Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
11
Суммируя аналогичным способом уравнения движения частиц и пренебрегая инерцией
электронов, получаем уравнение для средней скорости плазмы
𝑑V
𝜌
= 𝜌𝑒E +
𝑑𝑡
1
[j × B] −∇𝑝, (1.21)
𝑐
в котором
𝜌𝑒=
𝑒𝑎𝑛𝑎, j =
𝑎
𝑎
𝑒𝑎𝑛𝑎V
𝑎
(1.22)
обозначают плотности заряда и тока. Для очень медленных процессов (𝜏 ≫ 𝐿/𝑐) в
уравнении Максвелла можно пренебречь током смещения и выразить создаваемый в
плазме электрический ток через магнитное поле:
𝑐
j =
rot B. (1.23)
4𝜋
Кроме того, если характерный пространственный масштаб задачи существенно превы-
шает дебаевский радиус 𝑟𝐷, то плазму можно считать квазинейтральной 𝜌𝑒≪ 𝑒𝑎𝑛𝑎, что
позволяет пренебречь силой, действующей на плазму со стороны электрического поля.
При учете перечисленных обстоятельств уравнение движения приобретает вид
𝑑V
𝜌
𝑑𝑡
=
1
[rot B × B] −∇𝑝. (1.24)
4𝜋
Для давления плазмы по-прежнему используем различные уравнения состояния, ко-
торые в отсутствие диссипации могут быть представлены в форме закона сохранения
энтропии в движущемся элементе жидкости:
𝑑𝑠(𝑝, 𝜌)
= 0. (1.25)
𝑑𝑡
Чтобы получить уравнение для магнитного поля, предположим, что сопротивление
плазмы пренебрежимо мало (это неявно подразумевает пренебрежение кулоновскими
столкновениями; кроме того важно, что в силу высокой подвижности электроны успе-
вают экранировать медленно меняющееся электрическое поле). В идеально проводящей
среде электрическое поле равно нулю, поскольку иначе плотность тока была бы беско-
нечно велика. Условие отсутствия электрического поля в системе отсчёта движущейся
плазмы запишем в виде
1
E +
[V × B] = 0. (1.26)
𝑐
Взятие rot приводит к уравнению
𝜕B
= rot [V × B] , (1.27)
𝜕𝑡
которое описывает вмороженность в плазму силовых линий магнитного поля.
12
Глава 2
Волны в незамагниченной плазме
2.1. Линейное приближение
Очевидно, что отклик плазмы на достаточно слабые электромагнитные поля должен
быть линейным. Уравнения Максвелла (1.9-1.10) в этом случае тоже становятся ли-
нейными и могут быть решены методом преобразования Фурье. С физической точки
зрения это означает, что возможные решения этих уравнений можно представить в виде
некоторого набора плоских волн
E(𝑡, r) =E(𝜔, k)𝑒
каждая из которых характеризуется своей частотой 𝜔, волновым вектором k и амплиту-
дой E(𝜔, k). В Фурье-представлении уравнения Максвелла превращаются в однородную
систему линейных алгебраических уравнений
𝑘𝛼𝑘𝛽− 𝑘2𝛿𝛼𝛽+
где тензор диэлектрической проницаемости 𝜀𝛼𝛽содержит всю информацию о линейном
отклике среды. Для вычисления 𝜀𝛼𝛽необходимо установить линейную связь между
Фурье-образами тока и поля 𝑗𝛼(𝜔, k) = 𝜎𝛼𝛽(𝜔, k)𝐸𝛽(𝜔, k), определяемую тензором про-
водимости 𝜎𝛼𝛽, и воспользоваться выражением
𝜀𝛼𝛽= 𝛿𝛼𝛽+
Поскольку ненулевые решения системы уравнений (2.2) существуют только при вы-
2
𝜔
2
𝑐
−𝑖𝜔𝑡+𝑖kr
𝜀𝛼𝛽(𝜔, k)𝐸𝛽(𝜔, k) = 0, (2.2)
4𝜋𝑖
𝜔
𝑑𝜔 𝑑3𝑘
(2𝜋)
𝜎𝛼𝛽. (2.3)
, (2.1)
2
полнении условия
𝑘𝛼𝑘𝛽− 𝑘2𝛿𝛼𝛽+
2
𝜔
𝜀𝛼𝛽(𝜔, k)
2
𝑐
13
= 0, (2.4)
14 2.0. Волны в незамагниченной плазме
частота и волновой вектор в каждой плоской волне оказываются связанными между
собой: 𝜔 = 𝜔(k). Каждую такую зависимость 𝜔(k) называют законом дисперсии, а о
колебаниях на соответствующих частотах говорят как о собственных колебаниях плаз-
мы. Ненулевые решения системы (2.2) определяют векторы поляризации собственных
колебаний ek= E(𝜔, k)/|E(𝜔, k)|.
Прежде чем приступить к линейному анализу возможных колебаний незамагничен-
ной плазмы, необходимо установить вид тензоров 𝜎𝛼𝛽и 𝜀𝛼𝛽, воспользовавшись лине-
аризованными уравнениями, описывающими движение частиц плазмы под действием
электромагнитных полей. Нас будет интересовать случай бесстолкновительной горячей
плазмы, поэтому для наиболее подробного статистического описания колебательных
процессов в такой среде будем использовать кинетическое уравнение Власова (1.8).
2.2. Тензор диэлектрической проницаемости
Пусть в невозмущенном состоянии электроны и ионы плазмы характеризуются изо-
тропными распределениями 𝑓
аналогичные возмущения в распределении частиц сорта 𝑎
𝛿𝑓𝑎(𝑡, r, p) =
так что 𝑓𝑎(𝑡, r, p) = 𝑓
𝑎
(𝑝) + 𝛿𝑓𝑎(𝑡, r, p). Линеаризуя кинетическое уравнение (1.8) по
0
малым возмущениям, получаем
𝜕𝛿𝑓
𝜕𝑡
В силу изотропии невозмущённой функции распределения из этого уравнения выпа-
дает сила Лоренца, поскольку 𝜕𝑓0/𝜕p ‖ p, а [v × B] ⊥p. В Фурье представлении это
уравнение позволяет выразить возмущения функции распределения через возмущение
поля:
𝑒,𝑖
(𝑝). Возмущения электромагнитного поля (2.1) создают
0
1
(2𝜋)
𝑎
+ v
𝜕𝛿𝑓
𝑎
+ 𝑒
𝜕r
𝛿𝑓𝑎(𝜔, k, p) =
𝛿𝑓𝑎(𝜔, k, p)𝑒
2
E +
𝑎
−𝑖𝑒
𝑎
𝜔 − kv
1
[v × B]
c
E(𝜔, k)
−𝑖𝜔𝑡+𝑖kr
𝜕𝑓
𝜕p
𝑎
𝜕𝑓
0
𝜕p
𝑑𝜔 𝑑3𝑘, (2.5)
𝑎
0
= 0. (2.6)
. (2.7)
Вычисляя возмущение тока
𝛿𝑗𝛼(𝜔, k) =
𝑒
𝑎
𝑎
определяем тензор проводимости
𝜎𝛼𝛽(𝜔, k) = −𝑖
𝑣𝛼𝛿𝑓𝑎(𝜔, k, p)𝑑3𝑝 = 𝜎𝛼𝛽(𝜔, k)𝐸𝛽(𝜔, k), (2.8)
𝑎
𝑒
2
𝑎
𝑣
𝛼
𝜔 − kv
𝑎
𝜕𝑓
0
𝑑3𝑝. (2.9)
𝜕𝑝
𝛽
15
Используя затем связь (2.3), находим тензор диэлектрической проницаемости
𝜀𝛼𝛽(𝜔, k) = 𝛿𝛼𝛽+
𝑎
4𝜋𝑒
𝜔
2
𝑎
𝑣
𝛼
𝜔 − kv
𝑎
𝜕𝑓
0
𝑑3𝑝. (2.10)
𝜕𝑝
𝛽
Поскольку единственным выделенным направлением в данном интеграле является на-
правление волнового вектора k/𝑘, тензор 𝜀𝛼𝛽должен иметь следующую структуру1:
𝜀𝛼𝛽= 𝜀
⊥
𝛿𝛼𝛽−
𝑘𝛼𝑘
𝑘
+ 𝜀
‖
𝑘𝛼𝑘
𝛽
. (2.11)
2
𝑘
𝛽
2
Это означает, что все волновые свойства изотропной плазмы можно характеризовать
двумя скалярными функциями 𝜀⊥(𝜔, k) и 𝜀‖(𝜔, k). Вид этих функций можно установить,
вычисляя свёртки:
𝜀‖= 𝜀
𝛼𝛽
𝑘𝛼𝑘
𝑘
𝛽
2
= 1 +
𝑎
4𝜋𝑒
𝑘
2
𝑎
2
𝑑3𝑝
𝜔 − kv
𝑎
𝜕𝑓
0
k
, (2.12)
𝜕p
1
𝜀⊥=
𝜀
𝛿𝛼𝛽−
𝛼𝛽
2
При выводе соотношения (2.12) учтено, что(𝜕𝑓
𝑘𝛼𝑘
𝑘
𝛽
2
= 1 +
𝑎
2𝜋𝑒
𝜔
2
𝑎
𝜔 − kv
𝑎
/𝜕p)𝑑3𝑝 = 0.
0
𝑑3𝑝
v −
k(kv)
2
𝑘
𝑎
𝜕𝑓
0
·
(2.13)
𝜕p
Смысл введённых обозначений 𝜀⊥и 𝜀‖становится понятным после анализа возмож-
ных колебаний в такой системе. Если в декартовой системе координат ось z направить
вдоль волнового вектора k, то уравнения Максвелла (2.2) приводятся к виду
⎛
𝜀⊥− 𝑛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
0 𝜀⊥− 𝑛20
0 0 𝜀
0 0
⎞
⎛
⎞
𝐸
⎜
⎜
⎜
⎝
𝐸
𝐸
𝑥
⎟
⎟
= 0,
⎟
𝑦
⎠
𝑧
⎟
⎟
⎟
⎠
‖
где 𝑛 = 𝑘𝑐/𝜔 называют показателем преломления. Отсюда видно, что в изотропной
плазме существует два типа колебаний, дисперсия которых описывается различными
функциями 𝜀⊥и 𝜀‖: 𝑛2= 𝜀⊥и 𝜀‖= 0. Первое из дисперсионных соотношений соответ-
ствует электромагнитным волнам, поляризованным поперёк направления их распро-
странения (E⊥k), а второе — потенциальным колебаниям, в которых электрическое
поле направлено вдоль волнового вектора k и в которых не возмущается магнитное
поле: B ∝ [k × E] = 0.
1
Свертка 𝜖
является псевдотензором и не может входить в разложение истинного тензора 𝜀𝛼𝛽.
𝛼𝛽𝛾𝑘𝛾
16 2.0. Волны в незамагниченной плазме
Глава 3
Правило обхода Ландау. Затухание
Ландау
3.1. Правило обхода Ландау
С математической точки зрения полученные в предыдущей лекции дисперсионные урав-
нения содержат расходящиеся интегралы. Действительно, интегрирование по импуль-
сам в 𝜀‖проходит через точку, в которой знаменатель подынтегрального выражения
обращается в нуль (𝜔 − kv = 0). Физически это условие выделяет те частицы плаз-
мы, скорость движения которых в направлении распространения волны совпадает с её
фазовой скоростью. Эти резонансные частицы испытывают на себе постоянное элек-
трическое поле волны и могут эффективно обмениваться с ней энергией. Расходимость
возникает за счёт того, что, пользуясь методом Фурье, мы пытаемся представить эти
нестационарные колебательные процессы в виде набора гармоник с вещественными ча-
стотами и постоянными во времени амплитудами. Между тем, нестационарность задачи
носит принципиальный характер ещё и потому, что в реальной физической ситуации
любой колебательный процесс всегда имеет своё начало. Для корректного математиче-
ского описания таких начальных задач существует метод Лапласа, однако физики чаще
используют эквивалентный подход, в котором по-прежнему применяют метод Фурье,
а возникающие в интегралах особенности обходят в комплексной плоскости по опреде-
лённому правилу, позволяющему учесть начальные условия.
Обоснуем необходимость введения подобного правила на конкретном примере. Пусть
в начальный момент времени на фоне однородного равновесного состояния плазмы
задано малое возмущение функции распределения электронов такое, что при 𝑡 > 0
17
18 3.0. Затухание Ландау
возбуждаются только продольные колебания (называемые ленгмюровскими), бегущие
вдоль оси z. Тогда E = −∇𝜙, B = 0, а плотность ионов можно считать постоянной 𝑛𝑖=
const, так как ленгмюровские колебания имеют высокую частоту и ионы практически
не успевают сдвинуться с места. В этом случае кинетическое уравнение для электронов
преобразуется к следующему виду:
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑒
+ 𝑣
𝑒
𝜕𝑓
𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜙
+ 𝑒
𝜕𝑧
𝑒
𝜕𝑓
·
= 0. (3.1)
𝜕𝑝
𝑧
Для определения потенциала 𝜙 нужно использовать уравнение Пуассона:
∆𝜙 = −4𝜋𝑒𝑛𝑖−𝑓𝑒𝑑3𝑝. (3.2)
Так как кинетическое уравнение не содержит 𝑝𝑥и 𝑝𝑦и производных по ним, можно
сразу проинтегрировать функцию распределения по этим компонентам импульса:
𝐹 =𝑓𝑒𝑑𝑝𝑥𝑑𝑝𝑦. (3.3)
Пользуясь этим определением, кинетическое уравнение можно переписать в следующем
виде:
𝜕𝐹
𝜕𝑡
+ 𝑣
𝑧
𝜕𝐹
𝜕𝑧
+ 𝑒
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝜕𝐹
·
𝜕𝑝
𝑑𝐹
=
𝑧
= 0. (3.4)
𝑑𝑡
Разделим функцию распределения 𝐹 на равновесную часть и малое возмущение
𝐹 = 𝐹0+ 𝛿𝐹. Тогда, учитывая, что в равновесии плазма квазинейтральна, получаем:
⎧
𝜕𝛿𝐹
⎪
⎨
𝜕𝑡
⎪
⎩
∆𝜙 = +4𝜋𝑒𝛿𝐹 𝑑𝑝𝑧.
+ 𝑣
𝑧
𝜕𝛿𝐹
𝜕𝑧
+ 𝑒
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝜕𝐹
0
·
𝜕𝑝
𝑧
= 0,
(3.5)
Нам нужно решить эту систему уравнений с начальным условием 𝛿𝐹(𝑡 = 0) = 𝐺.
Для этого используем операторный метод. Напомним определение прямого и обратного
преобразования Лапласа:
⎧
⎪
⎪
ℎ𝑠=
⎨
⎪
⎪
ℎ(𝑡) =
⎩
∞
𝑒
0
+𝑖∞+𝜎
−𝑖∞+𝜎
−𝑠𝑡
ℎ(𝑡)𝑑𝑡,
(3.6)
𝑒𝑠𝑡ℎ𝑠𝑑𝑠,
а также формулу для образа производной:
˙
ℎ(𝑡) → 𝑠ℎ𝑠− ℎ(𝑡 = 0). (3.7)
В силу однородности задачи, можно, не ограничивая общности, рассмотреть одну
пространственную гармонику возмущения 𝐺, 𝛿𝐹, 𝜙 ∼ 𝑒
𝑖𝑘𝑧
, что позволяет избавиться в
19
S
0
S
k
Re(S)
Im(S)
S
0
S
k
Re(S)
Im(S)
а
б
Рис. 3.1. Комплексная плоскость 𝑆
уравнениях от производных по координате 𝑧. Тогда после применения преобразования
Лапласа система уравнений принимает следующий вид:
⎧
⎪
⎨
𝑠𝛿𝐹𝑠− 𝐺 + 𝑖𝑘𝑣𝑧𝛿𝐹𝑠+ 𝑒𝑖𝑘𝜙𝑠·
⎪
⎩
−𝑘2𝜙𝑠= +4𝜋𝑒𝛿𝐹𝑠𝑑𝑝𝑧.
𝜕𝐹
𝜕𝑝
0
𝑧
= 0,
(3.8)
Исключив из этой системы уравнений 𝛿𝐹𝑠, получаем выражение для образа потен-
циала:
𝜙𝑠= −
4𝜋𝑒
2
𝑘
𝐺
𝑠 + 𝑖𝑘𝑣
𝑑𝑝
𝑧
𝑧
1 −
4𝜋𝑒2𝑖
𝑘
𝜕𝐹
0
𝜕𝑝
𝑧
𝑠 + 𝑖𝑘𝑣
𝑑𝑝
𝑧
𝑧
(3.9)
Формально выражение 3.9 решает поставленную задачу об эволюции возмущения.
Остается только выполнить обратное преобразование Лапласа:
+𝑖∞+𝜎
𝜙(𝑡) =
𝑒𝑠𝑡𝜙𝑠𝑑𝑠 (3.10)
−𝑖∞+𝜎
Формулы 3.9, 3.10 позволяют для любого начального возмущения 𝐺 вычислить воз-
мущение потенциала в любой момент времени 𝑡 > 0. Интересно, что для произвольного
начального условия 𝐺 у этих решений можно обнаружить общие асимптотические свой-
ства при 𝑡 → ∞. Если функции 𝐺 и 𝐹0достаточно гладкие, можно показать, что осо-
бенности 𝜙𝑠могут быть связаны только с нулями знаменателя в формуле 3.9. Согласно
свойствам преобразования Лапласа особые точки 3.9 лежат на комплексной плоскости
𝑠 левее положительной константы 𝜎, т.е. левее контура интегрирования в формуле 3.10,
как показано на левой части рис. 3.1. Введем обозначение 𝑠𝑘для полюсов 𝜙𝑠, пронумеро-
вав их в порядке уменьшения реальной части (т.е. 𝑠0расположен правее всех полюсов
на комплексной плоскости). Сдвинем контур интегрирования налево, обходя все осо-
бые точки 𝑠𝑘, как показано на правой части рис. 3.1. При этом интеграл по сдивнутой
20 3.0. Затухание Ландау
ω/k
Im(vz)
Re(vz)
Re(vz)
Im(vz)
ω/k
а
б
Рис. 3.2. Комплексная плоскость 𝑣𝑧и положение резонансных частиц 𝜔/𝑘
прямой можно сделать сколь угодно малым благодаря экспоненциальному множителю
𝑒𝑠𝑡. Таким образом, можно установить асимптотическое поведение потенциала 𝜙 при
больших значениях 𝑡:
+𝑖∞+𝜎
𝜙(𝑡) =
𝑒𝑠𝑡𝜙𝑠𝑑𝑠 = 2𝜋𝑖
−𝑖∞+𝜎
Res𝑒𝑠𝑡𝜙
𝑘
|
∼ 2𝜋𝑖 Res𝑒𝑠𝑡𝜙
𝑠
𝑠
𝑘
|
. (3.11)
𝑠
𝑠
0
Легко заметить, что при замене 𝑠 → −𝑖𝜔 знаменатель в формуле 3.9 формально
совпадает с 𝜀‖2.12, введенным в предыдущей главе:
1 −
4𝜋𝑒2𝑖
𝑘
𝜕𝐹
0
𝜕𝑝
𝑧
𝑠 + 𝑖𝑘𝑣
𝑑𝑝𝑧= 1 +
𝑧
4𝜋𝑒
𝑘
2
𝜕𝐹
0
𝜕𝑝
𝑧
𝜔 − 𝑘𝑣
𝑑𝑝𝑧= 𝜀‖(𝜔). (3.12)
𝑧
Таким образом, ассимптотическое поведение возмущения потенциала определяется
комплексной частотой 𝜔, которая определяется из уравнения, чисто формально совпа-
дающего с дисперсионным уравнением, полученным в предыдущей главе:
𝜀‖(𝜔) = 0. (3.13)
Теперь мы можем установить, в каком смысле следует вычислять интегралы в дис-
персионной функции 3.12. Теорема Лапласа гарантирует нам аналитичность образа при
достаточно большой реальной части 𝑠 (мнимой части 𝜔). В этом случае особенность на
оси в подынтегральном выражении 3.12 отсутствует (см. левую часть рис. 3.2). Для
того чтобы решать дисперсионное уравнение 3.13 при любом 𝜔, нам нужно построить
аналитическое продолжнение 𝜀‖(𝜔) на всю комплексную плоскость. Для этого нужно
при любом положении полюса в подынтегральном выражении смещать контур инте-
грирования так, чтобы он проходил всегда с одной и той же стороны от особенности
(см. правую часть рис. 3.2). Этот принцип получил название правила обхода Ландау.