Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
71
Ω𝑖) не только электроны, но и ионы плазмы оказываются замагниченными. В этом
случае компоненты 𝜒𝛼𝛽можно оценить следующим образом:
𝜒𝑥𝑥≈
2
𝜔
𝑝𝑖
, 𝜒𝑦𝑦≈
2
Ω
𝑖
2
𝜔
𝑝𝑖
− 2𝑏
2
Ω
𝑖
2
𝜔
𝑝𝑒
, 𝜒𝑥𝑦≈ 𝑖
𝑒
2
𝜔
𝜔
𝜔Ω
2
𝑝𝑖
2
𝜔
2
Ω
𝑖
𝑖
+
3𝑏
𝑒
. (9.22)
2
Видно, что 𝜒𝑥𝑦≪ 𝜒𝑦𝑦, 𝜒𝑥𝑥, и приближённое дисперсионное уравнение сводится к виду
2
2
𝑘
𝑐
1 + 𝜒𝑦𝑦−
⊥
= 0, (9.23)
2
𝜔
откуда и получаем закон дисперсии БМЗ-волны в горячей плазме:
𝑇
𝜔2= 𝑘
2
2
(𝑐
⊥
𝐴
+ 2𝑐
2
), 𝑐
𝑠
2
𝑠
𝑒
=
. (9.24)
𝑚
𝑖
Электрическое поле этой волны преимущественно направлено поперёк k и B0, а воз-
мущение магнитного поля сонаправлено с B0. Таким образом, колебания в этой волне
представляют собой бегущую в поперечном направлении последовательность разряже-
ний и сжатий плазмы вместе с вмороженным в неё магнитным полем. В области сгу-
щения силовых линий повышается не только газокинетическое давление плазмы, но и
давление магнитного поля, поэтому возвращающей силой в этих колебаниях является
градиент суммарного давления −∇(𝑝 + 𝑝𝑀). Заметим, что для получения такого же
закона дисперсии в одножидкостной гидродинамике в качестве уравнения состояния
необходимо использовать адиабату 𝑝 ∝ 𝜌𝛾с показателем 𝛾 = 2, что объясняется на-
личием у электронов только двух колебательных степеней свободы. Выясним теперь,
справедливо ли предположение о малости ларморовского радиуса электронов по срав-
нению с длинами рассматриваемых волн (𝑏𝑒≪ 1). Видно, что диапазон частот 𝜔 ≪ Ω
соответствует малым волновым числам 𝑘⊥≪ 𝜔𝑝𝑖/𝑐. Таким образом, параметр 𝑏𝑒, удо-
влетворяющий условию
2
𝑚
𝑐
𝑒
𝑚
𝑠
,
2
𝑐
𝑖
𝐴
𝑏𝑒≪
можно считать малым, если относительное давление плазмы оказывается не слишком
большим 4𝜋𝑛𝑇𝑒/𝐵
2
< 𝑚𝑖/𝑚𝑒, что обычно выполняется в магнитных ловушках.
0
𝑖
Чтобы понять, как меняется дисперсия БМЗ-ветви с учётом тепловых эффектов в
области нижнего гибридного резонанса, получим дисперсионное уравнение, справедли-
вое в более широком диапазоне частот 𝜔 ≪ Ω𝑒. Наличие резонанса говорит о суще-
ствовании колебаний с очень короткими длинами волн, по сравнению с которыми лар-
моровсие радиусы электронов уже нельзя считать малыми. Оказывается, однако, что
благодаря замагниченности электронов учёт тепловых эффектов может быть проведён
72 9.0. Поперечное распространение волн в замагниченной плазме
аналитически для произвольных величин ларморовских радиусов. Действительно, при
малых 𝑎𝑒⟨𝐺𝑒⟩ ведёт себя как
2𝜋
⟨𝐺𝑒⟩ = −
−𝑏
𝑒
2𝜋𝑎
𝑒
𝑒
0
𝑑𝜙𝑒
𝑏𝑒cos 𝜙
= −
−𝑏
𝑒
𝑒
𝐼0(𝑏𝑒). (9.25)
𝑎
𝑒
Тогда в плазме с горячими электронами и холодными ионами компонентны 𝜒𝛼𝛽приоб-
ретают вид
𝜒𝑥𝑥= −
𝜒𝑥𝑦= −𝑖
𝜒𝑦𝑦= −
2
𝜔
𝑝𝑖
𝜔2− Ω
Ω
𝑖
𝜔
𝜔2− Ω
2
𝜔
𝑝𝑖
𝜔2− Ω
2
𝜔
1 −𝑒
𝑝𝑒
+
2
𝑖
𝜔
2
𝑖
2
Ω
𝑒
2
𝑝𝑖
− 𝑖
2
𝑖
2
𝜔
𝑝𝑒
−
2𝑏𝑒𝑒
2
𝜔
𝜔
𝜔Ω
2
𝑝𝑒
𝑒
−𝑏
𝑏
−𝑏
𝑒
𝑒
−𝑏
𝑒
𝐼
0
𝑒
𝑒
, (9.26)
(𝐼0− 𝐼1), (9.27)
(𝐼0− 𝐼1). (9.28)
Нетрудно убедиться, что переход к пределу холодных электронов (𝑏𝑒→ 0) в этих
формулах даёт правильные тепловые поправки, но не воспроизводит холодный вклад
2
2
𝜔
/Ω
𝑝𝑒
в 𝜒𝑦𝑦. Дело в том, что, пренебрегая наличием конечного 𝑎𝑒в интеграле (9.8),
𝑒
мы неявно предположили, что 𝑏𝑒остаётся достаточно большим по сравнению с 𝑎𝑒даже
при 𝑏𝑒→ 0. Таким образом, приведённая формула для 𝜒𝑦𝑦остаётся справедливой при
𝑏𝑒≪ 1 только при выполнении дополнительного условия 2𝑏𝑒≫ 𝑎
2
. Поскольку частота
𝑒
волны при 𝑘⊥→ 0 обращается в нуль по закону 𝜔 = 𝑘⊥𝑐𝐴, формула (9.28) примени-
ма при всех 𝑘⊥, если относительное давление плазмы оказывается не слишком малым
(𝛽 = 𝑝/𝑝𝑀≫ 𝑚𝑒/𝑚𝑖). Дисперсионное соотношение (9.3), как и в случае холодных элек-
тронов, сводится к квадратному уравнению, одно из решений которого представляется
в виде
𝐵 −√𝐵2− 4𝐴𝐶
𝜔2=
, (9.29)
2𝐴
где
𝐴 = 1 +
𝐵 = 𝜔
𝐶 = 𝜔
2
𝑝𝑖
4
𝑝𝑖
𝑉2= 𝑐
2
𝜔
𝑝𝑒
2
Ω
𝑒
1 + 𝐴1 +
1 −𝑒
2
2
+ 𝑐
𝐴
𝑒
𝑠
1 −𝑒
𝑏
−𝑏
𝑒
(𝐼0− 𝐼1)
−𝑏
𝑒
(𝐼0− 𝐼1), 𝑐
−𝑏
𝑒
𝑒
𝐼
0
, (9.30)
2
𝑐
𝐴
+
2
𝑐
2
2
𝑘
𝑉
⊥
2
Ω
𝑖
𝑘
2
+
2
𝑠
2
⊥
Ω
=
2
𝑐
−2𝑏
+
𝑐
2
𝑉
2
𝑖
2𝑇
𝑚
𝑒
𝑒
2
𝐴
𝑒
𝑖
(𝐼0− 𝐼1)
2
𝑐
1 + 𝐴
𝐴
2
𝑐
. (9.33)
2
, (9.31)
, (9.32)
При 𝑘⊥→ 0 и 𝑐
2
≪ 𝑐2полученное решение, как и ожидалось, воспроизводит дисперсию
𝐴
БМЗ-волны 𝜔2= 𝑘
2
2
(𝑐
⊥
2
+ 𝑐
), а при больших 𝑘⊥выходит на постоянную частоту 𝜔 =
𝑠
𝐴
73
T = 4 кэВ
e
T = 400 эВ
e
T = 40 эВ
e
T = 0
e
БМЗ
1
0.1
10 100
0
0.01
0.02
𝜔𝑝𝑖. Таким образом, при конечной температуре электронов резонанс возникает не на
нижней гибридной частоте Ω𝐿𝐻, а на ионной плазменной 𝜔𝑝𝑖. Рисунок 9.1 показывает,
как нижний гибридный резонанс исчезает с увеличением температуры электронов.
Рис. 9.1. Дисперсия БМЗ-ветви в горячей плазме
9.3.2. Высокочастотные колебания
При высоких частотах 𝜔 ∼ Ω𝑒, 𝜔𝑝𝑒можно пренебречь влиянием ионов. Тогда в холодной
плазме дисперсионное уравнение имеет два решения
2
2
2
𝑐
⊥
±𝜔
2
2
𝑝𝑒
Ω
Ω
2
+
𝑒
𝜔2= 𝜔
𝑝𝑒
Ω
+ 𝑘
+
𝑒
2
одно из которых представляет собой электромагнитную волну, выходящую при боль-
ших 𝑘⊥на закон дисперсии 𝜔 = 𝑘⊥𝑐, а другое соответствует верхнегибридной моде,
выходящей на резонанс, расположенный на частоте Ω𝑈𝐻=𝜔
В плазме с горячими электронами спектр колебаний значительно обогащается за
счёт появления новых ветвей почти потенциальных колебаний, называемых модами
Бернштейна. Эти моды лежат в диапазонах между гармониками циклотронной часто-
2
𝑒
− 𝑘
4
2
2
𝑐
⊥
, (9.34)
2
𝑝𝑒
+ Ω
2
.
𝑒
ты Ω𝑒, и в тех местах, где они пересекаются с верхнегибридной и электромагнитной
модами, происходит пересоединение дисперсионных кривых. Рисунок 9.2, на котором
представлено численное решение точного дисперсионного уравнения, показывает, что
74 9.0. Поперечное распространение волн в замагниченной плазме
верхний гибридный резонанс фактически исчезает, переходя вместе с модой Бернштей-
на на одну из гармоник циклотронной частоты, а электромагнитная волна разбивается
на отдельные сегменты, соединяющие две различные моды Бернштейна.
Рис. 9.2. Высокочастотные колебания с поперечным распространением
Глава 10
Дрейфовая волна
Известно, что в замагниченной плазме с неоднородной плотностью возникает так назы-
ваемый градиентный дрейф частиц, скорость которого направлена поперёк как магнит-
ного поля, так и градиента плотности: V0∝ [∇𝑛 ×B0]. Очевидно, что появление такого
дрейфа должно заметно искажать дисперсию колебаний, которые имеют сравнимые
фазовые скорости.
В качестве стационарного невозмущенного состояния будем расматривать плазму с
неоднородной вдоль 𝑥 плотностью 𝑛𝑒= 𝑛𝑖= 𝑛0(𝑥) и однородной электронной темпера-
турой 𝑇𝑒(𝑇𝑖= 0), помещённую в постояное во времени магнитное поле B0= (0, 0, 𝐵0(𝑥)).
Для того чтобы электроны находились в равновесии, градиент давления плазмы дол-
жен быть уравновешен силой Лоренца, действующей на дрейфующие поперёк поля
электроны:
𝑒𝑛
−𝑇𝑒∇𝑛0−
0
[V0× B0] = 0. (10.1)
𝑐
Отсюда получаем выражение для скорости дрейфа
V0= (0, 𝑉0, 0), 𝑉0= −
𝑐𝑇
𝑒𝐵0𝑛
𝜕𝑛
𝑒
0
·
. (10.2)
𝜕𝑥
0
Создаваемый электронами ток требует неоднородности магнитного поля, при этом урав-
нение Максвелла
4𝜋𝑒𝑛
rot B0= −
0
V
0
𝑐
(10.3)
сводится к условию постоянства суммарного давления плазмы и магнитного поля
𝜕
𝜕𝑥
𝐵
8𝜋
2
0
+ 𝑛0𝑇
= 0. (10.4)
𝑒
Далее считаем, что давление плазмы невелико, и пренебрегаем неоднородностью поля.
75
76 9.0. Поперечное распространение волн в замагниченной плазме
Рассмотрим волну, бегущую в плоскости (𝑦, 𝑧). Она создаёт возмущения вида
𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓 (𝑥)𝑒
𝑖𝑘𝑦𝑦+𝑖𝑘𝑧𝑧−𝑖𝜔𝑡
.
Если продольная фазовая скорость этой волны мала по сравнению с альфвеновской
(𝜔/𝑘𝑧≪ 𝑐𝐴), эту волну можно считать потенциальной, то есть E = −∇𝜙. Будем пред-
полагать также, что колебания в этой волне, связанные с движением тяжёлых ионов,
происходят настолько медленно, что электроны в потенциальном поле успевают рас-
пределиться по Больцману,
𝑛𝑒(𝑡, r) = 𝑛0(𝑥) exp
𝑒𝜙
𝑇
𝑒
≈ 𝑛0+ 𝑛
𝑒𝜙
, (10.5)
0
𝑇
𝑒
и почти полностью скомпенсировать заряд ионов, 𝛿𝑛𝑒= 𝛿𝑛𝑖. Тогда колебания ионов
𝜕𝛿𝑛
𝑒
+ div(𝑛0𝛿V𝑖) = 0, (10.6)
𝜕𝑡
𝜕𝛿V
𝜕𝑡
𝑖
= −
𝑒
𝑚
∇𝜙 +
𝑖
𝑒
[𝛿V𝑖× B0] . (10.7)
𝑚𝑖𝑐
В условиях, когда частота волны существенно ниже ионной циклотронной (𝜔 ≪ Ω𝑖),
связь между возмущением скорости и потенциала приобретает простой вид:
𝛿V𝑖=−𝑖𝑘
𝑐
𝜙;
𝑦
𝐵
0
𝐵
𝑐
0
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝑒𝑘
;
𝑧
𝜙. (10.8)
𝑚𝑖𝜔
Подстановка этой скорости в уравнение непрерывности
𝜕
−𝑖𝜔𝛿𝑛𝑒+
(𝑛0𝛿𝑉𝑥) + 𝑖𝑘𝑦𝑛0𝛿𝑉𝑦+ 𝑖𝑘𝑧𝑛0𝛿𝑉𝑧= 0 (10.9)
𝜕𝑥
приводит к квадратному уравнению на 𝜔,
2
𝜔2− 𝜔𝑘𝑦𝑉0− 𝑘
2
𝑐
= 0, (10.10)
𝑧
𝑠
решения которого имеют вид
2
2
𝑘
𝜔 =
𝑘𝑦𝑉
2
0
±
𝑉
0
𝑦
4
+ 𝑘
2
2
𝑐
. (10.11)
𝑧
𝑠
При 𝑘𝑦= 0 эти решения описывают встречные ионно-звуковые колебания, бегущие
вдоль силовых линий магнитного поля. При косом распространении наличие дрейфа
электронов при больших 𝑘𝑧приводит к некоторому сдвигу частоты этих колебаний
𝜔 = ±𝑘𝑧𝑐𝑠+ 𝑘𝑦𝑉0/2, а при 𝑘𝑧→ 0 приводит к появлению новой ветви так называемых
77
дрейфовых волн (𝜔 = 𝑘𝑦𝑉0). Видно, что фазовая и групповая скорости в этой волне
совпадают с дрейфовой скоростью 𝑉0.
По сути дрейфовая волна представляет собой бегущую в направлении 𝑦 волну плот-
ности плазмы. Электрическое поле этой потенциальной волны 𝐸𝑦за счёт дрейфа в
скрещенных полях заставляет ионы колебаться в направлении 𝑥. В однородной плаз-
ме колебания с div 𝛿V𝑖= 0 не сопровождаются возмущениями плотности, однако при
наличии ∇𝑛0такие возмущения появляются за счёт конвективного переноса ионов из
мест с более высокой плотностью в места с более низкой и наоборот.
Учебное издание
Тимофеев Игорь Валериевич,
Сковородин Дмитрий Иванович,
Черноштанов Иван Сергеевич
КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ. КУРС ЛЕКЦИЙ
Учебное пособие
Редактор С. В. Исакова
Обложка Е. В. Неклюдовой
Подписано к публикации 29.08.2024 г.
Формат 60 х 84 1/16. Уч.-изд. л. 9,75. Усл. печ. л. 9.
Заказ № 121
Издательско-полиграфический центр НГУ
630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.