации
r
= 1 / an, (4.26)
n
то предыдущее выражение запишется в виде
pmt = PV · r
, (4.27)
n
Формула (4.26) может рассматриваться как определение множителя амортизации rn, а соотношение (4.27) отвечает на постав-
ленный вопрос о величине аннуитетных платежей, амортизирующих долг PV. Исходя из вышесказанного, множитель амортизации r(n; i) дает величину аннуитетного платежа, необходимого
для амортизации кредита в одну денежную единицу в течение
n лет при постоянной ставке процента i. Поэтому множитель
амортизации также называется ипотечной постоянной. Иными
словами, множитель амортизации связывает между собой два эквивалентных потока:
1) кредит:
Время 0 1 2 … n
Сумма 1 0 0 … 0
125
2) периодические равные платежи его возврата
Время 1 2 3 … n
Сумма r
n
r
n
r
n
… r
n
В зависимости от положения суммы платежа во время периода
платежа рассматривают обыкновенный и полагающийся множители амортизации.
Можно записать аналитические выражения для множителя
амортизации через ставку процента. В соответствии с (4.26)
и (4.20)
n
r(n; i) = i / (1 – v
). (4.28)
В случае платежей несколько раз в году и использования номинальной ставки процента формула (4.28) перепишется в виде
r(n; i
(p)
) = i
/ {p[1 – (1 + i
(p)
–np
/ p)
]}. (4.29)
(p)
В пакете Microsoft Excel множитель амортизации (4.26)–(4.29)
реализуется финансовой функцией ПЛТ:
ПЛТ(Ставка;Кпер;Пс;Бс;Тип).
При расчете величины аннуитетного платежа для множителя
амортизации используются следующие аргументы: Ставка – эффективная процентная ставка i за период; Кпер – число периодов n; Пс – полученая в начальный момент времени сумма
(Пс = –PV); Бс – будущая стоимость, для множителя амортизации полагается Бс = 0; Тип – 0 для обыкновенного аннуитета
(может быть опущен) или 1 для полагающегося.
ПРИМЕР 1. Кредит в 100 тыс. дол. амортизируется равными годовы-
ми платежами, погашающими основной долг и проценты (так называемый самоамортизирующийся кредит), в течение пяти лет исходя из 5%
годовых. Необходимо определить, какой должен быть годовой платеж.
Для того чтобы найти ответ на данный вопрос, согласно формуле (4.27) используем финансовую функцию ПЛТ:
pmt = ПЛТ(5%;5;–100000) = 23097,480 дол.
Часто бывает интересно узнать, каковы будут состояние счета,
выплата процентов и основного долга в конце каждого года в
126
процессе возвращения (амортизации) такого кредита. Для ответа
на этот вопрос предлагается амортизационное расписание кредита.
Исходя из условий, в конце первого года процент за пользова-
ние остатком в 100 тыс. дол. будет равным
100 тыс. дол. · 5% = 5 тыс. дол.
Поскольку годовой платеж был определен в 23097,480 дол., то
на амортизацию основной суммы долга останется
23097,480 дол. – 5000 дол. = 18097,480 дол.
Как следствие, задолженность на конец первого года составит
100 000 дол. – 18097,480 дол. = 81902,520 дол.
Такие же соображения можно провести и в отношении второго года, при этом проценты за пользование будут начисляться с
рассчитанной суммы задолженности на конец первого года. Исходя из этого, задолженность на конец второго года составит
81902,520 дол. (100% + 5%) – 23097,480 дол. = 62900,166 дол.
Проделав последовательно подобные расчеты за все пять лет,
получим следующее амортизационное расписание:
Конец
года
0 100000,000
1 23097,480 5000,000 18097,480 81902,520
2 23097,480 4095,126 19002,354 62900,166
3 23097,480 3145,008 19952,471 42947,695
4 23097,480 2147,385 20950,095 21997,600
5 23097,480 1099,880 21997,600 0
Всего 115487,399 15487,399 100000,000
Годовой
платеж, дол.
Процент,
дол.
Амортизация,
дол.
Задолженность,
дол.
Амортизационное расписание удобно составлять в помощью
электронных таблиц Microsoft Excel. Отметим, что итоговая сумма амортизации совпадает с первоначальной задолженностью, а
суммарный годовой платеж равен итоговой сумме амортизации
и суммарному проценту.
127
При погашении кредита, оплате покупки в рассрочку, во многих иных случаях возникает задача расчета неоплаченной суммы
долга после проведения частичной оплаты. Очевидно, что эта задача может быть решена численным образом путем составления
амортизационного расписания. В то же время, особенно в случае
большого количества платежей, задача может быть решена аналитически с помощью составления уравнения стоимостей.
ПРИМЕР 2. Долг в 100 000 евро должен погашаться равными плате-
жами в конце квартала за 12
часть долга в конце седьмого года при условии, что номинальная стои-
мость денег i
(4)
= 3,5%.
1
года. Необходимо найти неоплаченную
2
Эту задачу можно решить несколькими методами. Можно попытаться составить амортизационное расписание. А можно решать и аналитическим путем. В обоих случаях понадобится знание величины амортизационного платежа. Так же, как в примере 1, найдем
pmt = ПЛТ(3,5%/4;12,5*4;–100000) = 2477,9 евро.
Решая задачу методом перспективы, следует приравнять в качестве эквивалентных потоков платежей искомую неоплаченную
на конкретную дату часть долга D и сумму приведенных на эту
дату необходимых для погашения остатка долга платежей. Получаем следующее уравнение стоимостей на конец седьмого года
(после проведения 28-го платежа):
D = pmt · a((12,5–7) · 4; 3,5%/4),
которое легко решается:
D = ПС(3,5%/4;(12,5–7)*4;–2477,9) = 49392,24 евро.
Решение методом ретроспективы заключается в рассмотрении
таблицы (или денежного графика) платежей первых семи лет:
Время, кварт. 0 1 2 3 … 27 28
Сумма, млн р. –100 pmt pmt pmt … pmt pmt + D
Составляя и в этом случае уравнение стоимостей на конец
седьмого года (28-го квартала), получим
D + pmt · S(7 · 4;3,5%/4) = 100 000 · A(7 · 4;3,5%/4).
128
Разрешив его относительно D, находим
D = БС(3,5%/4;7*4;0;–100000) – БС(3,5%/4;7*4;–2477,9) =
= БС(3,5%/4;7*4;2477,9;–100000) = 49392,24 евро.
При этом не следует подставлять в расчете промежуточного
значения платежа pmt из-за возможной потери точности. Целесообразнее сделать гиперссылку на ячейку, в которой оно рассчитывается (с помощью функции ПЛТ).
Результаты обоих методов естественным образом совпадают.
Видно, что метод перспективы проще в расчетах. В то же время
метод ретроспективы позволяет решать задачу и в случае, если,
как это иногда бывает, заключительный платеж, необходимый
для погашения полной суммы долга, отличается от остальных.
ПРИМЕР 3. Долг в 200 млн р. должен погашаться платежами по
5 млн р. в конце каждого месяца. Необходимо найти неоплаченную часть
долга в конце второго года при условии, что номинальная стоимость де-
(12)
= 12%.
нег i
Из-за незнания количества платежей и размера заключительного платежа для решения используем метод ретроспективы.
Если D – неоплаченная часть долга в конце второго года, то таблица платежей за первые два года будет выглядеть следующим
образом:
Время, мес. 0 1 2 3 … 23 24
Сумма, млн р. –200 5 5 5 … 5 5+D
Составляя уравнение стоимостей на конец 24-го месяца, как
это было сделано в примере 2, и, разрешая его относительно D,
получаем
D = БС(12%/12;2*12;5000000;–200000000) = 119 079 605 р.
На любую дату оплаченная часть долга и неоплаченная часть
долга вместе составляют всю сумму долга. Если долг возник при
покупке некоторого объекта собственности, то предыдущее
утверждение можно записать в следующем виде: в любой момент
доля продавца и доля покупателя вместе составляют стоимость
собственности.
129
Для введения последнего финансового множителя нам понадобится понятие фонда возмещения. Фонд возмещения представляет собой накопительный фонд, созданный для возмещения
заданной суммы в определенную будущую дату. Например, подобная задача возникает при необходимости покупки новой машины взамен той, которая износится естественным образом через известное время. В дальнейшем, в параграфе 5.3, посвященном обесцениванию, будет показано, как оценщики используют
этот механизм при расчете обесценивания (износа).
Предположим, что через n лет понадобится сумма FV. Для на-
копления этой суммы создается фонд возмещения, куда в конце
каждого года будет инвестироваться под i эффективных годовых
процентов равный заданный платеж pmt. В соответствии с формулой (4.25) легко определяется искомая величина платежа:
pmt = FV / S
,
n
откуда, вводя обозначение
s
= 1/Sn, (4.30)
n
можно записать
pmt = FV · s
. (4.31)
n
Выражение (4.30) или, в развернутом виде,
n
s(n; i) = i / [(1 + i)
– 1] (4.32)
определяет множитель возмещения. В случае платежей несколько
раз в году и использования номинальной ставки процента формула (4.32) запишется в виде
s(n; i
) = i
(p)
/{p[(1 + i
(p)
/p)np – 1]}. (4.33)
(p)
В пакете Microsoft Excel множитель возмещения (4.30), (4.32),
(4.33), или, точнее, расчет с его помощью по формуле (4.31),
реали зуется финансовой функцией ПЛТ. Функция имеет вид
ПЛТ(Ставка;Кпер;Пс;Бс;Тип).
При расчете величины аннуитетного платежа для множителя
возмещения используются следующие аргументы: Ставка –
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]