Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
Глава 6
Слабая турбулентность.
Квазилинейная теория
Линеаризованные уравнения Власова – Максвелла позволяют до конца исследовать
задачу об устойчивости заданного состояния плазмы. При выявлении неустойчивых
решений естественным образом возникает вопрос, к какому состоянию придет плазма
в результате возбуждения неустойчивых колебаний. Универсальные методы исследо-
вания нелинейной стадии неустойчивостей в настощее время отсутствуют, поэтому ис-
пользуются различные подходы, применимость которых в каждом конкретном случае
требует отдельного рассмотрения. Так, нелинейное затухание Ландау (лекция 3) поз-
воляет исследовать состояние нелинейного насыщения в случае, когда возбуждается
небольшое число слабовзаимодействующих мод. Такая ситуация возможна, например,
в случае длинноволновых колебаний, когда длина волны сравнима с размерами плаз-
менной установки. Для таких колебаний пространственно-неоднородная плазма играет
роль резонатора, в котором может возбуждаться дискретный набор стоячих волн.
Противоположным пределом является ситуация, когда возможно возбуждение боль-
шого числа волн с близкими волновыми числами и нескоррелированными фазами. В
этом случае суммарное электрическое поле волн в каждой точке меняется хаотически,
что приводит к диффузии частиц плазмы по скоростям. Эта диффузия вызывает де-
формацию функции распределения частиц, что в свою очередь влияет на инкременты
колебаний. В данном разделе мы выведем уравнения квазилинейной диффузии, опи-
сывающие эволюцию функции распределения и Фурье-компонент электрического поля
в однородной плазме. При этом мы будем считать энергию колебаний малой по срав-
нению с кинетической энергией частиц плазмы и будем пренебрегать взаимодействием
41
42 6.0. Слабая турбулентность. Квазилинейная теория
волн в результате их слияния и распада, т.е. трехволновым взаимодействием. Также
для простоты мы ограничимся потенциальными колебаниями, E = −∇𝜙, B = 0.
Предполагаем, что пространственный Фурье-спектр возбуждающихся колебаний име-
ет ширину ∆𝑘 и максимум в 𝑘0. Поскольку разность фаз волн с волновыми векторами
𝑘 и 𝑘 + ∆𝑘 меняется на 𝜋 на расстоянии порядка 1/∆𝑘, можно считать что длина
когерентности возбуждаемых колебаний порядка 1/∆𝑘. Аналогично введем время ко-
герентности 1/∆𝜔, где ∆𝜔 – ширина спектра возбуждаемых колебаний. Чтобы явно
выделить турбулентные пульсации, выделим в функции распределения 𝑓 (r, v, 𝑡) усред-
ненную часть 𝐹 = ⟨𝑓 ⟩ и быструю добавку 𝛿𝑓 = 𝑓 − 𝐹 . Усреднение проводится по об-
ластям пространства и временым интервалам, большим по сравнению с 1/∆𝑘 и 1/∆𝜔.
Амплитуду колебаний в дальнейшем будем считать малой, 𝛿𝑓 ≪ 𝐹 .
6.1. Уравнение для быстрой части функции распреде-
ления
Усреднив бесстолкновительное кинетическое уравнение
𝜕𝑓
𝜕𝑡
получим уравнение
𝜕𝐹
𝜕𝑡
описывающее эволюцию усредненного распределения частиц (при выводе учтено, что
среднее от колебаний электрического поля равно нулю, ⟨E⟩ = 0). Вычтя (6.2) из (6.1),
запишем уравнение на быструю часть функции распределения
𝜕𝛿𝑓
+ v
𝜕𝑡
+ v
𝜕𝛿𝑓
𝜕r
𝜕𝐹
= −𝑒⟨E ·
𝜕r
= −𝑒E ·
+ v
𝜕𝑓
𝜕r
+ 𝑒E ·
𝜕𝑓
𝜕p
𝜕𝐹
𝜕p
⟩
+ E ·
𝜕𝑓
= 0, (6.1)
𝜕p
⟩
= −𝑒⟨E ·
𝜕𝛿𝑓
𝜕p
𝜕𝛿𝑓
−⟨E ·
, (6.2)
𝜕p
⟩
𝜕𝛿𝑓
. (6.3)
𝜕p
Система уравнений (6.2)-(6.3) эквивалентна исходному уравнению (6.1) – при ее
выводе не сделано никаких упрощений. Чтобы упростить систему, воспользуемся пред-
положением о малости амплитуды турбулентных электрических полей 𝛿𝑓 ≪ 𝐹 . Это
позволяет пренебречь вторым и третьим слагаемыми в правой части (6.3):
𝜕𝛿𝑓
𝜕𝑡
+ v
𝜕𝛿𝑓
𝜕r
= −𝑒E ·
𝜕𝐹
. (6.4)
𝜕p
43
Отметим, что, отбрасывая слагаемые, пропорциональные 𝛿𝐸2, мы пренебрегли трехвол-
новым взаимодействием. Отброшенные слагаемые порядка 𝛿𝐸3отвечают за четырехвол-
новое взаимодействие и индуцированное рассеяние волн на частицах плазмы.
Теперь используем предположение, что исследуемое турбулентное состояние плазмы
является однородным в пространстве. Из него следует, что усредненная часть функции
распределения не зависит от координат, 𝐹(r, p, 𝑡) = 𝐹 (p, 𝑡). Кроме того, считаем что
𝐹 (p, 𝑡) меняется медленно по сравнению с характерными частотами колебаний. Взяв
преобразование Фурье от уравнения (6.4), найдем Фурье-компоненты функции 𝛿𝑓:
𝛿𝑓
𝑘,𝜔
= −𝑖𝑒
E
𝑘,𝜔
𝜔 − kv𝜕𝐹𝜕p
= −𝑖𝑒
(𝐸
𝑘,𝜔)𝛼
𝜔 − kv𝜕𝐹𝜕𝑝
. (6.5)
𝛼
Далее рассматриваем колебания с высокой частотой и пренебрегаем добавкой 𝛿𝑓 в
ионной функции распределения.
6.2. Уравнение для электрического поля
Электростатический потенциал найдем из уравнения Пуассона
𝑒
𝑎
𝑎
𝐹𝑎𝑑3𝑝 = 0.
𝑎
(𝐹𝑎+ 𝛿𝑓𝑎)𝑑3𝑝,
∆𝜙 = −4𝜋
суммирование производится по сортам частиц. Усреднив уравнение Пуассона, найдем,
что средние распределения плотности частиц удовлетворяют условию нейтральности
𝑒
𝑎
Учитывая нейтральность, найдем Фурье-компоненту плотности заряда и подставим ее
в уравнение Пуассона:
4𝜋𝑒
𝑘
𝑎
(𝛿𝑓
2
𝑘,𝜔)𝑎
𝑑3𝑝 = −
𝑎
𝜙
=
𝑘,𝜔
𝑎
4𝜋𝑒
2
𝑎
𝜙
𝑘,𝜔
𝜔 − kv
𝑘
𝜕𝐹
𝛼
𝑎
𝑑3𝑝. (6.6)
2
𝑘
𝜕𝑝
𝛼
Таким образом, электрическое поле можно представить в виде набора плоских волн
с частотой и волновым вектором, связанными дисперсионным соотношением (6.6). В
изотропной плазме без магнитного поля могут возбуждаться только ионно-звуковые и
ленгмюровские волны. Далее мы рассматриваем только высокочастотные (ленгмюров-
ские) колебания, и пренебрегаем поправкой от теплового движения в реальной части
частоты: 𝑅𝑒(𝜔𝑘) ≈ 𝜔𝑝.
44 6.0. Слабая турбулентность. Квазилинейная теория
Поскольку турбулентность предполагается однородной и изотропной в простран-
стве, среднее от компонент электрического поля ⟨𝐸𝛼𝐸𝛽⟩ не меняется при сдвигах и
поворотах, т.е. ⟨𝐸𝛼𝐸𝛽⟩ ∼ 𝛿𝛼𝛽. В силу однородности в пространстве и времени волны
с разными частотами и волновыми векторами предполагаются нескоррелированными,
⟨E
𝑘,𝜔
· E
′
⟩ ∼ 𝛿(𝜔 + 𝜔′)𝛿(k + k′), усреднение проводится по областям пространства
𝑘′,𝜔
и временым интервалам, большим по сравнению с длиной и временем когерентности.
Вводя нормировочный множитель 𝑁𝑘, запишем
⟨E
𝑘,𝜔
· E
′
⟩ = 2(2𝜋)5𝜔𝑘𝑁𝑘𝛿(𝜔 − 𝜔𝑘)𝛿(𝜔 + 𝜔′)𝛿(k + k′), (6.7)
𝑘′,𝜔
где 𝜔𝑘– решение дисперсионного уравнения (6.6) при заданном волновом векторе k.
Плотность энергии волны складывается из электрического поля и возмущения кинети-
ческой энергии частиц, равных в случае ленгмюровской волны:
⟨
𝐸
4𝜋
⟩
2
=
1
4𝜋
⟨
E
𝑘,𝜔E𝑘′,𝜔
𝑖k·r−𝑖𝜔𝑡𝑒𝑖k′·r−𝑖𝜔′𝑡
′
𝑒
𝑑𝜔 𝑑3𝑘
(2𝜋)
𝑑𝜔′𝑑3𝑘
2
(2𝜋)
⟩
′
=𝜔𝑘𝑁𝑘𝑑3𝑘. (6.8)
2
Таким образом, нормировочный множитель 𝑁𝑘можно интерпретировать как число
квантов с энергией 𝜔𝑘. Поскольку амплитуда волны экспоненциально изменяется с ин-
крементом, равным мнимой части частоты колебаний, легко написать уравнение, опи-
сывающее эволюцию числа квантов:
𝑑𝑁
𝑘
= 2𝛾𝑘𝑁𝑘, 𝛾𝑘= 𝐼𝑚(𝜔𝑘). (6.9)
𝑑𝑡
Следует отметить, что инкременты 𝛾𝑘медленно меняются из-за изменения распреде-
ления частиц 𝐹 (p, 𝑡). Легко найти инкременты в случае, когда они малы, 𝛾𝑘≪ 𝜔𝑘. В
этом пределе мнимая часть интеграла в (6.6) определяется полувычетом в точке, где
знаменатель обращается в ноль. Домножая (6.6) на 𝜔𝑘+𝑖𝛾𝑘, пренебрегая вкладом ионов
в мнимую часть интеграла и выделяя мнимую часть от всего выражения, найдем
𝜕𝐹
𝑒
𝛼
𝜕𝑝
𝑑3𝑝, 𝑤v(k) =
𝛼
2
8𝜋2𝑒
𝜔𝑘𝛿(𝜔𝑘− kv). (6.10)
2
𝑘
𝛾𝑘=
1
𝑤v(k)𝑘
2
В разд. 6.4 мы покажем, что выражение 𝑤v(k) можно интерпретировать как вероят-
ность излучения кванта с импульсом k частицей, движущейся со скоростью v.
6.3. Эволюция усредненной функции распределения
Подставив быструю часть функции распределения электронов
𝛿𝑓 (r, v, 𝑡) =𝛿𝑓
𝑘,𝜔
𝑖k·r−𝑖𝜔𝑡
𝑒
𝑑𝜔 𝑑3𝑘
2
(2𝜋)
в (6.2) и учитывая пространственную однородность (𝜕𝐹𝑒/𝜕r = 0), найдем
45
𝜕𝐹
𝜕𝑡
⟨
2
𝑒
𝑒
= 𝑖
𝑚
(𝐸
2
𝑘′,𝜔
′
)𝛼𝑒
𝑖𝑘k′·r−𝑖𝜔′𝑡
𝜕
=
𝜕𝑝
4𝜋𝑖
𝛼
𝑚
𝜕
(𝐸
𝜕𝑝
𝛼
2
𝑒
𝑘𝛼𝑘
𝛽
2
2
𝑘
𝑖k·r−𝑖𝜔𝑡
𝑒
𝑘,𝜔)𝛽
𝜔 − kv
2𝜔𝑘𝑁
𝜔𝑘− kv
𝜕𝐹
𝑑3𝑘𝑑𝜔
𝑒
𝜕𝑝
(2𝜋)
𝛽
𝑘
𝑑3𝑘
𝜕𝐹
′
𝜕𝑝
𝑑3𝑘′𝑑𝜔
2
(2𝜋)
𝜕
𝑒
=
𝜕𝑝
𝛽
⟩
′
=
2
𝜕𝐹
𝛼𝛽
𝑒
. (6.11)
𝜕𝑝
𝛽
𝐷
𝛼
Уравнение (6.11) описывает диффузию частиц в пространстве скоростей. Преобразуем
коэффициент диффузии 𝐷𝛼𝛽, предполагая, что инкременты малы, 𝛾𝑘≪ 𝜔𝑘. В этом слу-
чае при интегрировании по волновому вектору возникают малые знаменатели, для обхо-
да которых, как и в случае затухания Ландау, используем формулу Сохоцкого (сравни
с выражением (3.15))
1
=
𝜔𝑘− kv + 𝑖 · 0
1
− 𝜋𝑖𝛿(𝜔𝑘− kv). (6.12)
𝜔𝑘− kv
Нерезонансным вкладом, описываемым интегралом в смысле главного значения,
далее пренебрегаем. Таким образом, коэффициент диффузии равен
𝐷𝛼𝛽=𝑘𝛼𝑘𝛽𝑤v(k)𝑁𝑘𝑑3𝑘, 𝑤v(k) =
8𝜋2𝑒2𝜔
𝑘
𝛿(𝜔𝑘− kv). (6.13)
2
𝑘
Окончательно запишем уравнения квазилинейной теории в виде
𝜕𝐹
𝜕𝑡
𝜕
𝑒
=
𝜕𝑝
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝜕𝐹
𝛼𝛽
𝑒
, 𝐷𝛼𝛽=𝑤v(k)𝑘𝛼𝑘𝛽𝑁𝑘𝑑3𝑘,
𝜕𝑝
𝛽
𝐷
𝛼
𝑘
= 2𝛾𝑘𝑁𝑘, 𝛾𝑘=
1
2
𝑤v(k)𝑘
𝜕𝐹
𝑒
𝑑3𝑣. (6.14)
𝛼
𝜕𝑝
𝛼
6.4. Квантовая интерпретация
Пусть 𝑤v(k) – это вероятность излучения кванта с волновым вектором k частицей с
импульсом 𝑚v, в результате импульс частицы становится равным 𝑚v − k. Обратным
процессом (с такой же вероятностью 𝑤v(k)) является поглощение кванта с k частицей,
имеющей импульс 𝑚v −k. Число квантов 𝑁𝑘увеличивается из-за излучения частицами
со скоростью v и уменьшается из-за поглощения частицами со скоростью v − k/𝑚:
𝑑𝑁
𝑘
=𝑤v(k)(1 + 𝑁𝑘)𝐹 (v)𝑑3𝑣 −𝑤v(k)𝑁𝑘𝐹 (v − k/𝑚)𝑑3𝑣.
𝑑𝑡
Множитель (1 + 𝑁𝑘) в первом интеграле описывает спонтанное (первое слагаемое) и
вынужденное (второе слагаемое) излучение. Далее считаем 𝑁𝑘≫ 1 и пренебрегаем
спонтанным излучением.
46 6.0. Слабая турбулентность. Квазилинейная теория
Поскольку импульс кванта мал по сравнению с импульсом частицы, функцию рас-
пределения во втором слагаемом можно разложить в ряд Тейлора:
𝑑𝑁
𝑘
=𝑤v(k)𝑘
𝑑𝑡
𝜕𝐹
𝑑3𝑣 = 2𝛾𝑘𝑁𝑘.
𝛼
𝜕𝑝
𝛼
Число частиц со скоростью v уменьшается из-за столкновения с квантами, имеющи-
ми импульс k, и излучения квантов с импульсом k и увеличивается из-за поглощения
квантов с импульсом k частицами со скоростью v − k/𝑚 и излучения квантов с k ча-
стицами с v + k/𝑚:
𝜕𝐹 (v, 𝑡)
=𝑁𝑘𝑤v(k) (𝐹 (v − k/𝑚, 𝑡) −𝐹(v, 𝑡)) 𝑑3𝑘 +
𝜕𝑡
= −𝑁𝑘𝑤v(k)𝑘
𝜕𝐹 (v, 𝑡)
𝛼
𝜕𝑝
+𝑁𝑘𝑤
𝑑3𝑘 +𝑁𝑘𝑤
𝛼
v+k/m
(k) (𝐹 (v + k/𝑚, 𝑡) −𝐹 (v, 𝑡)) 𝑑3𝑘 =
𝜕𝐹 (v + k/𝑚,𝑡)
v+k/𝑚
=
𝜕𝑝
(k)𝑘
𝛼
𝜕𝑝
𝛼
𝜕
𝑘𝛼𝑘𝛽𝑁𝑘𝑤v(k)𝑑3𝑘
𝛼
𝑑3𝑘 =
𝜕𝐹
𝜕𝑝
.
𝛽
Наконец, кратко обсудим сделанные при выводе уравнений (6.14) предположения.
• Амплитуда колебаний предполагается малой, 𝛿𝑓 ≪ 𝐹 . Это эквивалентно требо-
ванию, что плотность энергии колебаний мала по сравнению с тепловой энергией
частиц плазмы, ∆𝑘3𝜔𝑘𝑁𝑘≪ 𝑛𝑇 , где ∆𝑘 – ширина спектра. Кроме того, характер-
ное время изменения скорости частицы из-за хаотического электрического поля
𝜏𝑑∼ 𝑚2∆𝑣2/𝐷 (здесь ∆𝑣 – разброс фазовых скоростей неустойчивых колебаний)
предполагается большим по сравнению с временем когерентности 𝜏𝜙∼ 1/(𝑘∆𝑣),
иначе процесс изменения скоростей частиц не будет носить диффузионный харак-
тер. Подставляя оценку для коэффициента диффузии 𝐷 ∼ 𝑒2𝐸2/(𝑘∆𝑣), найдем
что последнее условие эквивалентно требованию, чтобы шаг случайных блуж-
даний частицы в пространстве скоростей 𝛿𝑣 ∼ (𝑒𝐸/(𝑚𝑘))
1/2
(пропорциональный
разбросу скоростей частиц, захваченных потенциалом волны в амплитудой 𝐸 и
волновым вектором 𝑘), был мал по сравнению с ∆𝑣.
• В то же время амплитуда колебаний достаточно велика для того, чтобы можно
было пренебречь флуктуациями, 𝑁𝑘≫ 1.
• Характерные размеры неоднородности плазмы значительно превышают длины
волн 2𝜋/𝑘 и пространственные масштабы когерентности 2𝜋/∆𝑘, в противном слу-
чае разложение электрического поля в набор плоских волн с дисперсионным со-
отношением (6.6) становится некорректным.
Глава 7
Кинетические эффекты
при распространении волн
в замагниченной плазме
Приступим к анализу возможных колебаний горячей бесстолкновительной плазмы, по-
мещённой в постоянное и однородное магнитное поле. Воспользуемся стандартной про-
цедурой: рассмотрим линейный отклик среды на поля волны и вычислим ток, что поз-
волит нам определить тензор проводимости и тензор диэлектрической проницаемости.
Отклик среды будем вычислять на основе линеаризованного кинетического уравнения
Власова. Для упрощения вычислений мы ограничимся частным случаем, когда волно-
вой вектор волны направлен строго вдоль внешнего магнитного поля. Виду тензора
диэлектрической проницаемости в общем случае и поперечному распространению волн
посвящены следующие главы.
7.1. Решение кинетического уравнения
Вычисляя отклик среды на основе уравнения Власова, не будем пока ограничивать себя
только случаем продольного распространения волн. Тензор диэлектрической проница-
емости плазмы, помещенной во внешнее магнитное поле, имеет нетривиальную струк-
туру, так как в этой задаче есть два выделенных направления, задаваемые вектором k
и псевдовектором B0. Поэтому удобно сразу выбрать определенную систему координат.
Пусть магнитное поле направлено вдоль оси 𝑧 и имееет компоненты B0= (0, 0, 𝐵0). Не
ограничивая общность, можно всегда повернуть систему координат так, чтобы вектор
47
48 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
k = (𝑘⊥, 0, 𝑘‖) лежал в плоскости (𝑥, 𝑧).
Запишем кинетическое уравение для электронов:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑒
+ v
𝜕𝑓
𝑒
− 𝑒E +
𝜕r
1
[v × (B0+ B)]
𝑐
𝜕𝑓
𝑒
= 0, (7.1)
𝜕p
где E и B – поля волны. Для определенности будем далее проводить все вычисления для
электронов, опуская индекс у функции распределения. Представим фукнцию распреде-
ления в виде невозмущенной фукнции распределения и поправки, которая появляется
под действием волны: 𝑓 (r, p, 𝑡) = 𝑓0(p) + 𝛿𝑓(r, p, 𝑡). В нулевом порядке кинетического
уравнения по малости амплитуды волны получаем
𝑒
−
𝑐
[v × B0]
𝜕𝑓
0
= 0. (7.2)
𝜕p
Если в пространстве импульсов перейти к цилиндрическим координатам:
p = (𝑝⊥cos 𝜙, 𝑝⊥sin 𝜙, 𝑝‖),
то производная по p в декартовых координатах будет иметь компоненты
𝜕
=cos 𝜙
𝜕p
𝜕𝑝
𝜕
sin 𝜙
−
⊥
𝜕
, sin 𝜙
𝑝
𝜕𝜙
⊥
𝜕𝑝
𝜕
cos 𝜙
+
⊥
𝜕
𝑝
𝜕𝜙
⊥
𝜕
,
, (7.3)
𝜕𝑝
‖
а оператор
𝑒
−
𝑐
[v × B0]
𝜕
𝜕p
= Ω
𝜕
𝜕𝜙
, Ω =
𝑒𝐵
𝑚𝑒𝑐
0
(7.4)
будет сводиться к производной по азимутальному углу (Ω – циклотронная частота элек-
тронов во внешнем магнитном поле). Таким образом, нулевой порядок кинетического
уравнения можно переписать в следующем виде:
𝜕𝑓
0
Ω
= 0, (7.5)
𝜕𝜙
то есть в качестве невозмущённых функций распределения частиц можно выбирать
произвольные функции 𝑓0(𝑝⊥, 𝑝‖), допускающие анизотропию в распределении вдоль
и поперёк поля, но не зависящие от фазы ларморовского вращения. Запишем теперь
первый порядок кинетического уравнения:
𝜕𝛿𝑓
𝜕𝑡
+ v
𝜕𝛿𝑓
𝜕r
𝑒
−
𝑐
[v × B0]
𝜕𝛿𝑓
𝜕p
= 𝑒E +
1
[v × B]
𝑐
𝜕𝑓
0
. (7.6)
𝜕p
В Фурье-представлении линеаризованное кинетическое уравнение приобретает вид
−𝑖(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖− 𝑘⊥𝑣⊥cos 𝜙)𝛿𝑓 + Ω
𝜕𝛿𝑓
= 𝑒E +
𝜕𝜙
1
[v × B]
𝑐
𝜕𝑓
0
. (7.7)
𝜕p
Это уравнение можно переписать в более компактной форме:
49
−𝑖(𝑎 − 𝑧 cos 𝜙)𝛿𝑓 +
= 𝐹 (𝜙), (7.8)
𝜕𝜙
если ввести следующие обозначения
𝜕𝛿𝑓
(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖)
𝑎 =
𝐹 (𝜙) =
Ω
Ω
, 𝑧 =
𝑒
E +
1
[v × B]
𝑐
𝑘⊥𝑣
⊥
, (7.9)
Ω
𝜕𝑓
0
. (7.10)
𝜕p
Решение уравнения (7.8) будем искать методом вариации произвольной постоянной
в виде 𝛿𝑓 = 𝐶(𝜙) exp(𝑖𝑎𝜙 − 𝑖𝑧 sin 𝜙). Функция 𝐶(𝜙) тогда должна удовлетворять урав-
нению
𝜕𝐶
= 𝐹 (𝜙)𝑒
−𝑖𝑎𝜙 + 𝑖𝑧 sin 𝜙
, (7.11)
𝜕𝜙
интегрирование которого даёт
𝜙
𝐶 =
𝐹 (𝜙′)𝑒
−𝑖𝑎𝜙′+𝑖𝑧 sin 𝜙
′
𝑑𝜙′. (7.12)
Φ
Нижний предел в этом интеграле должен выбираться из условия периодичности функ-
ции распределения 𝛿𝑓(𝜙 + 2𝜋) = 𝛿𝑓 (𝜙). Эту функцию можно представить в форме
𝜙
𝛿𝑓 (𝜙) = 𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
Φ
𝐹 (𝜙′)𝑒
−𝑖𝑎(𝜙′−𝜙)+𝑖𝑧 sin 𝜙
′
𝑑𝜙′=
= 𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
Φ−𝜙
0
𝐹 (𝜙 + 𝑠)𝑒
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
𝑑𝑠, (7.13)
из которой видно, что периодичность может достигаться только в случае бесконечных
пределов Φ = ±∞. Выбор знака диктуется правилом обхода Ландау. Согласно этому
правилу величину 𝑎 мы понимаем как 𝑎 + 𝑖0, поэтому конечным этот интеграл может
быть только при Φ = −∞.
Будем далее рассматривать изотропную плазму, для которой 𝑓0(𝑝⊥, 𝑝‖) = 𝑓0(𝑝). Тог-
да выражение для 𝐹 упрощается, так как член
1
[v × B]
𝑐
𝜕𝑓
0
= 0. (7.14)
𝜕p
Учитывая, что подстановка функции 𝐹 (𝑠+𝜙) в 𝛿𝑓 приводит к появлению следующих
50 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
интегралов:
0
𝐶𝑥=
𝐶𝑦=
𝐶𝑧=
𝑑𝑠 cos(𝜙 + 𝑠)𝑒
−∞
0
𝑑𝑠 sin(𝜙 + 𝑠)𝑒
−∞
0
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
𝑑𝑠𝑒
−∞
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
, (7.15)
, (7.16)
, (7.17)
получаем окончательное выражение для возмущения функции распределения
𝛿𝑓 =
Ω
𝑒
𝐶
𝜕𝑓
0
𝐸𝑥+ 𝐶
𝑥
𝜕𝑝
⊥
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑝
0
𝐸𝑦+ 𝐶
⊥
𝜕𝑓
𝑧
𝜕𝑝
0
𝐸
. (7.18)
𝑧
‖
7.2. Циклотронное затухание
В теории замагниченной плазмы зачастую используется подход, в котором благодаря
известному разложению
∞
𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
интегралы типа 𝐶𝑧представляются в виде ряда, содержащего бесконечное число чле-
нов:
𝐶𝑧= 𝑖
(𝐽𝑛(𝑧) — функции Бесселя целого порядка).
=
𝑛=−∞
∞
𝑛=−∞
𝐽𝑛(𝑧)𝑒
𝐽𝑛(𝑧)
𝑎 − 𝑛
𝑒
𝑖𝑛𝜙
𝑖𝑛𝜙
(7.19)
(7.20)
Из полученных формул видно, что в тензоре диэлектрической проницаемости име-
ется антиэрмитова часть, которая возникает из-за обхода особенностей sin(𝜋𝑎) = 0. Это
означает, что в замагниченной плазме, как и в случае без поля, присутствует дисси-
пация колебаний, связанная с эффектом затухания Ландау. При этом магнитное поле
несколько модифицирует условие резонансного взаимодействия между волнами и ча-
стицами:
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖− 𝑛Ω = 0. (7.21)
При 𝑛 = 0 это условие называют черенковским резонансом. В этом случае скорость
частицы вдоль магнитного поля совпадает с продольной фазовой скоростью волны.
Остальные резонансы называют циклотронными, при этом различают резонансы на