Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
И. В. Тимофеев, Д. И. Сковородин, И. С. Черноштанов
КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ. КУРС ЛЕКЦИЙ
Учебное пособие
Новосибирск
2024
УДК (075.8)
ББК В333.26я73-1
Т415
Рецензент
д-р физ.-мат. наук, проф. К. В. Лотов
Тимофеев, И. В.
Т415 Коллективные явления в плазме. Курс лекций : учеб. пособие / И. В. Тимофеев, Д. И. Сково-
родин, И. С. Черноштанов ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2024. – 78 с.
ISBN 978-5-4437-1627-5
Пособие содержит конспект лекций по курсу «Коллективные явления в плазме», читаемого
студентам 4-го курса кафедры физики плазмы Новосибирского государственного университета.
Спецкурс предполагает знакомство слушателей с программой предшествующих теоретических
курсов кафедры – «Введение в физику плазмы» и «Магнитная гидродинамика», а также опирается на материалы курсов «Физика сплошных сред» и «Электродинамика» ФФ НГУ. Основное
внимание уделяется волновым процессам в идеальной бесстолкновительной плазме. Приведен
вывод дисперсионного соотношения для волн малой амплитуды, рассмотрены неустойчивости,
вызванные отклонением функции распределения от максвелловской. Также обсуждаются модели, описывающие волны конечной амплитуды, такие как нелинейное затухание Ландау и квазилинейная диффузия.
УДК (075.8)
ББК В333.26я73-1
Рекомендовано к печати кафедрой физики плазмы ФФ НГУ
(протокол № 149 от 13.03.2024 г.)
Новосибирский государственный
ISBN 978-5-4437-1627-5 университет, 2024
Оглавление
1 Иерархия теоретических моделей плазмы 5
1.1. Точное описание плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Кинетическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Двухжидкостная магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Одножидкостная магнитная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Волны в незамагниченной плазме 13
2.1. Линейное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Тензор диэлектрической проницаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Правило обхода Ландау. Затухание Ландау 17
3.1. Правило обхода Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Затухание Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Нелинейное затухание Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Волны в максвелловской плазме 29
4.1. Диэлектрическая проницаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Потенциальные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Двухпотоковая неустойчивость 35
5.1. Гидродинамический режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2. Кинетический режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Слабая турбулентность. Квазилинейная теория 41
6.1. Уравнение для быстрой части функции распределения . . . . . . . . . . . 42
6.2. Уравнение для электрического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3. Эволюция усредненной функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
4
6.4. Квантовая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Кинетические эффекты при распространении волн в замагниченной
плазме 47
7.1. Решение кинетического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2. Циклотронное затухание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3. Продольные волны в замагниченной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3.1. Альфвеновская волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3.2. Вистлеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3.3. Высокочастотные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.4. Циклотронная неустойчивость анизотропной
плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.1. Дисперсионное соотношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.2. АИЦН в бимаксвелловской плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4.3. Граница устойчивости и инкремент неустойчивости . . . . . . . . 60
7.4.4. Граница абсолютности неустойчивости*. . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Диэлектрическая проницаемость горячей замагниченной плазмы в об-
щем случае
9 Волны в замагниченной плазме с поперечным распространением
*
*
63
67
9.1. Дисперсионные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2. Обыкновенная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.3. Необыкновенные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3.1. Низкочастотные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3.2. Высокочастотные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Дрейфовая волна 75
Глава 1
Иерархия теоретических моделей
плазмы
Как известно, плазма представляет собой квазинейтральную среду, состоящую из заря-
женных частиц, взаимодействие между которыми осуществляется посредством элек-
тромагнитных полей. Благодаря дальнодействующему характеру такого вазимодей-
ствия в создании этих полей принимают участие большие коллективы частиц. Их са-
мосогласованную динамику в зависимости от ситуации можно описывать с различным
уровнем детализации. Если для описания медленных процессов с участием тяжелых
ионов бывает достаточно ограничиться гидродинамическими представлениями, соглас-
но которым плазма мало отличается от проводящей жидкости, то в быстрых процессах
развития плазменных неустойчивостей зачастую необходимо учитывать не только раз-
личие в движении разных сортов частиц, но и даже различие в движении отдельных
групп частиц внутри одного сорта. В данной лекции мы напомним роль и место раз-
личных упрощенных моделей в общей иерархии теоретических подходов к описанию
плазмы.
1.1. Точное описание плазмы
Для максимально подробного описания плазмы как системы из 𝑁 =
ходимо знать, как со временем меняются не только координаты r
частиц каждого сорта 𝑎, но и микроскопические значения электрического E𝑀(r, 𝑡) и
магнитного B𝑀(r, 𝑡) полей в каждой точке пространства. Если такая информация из-
𝑁𝑎частиц необ-
𝑎
𝑎
(𝑡) и импульсы p
𝑖
𝑎
𝑖
(𝑡)
вестна в начальный момент времени, то дальнейшая динамика системы описывается
5
6
уравнениями движения
𝑑p
𝑑𝑡
𝑎
𝑖
= 𝑒
𝑎
E𝑀(r
𝑑r
𝑑𝑡
𝑎
𝑖
𝑎
𝑖
= v
, 𝑡) +
𝑎
𝑖
=
1
𝑐
𝑎
p
𝑖
, (1.1)
𝑚
v
𝑎
𝑎
× B𝑀(r
𝑖
𝑎
𝑖
, 𝑡)
(1.2)
и уравнениями Максвелла
rot B𝑀=
1𝑐𝜕E
𝜕𝑡
𝑀
4𝜋
+
j𝑀, rot E𝑀= −
𝑐
1𝑐𝜕B
𝜕𝑡
𝑀
, (1.3)
div E𝑀= 4𝜋𝜌𝑀, div B𝑀= 0, (1.4)
где 𝑒𝑎и 𝑚𝑎— заряд и масса частиц сорта 𝑎, 𝑐 — скорость света в вакууме, а микроско-
пические плотности заряда и тока определены выражениями
𝑁
𝜌𝑀(r, 𝑡) =
𝑎
j𝑀(r, 𝑡) =
𝑎
𝑎
𝑒
𝑒
𝑎
𝑎
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
𝛿(r − r
𝑎
v
𝑎
𝑖
𝑎
(𝑡)), (1.5)
𝑖
(𝑡)𝛿(r − r
𝑎
(𝑡)). (1.6)
𝑖
Очевидно, что для описания макроскопических объёмов плазмы в реальных экс-
периментах данный подход является слишком подробным. В эксперименте невозможно
определить начальные положения всех частиц плазмы или измерить поля сразу во всех
точках пространства. Поэтому более адекватным является статистический подход, в
котором вместо динамики точных полей и микроскопических плотностей частиц пред-
сказывается динамика их наиболее вероятных значений, усреднённых по всевозможным
микросостояниям системы.
1.2. Кинетическое уравнение
Итак, в эксперименте начальное состояние плазмы, содержащей большое число частиц,
как правило, описывают с помощью весьма ограниченного набора макроскопических
параметров. Очевидно, что заданному таким образом макросостоянию системы может
отвечать большое количество микросостояний. Задача статистической теории состоит
в изучении величин, усреднённых по таким микросостояниям. Другими словами, из-за
недостатка информации о начальном микроскопическом состоянии реальной плазмы
приходится рассматривать эволюцию целого ансамбля плазм, стартующих с различ-
ных возможных микросостояний, и затем усреднять интересующие величины по этому
ансамблю.
Введем макроскопические значения электрического и магнитного полей так, как это
принято в физике сплошных сред:
7
E =E
𝑀
, B =B
𝑀
, (1.7)
где скобки ⟨...⟩ означают статистическое усреднение по объему, содержащему достаточ-
но много частиц плазмы.
В кинетической теории каждый сорт частиц 𝑎 характеризуется функцией распреде-
ления 𝑓𝑎(r, p, 𝑡), имеющей смысл плотности числа частиц в элементе объема фазового
пространства 𝑑3𝑝 ·𝑑3𝑟. Если полностью пренебречь воздействием микрополей, функция
распределения подчиняется кинетическому уравнению:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑎
+ v
𝜕𝑓
𝜕r
𝑎
+ 𝑒
1
E +
𝑎
[v × B]
𝑐
𝜕𝑓
𝑎
= 0, (1.8)
𝜕p
где макроскипеческие поля определяются из уравнений Максвелла, в которые подстав-
лено макроскопическое значение тока:
𝑒
v𝑓𝑎𝑑3𝑝, (1.9)
𝑎
𝑎
rot B =
1𝑐𝜕E
𝜕𝑡
+
4𝜋
𝑐
1𝑐𝜕B
rot E = −
. (1.10)
𝜕𝑡
Такой подход к описанию плазмы называется кинетическим уравнением Власова с са-
мосогласованным полем.
Одним из методов учета воздействия микроскопических полей является учет в пра-
вой части кинетического уравнения так называемого интеграла столкновений
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑎
+ v
𝜕𝑓
𝜕r
𝑎
+ 𝑒
1
E +
𝑎
[v × B]
𝑐
𝜕𝑓
𝜕p
𝑎
=
𝐶
, (1.11)
𝑎,𝑏
𝑏
описывающего эффект парных столкновений.
Таким образом, частицы плазмы одновременно участвуют как в коллективных дви-
жениях плазмы под действием усреднённых полей, имеющих макроскопический харак-
тер, так и в процессах взаимодействия со случайными полями, создаваемыми отдель-
ными частицами на микроуровне. Если колебания больших коллективов частиц носят
обратимый характер, то столкновительные процессы приводят к появлению диссипа-
тивных механизмов, возвращающих систему в состояние термодинамического равно-
весия. В режиме, когда характерная частота рассматриваемых колебаний 𝜔 заметно
превышает частоту столкновений 𝜈, плазму можно считать бесстолкновительной и для
описания её динамики использовать кинетическое уравнение Власова. Если условие
𝜔 ≫ 𝜈 не выполняется, необходимо решать уравнение (1.11).
8
1.3. Двухжидкостная магнитная гидродинамика
Если скорости отдельных частиц определённого сорта различаются не слишком сильно,
то их движение можно рассматривать как движение единой жидкости. В простейшем
случае, когда имеются только два сорта частиц — электроны и ионы, плазму можно
представить как систему из двух взаимопроникающих проводящих жидкостей, взаимо-
действие между которыми осуществляется через электромагнитное поле.
Гидродинамический подход подразумевает, что состояние каждой жидкости мож-
но описывать с помощью небольшого числа макроскопических характеристик, усред-
нённых по достаточно большим объёмам пространства и достаточно продолжитель-
ным промежуткам времени. Во-первых, размер такого усреднения 𝐿 должен во вся-
ком случае быть больше среднего расстояния между частицами, 𝐿 ≫ 𝑛
концентрация частиц. Это позволяет рассматривать данную жидкость как сплошную
среду. Во-вторых, пространственные и временные масштабы 𝐿 и 𝜏 рассматриваемых
процессов должны существенно превышать длины и времена, на которых устанавлива-
ется локальное термодинамическое равновесие (то есть для частиц всех сортов частота
столкновений 𝜈 частиц плазмы друг с другом велика, 𝜈 ≫ 𝜏−1, а длина свободного
пробега мала, 𝑣𝑇/𝜈 ≪ 𝐿, здесь 𝑣𝑇– тепловая скорость). В разреженных газах послед-
нее условие действительно существенно. Однако в плазме, где взаимодействие между
частицами может осуществляться не только через столкновения, но и через макро-
скопические электромагнитные поля, условие сильной столкновительности не всегда
является обязательным, и быстрая эволюция макроскопических параметров зачастую
хорошо описывается уравнениями идеальной гидродинамики.
Рассмотрим более подробно бесстолкновительный случай. Поскольку детали распре-
деления частиц по импульсам в гидродинамическом подходе не очень важны, проинте-
−1/3
, где 𝑛 –
грируем кинетическое уравнение Власова по всем импульсам. В результате получаем
уравнение непрерывности (до конца раздела опускаем индекс, обозначающий сорт ча-
стиц)
𝜕𝑛
+ div𝑛V = 0, (1.12)
𝜕𝑡
в котором задействованы два простейших момента одночастичной функции распреде-
ления: плотность частиц
𝑛(𝑡, r) =𝑓(𝑡, r, p)𝑑3𝑝 (1.13)
9
и их средняя скорость
1
V(𝑡, r) =
v𝑓(𝑡, r, p)𝑑3𝑝. (1.14)
𝑛(𝑡, r)
Уравнение (1.12) фактически представляет собой дифференциальную форму закона со-
хранения числа частиц. Чтобы получить уравнение на среднюю скорость, нужно умно-
жить кинетическое уравнение на 𝛼-компоненту импульса частицы 𝑚𝑣𝛼и снова провести
интегрирование по импульсам. В результате получим
𝜕
𝑚𝑛𝑉𝛼+
𝜕𝑡
где
𝜕
𝑚(𝑣𝛼− 𝑉𝛼+ 𝑉𝛼)(𝑣𝛽− 𝑉𝛽+ 𝑉𝛽)𝑓𝑑3𝑝+
𝜕𝑟
𝛽
1
+ 𝑒
𝑚
𝜕
𝜕𝑡
𝐸𝛽+
𝑛𝑉𝛼+
[v × B]
𝑐
𝛽
𝜕
(𝑃𝛼𝛽+ 𝑚𝑛𝑉𝛼𝑉𝛽) = −𝑒𝑛𝐸𝛼+
𝜕𝑟
𝛽
𝑃𝛼𝛽(𝑡, r) = 𝑚
(𝑣𝛼− 𝑉𝛼)(𝑣𝛽− 𝑉𝛽)𝑓(𝑡, r, p)𝑑3𝑝 (1.15)
𝑎
𝜕𝑓
𝑣
𝛼
𝜕𝑝
𝛽
𝑑3𝑝 = 0,
1
[V × B]
𝑐
,
𝛼
есть тензор плотности потока импульса, который обусловлен давлением жидкости. Окон-
чательно, запишем уравнение движения
𝑛𝑚
𝜕𝑉
𝛼
+ (V · ∇) 𝑉
𝜕𝑡
𝜕
= −
𝛼
𝑃𝛼𝛽+ 𝑒𝑛𝐸𝛼+
𝜕𝑟
𝛽
1
[V × B]
𝑐
, (1.16)
𝛼
которое по сути является следствием закона сохранения импульса в выделенном малом
объёме жидкости. Видно, что и это уравнение зацепляется за более сложный момент
𝑃𝛼𝛽. В изотропной плазме эта величина сводится к скалярному давлению, 𝑃𝛼𝛽= 𝑝 𝛿𝛼𝛽,
которое может быть выражено в терминах температуры частиц данного сорта: 𝑝 = 𝑛𝑇 .
Для замыкания получающейся системы уравнений в бесстолкновительном случае, как
правило, используют различные уравнения состояния, определяющие связь 𝑝 = 𝑝(𝑛). В
изотропной плазме наиболее часто встречается адиабата
𝑑
𝑑𝑡
𝑝
= 0, (1.17)
𝛾
𝑛
причём показатель степени может варьироваться в зависимости от того, насколько
быстро протекает рассматриваемый процесс и сколько степеней свободы плазменных
частиц в нём задействовано. В замагниченной анизотропной плазме давление плазмы
вдоль и поперек магнитного поля может быть различным, поэтому вводят продольное
𝑝‖и поперечное 𝑝⊥давление, так что 𝑃𝛼𝛽= 𝑝⊥(𝛼𝛼𝛽−ℎ𝛼ℎ𝛽)+𝑝‖ℎ
, здесь h = B/𝐵 – еди-
𝛼ℎ
𝛽
ничный вектор вдоль магнитного поля. В анизотропной плазме связь между давлением
10
и плотностью может включать ещё и величину внешнего магнитного поля (адиабата
Чу–Голдбергера–Лоу):
𝑑
𝑑𝑡
𝑝||𝐵
𝑛
2
= 0,
3
𝑑
𝑑𝑡
𝑝
⊥
= 0. (1.18)
𝑛𝐵
Строгое обоснование возможности обрыва цепочки гидродинамических уравнений мо-
жет быть получено только в столкновительном случае в рамках метода Чепмена-Энскога,
когда выполняются уже упомянутые условия малости времени и длины свободного про-
бега частиц по сравнению с характерными масштабами задачи. В бесстолкновительной
плазме примененимость уравнений (1.12) и (1.16) связана с тем, что они предстваля-
ют собой просто законы сохранения числа и суммарного импульса частиц. Основные
сложности возникают с выбором уравнения состояния, применение которого неявно
подразумевает, что функция распределения частиц зависит лишь от малого числа па-
раметров; в бесстолкновительной плазме такое предположение может не выполняться.
Кроме того, использование уравнений магнитной гидродинамики (МГД) неявно под-
разумевает локальность процессов переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость и
т.п.), что может быть некорректным в случае редких столкновений. Однако процес-
сы переноса, как правило, протекают медленно и поэтому слабо влияют на быстрые
колебания в бесстолкновительной плазме.
1.4. Одножидкостная магнитная гидродинамика
Для ещё более медленных и крупномасштабных процессов можно пренебречь различи-
ем в движениях отдельных сортов частиц и описывать плазму как единую проводящую
жидкость. В этом случае состояние плазмы характеризуют суммарными величинами
массовой плотности, скорости и давления:
𝜌 =
𝑚𝑎𝑛𝑎, V =
𝑎
В простой плазме, состоящей из электронов и одного сорта ионов, плотность и скорость
1
𝑚𝑎𝑛𝑎V𝑎, 𝑝 =
𝜌
𝑎
𝑝𝑎. (1.19)
𝑎
плазмы как целого определяются плотностью и скоростью массивных ионов. Уравнение
для плотности 𝜌 получается суммирование уравнений непрерывности для различных
сортов частиц:
𝜕𝜌
+ div𝜌V = 0. (1.20)
𝜕𝑡