Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
51
нормальном (𝑛 > 0) и аномальном (𝑛 > 0) эффектах Доплера. В первом случае части-
ца может двигаться медленнее волны, причём процесс излучения сопровождается поте-
рей поперечной энергии частицы. Во втором же случае частица обгоняет волну вдоль
поля, а при излучении увеличивает свою поперечную энергию. Условие циклотронно-
го резонанса можно ещё интерпретировать и как условие совпадения частоты волны
𝜔′= 𝛾(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖) в системе отсчёта, движущейся с продольной скоростью частицы, с
гармониками частоты вращения частиц в магнитном поле 𝑛Ω. Действительно, в ука-
занной системе отсчёта электрон можно рассматривать как неподвижный осциллятор,
который может поглощать или излучать энергию на частотах, кратных собственной
частоте.
7.3. Продольные волны в замагниченной плазме
Исследуем возможные типы плазменных колебаний, бегущих вдоль магнитного поля
(𝑘⊥= 0). В этом случае дисперсионные соотношения значительно упрощаются и позво-
ляют изучить влияние эффектов, связанных с конечной температурой плазмы. Так как
B0‖k, в этом случае тензорная структура диэлектрической проницаемости существенно
упрощается:
𝜀𝛼𝛽= 𝑎 · 𝛿𝛼𝛽+ 𝑏 · 𝐵0𝛼𝐵0𝛽+ 𝑐 · 𝑒
Обычно три независимые компоненты выбираются таким образом, чтобы координа-
ты тензора диэлектрической проницаемости приобретали следующий вид:
⎛
𝜀 𝑖𝑔 0
⎜
𝜀𝛼𝛽=
Для получения тензора диэлектрической приницаемости плазмы необходимо сна-
чала определить линейную связь между Фурье-образами тока и электрического поля.
⎜
⎜
−𝑖𝑔 𝜀 0
⎝
0 0 𝜂
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
𝛼𝛽𝛾
.
Для вычисления 𝜀 и 𝑔 можно рассмотреть 𝑗𝑥, а для вычисления 𝜂 – 𝑗𝑧. В случае чи-
сто продольного распространения волн вычисления оказываются тривиальными. Прои-
люстрируем их на примере вычисления компоненты 𝜀. Компонента тока 𝑗𝑥выражается
следующим интегралом:
𝑗𝑥= −𝑒𝑣𝑥𝛿𝑓 𝑑3𝑝 = −𝑒𝑣⊥cos 𝜙𝛿𝑓𝑑3𝑝. (7.22)
52 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
Подстановка 𝛿𝑓 даёт следующий результат:
𝑗𝑥= −
𝑒
Ω
2
𝑝⊥cos 𝜙
𝑚
𝐶
𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑝
0
𝐸𝑥+ 𝐶
⊥
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑝
0
𝐸𝑦+ 𝐶
⊥
𝜕𝑓
𝑧
𝜕𝑝
0
𝐸
𝑑3𝑝. (7.23)
𝑧
‖
Соответственно, компонента проводимости 𝜎𝑥𝑥имеет вид:
𝜎𝑥𝑥= −
2
𝑒
𝑚Ω
𝑝⊥cos 𝜙 · 𝐶
𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑝
0
𝑑3𝑝 = −
⊥
2
𝑒
𝑚Ω
𝑝⊥·
𝜕𝑓
𝜕𝑝
2𝜋
0
⊥
cos 𝜙𝐶𝑥𝑑𝜙𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑝‖. (7.24)
0
Вычисление интегралов по 𝜙 составлет основную техническую трудность в полу-
чении компонентов тензора диэлектрической проницаемости горячей замагниченной
плазмы. Тем не менее, в случае продольного распространения 𝑧 = 𝑘⊥𝑣⊥/Ω = 0, и инте-
гралы легко выражаются через элементарные функции:
2𝜋
cos 𝜙𝐶𝑥𝑑𝜙 =
0
⎛
⎝
−∞
0
cos(𝜙 + 𝑠)𝑒
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
2𝜋
cos 𝜙
0
𝑑𝑠
⎞
⎠
𝑑𝜙 =
𝑖𝜋𝑎
. (7.25)
𝑎2− 1
Таким образом, получаем:
2
𝜀 = 𝜀𝑥𝑥= 1 +
4𝜋𝑖
𝜎𝑥𝑥= 1 +
𝜔
𝜔
𝑝
𝜔
𝑑3𝑝
𝑝
𝜕˜𝑓
⊥
2
𝜕𝑝
(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖)
0
(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖)2− Ω
⊥
, (7.26)
2
где введено обозначение 𝑓0= 𝑛˜𝑓0. Аналогично вычисляем компоненты 𝑔 и 𝜂:
𝑔 = −
2
𝜔
𝑝𝑒
𝜔
𝑑3𝑝
𝑝
𝜕˜𝑓
⊥
0
2
𝜕𝑝
(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖)2− Ω
⊥
Ω
, 𝜂 = 1 +
2
2
𝜔
𝑝𝑒
𝑑3𝑝
𝜔
𝑝
‖
(𝜔 − 𝑘‖𝑣‖)
𝜕𝑓
0
. (7.27)
𝜕𝑝
‖
Уравнения Максвелла в случае продольного распространения сводятся к следующей
системе:
⎛
2
𝜀 − 𝑛
⎜
⎜
⎜
⎝
‖
−𝑖𝑔 𝜀 − 𝑛
0 0 𝜂
𝑖𝑔 0
2
‖
⎞
⎛
⎞
𝐸
⎜
⎜
⎜
⎝
𝑥
⎟
⎟
= 0, (7.28)
⎟
𝐸
𝑦
⎠
𝐸
𝑧
⎟
⎟
⎟
0
⎠
где 𝑛‖= 𝑘‖𝑐/𝜔 — показатель преломления. Видно, что все колебания теперь можно
опять разделить на потенциальные с E‖k и электромагнитные с E⊥k.
Дисперсионное уравнение потенциальных колебаний
𝜂 = 0 (7.29)
не содержит магнитного поля и совпадает с уравнением для потенциальных колебаний
в незамагниченной плазме. Этот результат очевиден, поскольку на колебания частиц
вдоль силовых линий магнитное поле не может оказать никакого влияния. Таким об-
разом, полученное уравнение описывает затухающие ленгмюровские и ионно-звуковые
волны, которые подробно исследовались в предыдущих лекциях.
53
Дисперсия же электромагнитных волн в замагниченной плазме заметно модифици-
руется. Дисперсионные уравнения 𝑛
2
= 𝜀𝑥𝑥±𝑖𝜀𝑥𝑦описывают колебания с левой и правой
‖
круговой поляризацией 𝐸𝑦= ±𝑖𝐸𝑥, которые теперь подвержены затуханию Ландау. В
наиболее общем случае релятивистского анизотропного распределения эти уравнения
приобретают вид
2
2
𝑘
𝑐
‖
= 1 +
2
𝜔
2
𝜔
𝑝𝑒
𝑑3𝑝
𝜔
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖∓ Ω
˜
𝑓
0
. (7.30)
Если в интеграл по импульсам подставить максвелловское распределение
2𝑣
2
𝑣
, (7.31)
2
𝑇 𝑒
˜
𝑓0=
(2𝜋)
1
3/2𝑚3
𝑒
3
𝑣
𝑇 𝑒
exp−
то последнее уравнение будет содержать те же дисперсионные функции 𝑍, которые
использовались ранее для незамагниченной плазмы,
2
2
𝑐
𝑘
‖
= 1 −
2
𝜔
2
𝜔
𝑝𝑒
𝜔(𝜔 ∓ Ω𝑒)
𝑍(𝜉𝑒) −
2
𝜔
𝑝𝑖
𝜔(𝜔 ± Ω𝑖)
𝑍(𝜉𝑖). (7.32)
Здесь мы добавили вклад ионов и ввели обозначения
𝜉𝑒=
𝜔 ∓ Ω
√
2𝑘‖𝑣
Ω𝑎=
𝑒
, 𝜉𝑖=
𝑇 𝑒
𝑒𝐵
0
, 𝑣
𝑚𝑎𝑐
𝜔 ± Ω
√
2
= 𝑇𝑎/𝑚𝑎. (7.34)
𝑇 𝑎
2𝑘‖𝑣
𝑖
, (7.33)
𝑇 𝑖
7.3.1. Альфвеновская волна
Начнём с анализа колебаний предельно низких частот 𝜔 ≪ Ω𝑖. В этой спектральной
области аргументы дисперсионных функций могут быть выражены через ларморовские
радиусы частиц 𝜌𝑒и 𝜌
Если эти радиусы малы по сравнению с длиной волны, можно использовать гидроди-
намическую асимпотитику функции 𝑍. Для плазмы с сопоставимыми температурами
электронов и ионов (𝑇𝑖≫ 𝑇
поэтому и затухание низкочастотных колебаний в этом режиме должно быть обуслов-
лено ионами. Дисперсионное уравнение тогда приобретает вид
2
𝑘
‖
𝜔
Полностью пренебрегая тепловыми эффектами, получаем
2
𝑐
2
𝑖
𝜉𝑒≈
= 1 −
2
2
𝑘
𝑐
‖
2
𝜔
√
∓Ω
2𝑘‖𝑣
∼
1
𝑘‖𝜌
, 𝜉𝑖≈
𝑒
𝑒
𝑇 𝑒
√
±Ω
2𝑘‖𝑣
𝑖
𝑇 𝑖
∼
1
. (7.35)
𝑘‖𝜌
𝑖
𝑚𝑒/𝑚𝑖) ларморовский радиус ионов оказывается больше,
𝑒
2
𝜔
𝑝𝑒
𝜔(𝜔 ∓ Ω𝑒)
𝜔
= 1 −
𝜔Ω
2
𝑝𝑒
−
∓1 −
𝑒
2
𝜔
𝑝𝑖
𝜔(𝜔 ± Ω𝑖)
𝜔
Ω
𝑒
−
1 +
𝜔
𝜔Ω
1
− 𝑖√𝜋𝜉𝑖𝑒
2
2𝜉
𝑖
2
𝑝𝑖
±1 −
𝑖
Ω
𝜔
𝑖
2
−𝜉
𝑖
. (7.36)
. (7.37)
54 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
Учитывая, что 𝜔
2
/Ω𝑒= 𝜔
𝑝𝑒
2
/Ω𝑖, находим закон дисперсии низкочастотных колебаний
𝑝𝑖
2
𝑘‖𝑐
𝜔2=
1 + 𝜇 + 𝑐
𝐴
, (7.38)
2
2
/𝑐
𝐴
где 𝑐𝐴= 𝑐Ω𝑖/𝜔𝑝𝑖= 𝐵0/√4𝜋𝑛𝑚𝑖— альфвеновская скорость, а 𝜇 = 𝑚𝑒/𝑚𝑖. Отсюда вид-
но, что при достаточно низких частотах и право- и левополяризованная волна имеют
одинаковую дисперсию. Различие возникает лишь в следующем порядке разложения
по малости 𝜔/Ω
𝑖
𝜔2= 𝜔
2
=
𝐴
𝑘‖𝑐
1 + 𝜇 + 𝑐
2
𝐴
𝑘‖𝑐
𝐴
2
/𝑐2)
𝐴
/𝑐
1 ±
2
Ω𝑖(1 + 𝜇 + 𝑐
2
𝐴
. (7.39)
3/2
Решение с отрицательной поправкой соответствует альфвеновской волне. Направление
вращения вектора электрического поля в этой волне совпадает с направлением враще-
ния ионов, поэтому при приближении к частоте Ω𝑖возникает резонанс с ионами, при
котором происходит сильное увеличение волнового числа (𝑛‖→ ∞) и быстрое затуха-
ние волны. Участок ветви вблизи 𝜔 ≈ Ω𝑖называют ионно-циклотронной волной, при
этом её корректное рассмотрение с учётом сильного затухания требует решения точ-
ного уравнения (7.32). Решение с положительной поправкой описывает волну, которая
при косом распространении соответствует ветви быстрого магнитного звука (БМЗ), а
при строго продольном по сути представляет собой ту же альфвеновскую волну, но с
другим направлением вращения вектора электрического поля. Поскольку этот вектор
вращается вместе с электронами, при продолжении этой ветви в более высокие частоты
возникает резонанс вблизи электронной циклотронной частоты 𝜔 ≈ Ω𝑒.
Вычислим теперь затухание альфвеновской волны на ионах. С этой целью оставим
в уравнении (7.36) мнимую часть функции 𝑍, которая приводит к появлению малой
мнимой поправки к частоте 𝜔𝐴:
2
2
𝑘
𝑐
‖
1 + 2𝑖
2
𝜔
𝐴
Γ
𝜔
𝐴
=
2
𝑐
2
𝑐
𝐴
1 + 𝜇 +
2
𝑐
𝐴
2
𝑐
+ 𝑖
𝜋
2
𝜔𝐴𝑘‖𝑣
2
𝜔
𝑝𝑖
𝑇 𝑖
2
−𝜉
𝑖
𝑒
. (7.40)
Таким образом, альфвеновская волна испытывает весьма малое затухание с декремен-
том
Γ = 𝜔
𝐴
𝜋/8
1 + 𝜇 + 𝑐
𝑣
𝑇 𝑖/𝑐𝐴
2
2
/𝑐
𝐴
𝑘
2
𝜌
‖
exp−
2
𝑖
2𝑘
1
, (7.41)
2
2
𝜌
𝑖
‖
которое и вовсе пропадает при условии 𝜔 < Ω𝑖(𝑐𝐴/𝑐), когда для поглощения на цикло-
тронном резонансе требуются частицы со сверхсветовыми скоростями.
Чтобы понять, за счёт чего в альфвеновских колебаниях возникает возвращающая
сила, рассмотрим колебательный процесс, исходя из гидродинамических представле-
ний. Сместим плазму вместе с вмороженным в неё магнитным полем, не создавая в
55
L
d
R
p-p
M
p-p
M
p+p
M
B
α
ней возмущений плотности (рис. 7.1) Поперёк силовых линий магнитного поля на вы-
Рис. 7.1. Возвращающая сила в альфвеновских колебаниях
деленный объём плазмы действует сила (𝑝 + 𝑝𝑀)(𝛼(𝑅 + 𝑑) −𝛼𝑅)𝐿, где 𝑝𝑀= 𝐵
2
/(8𝜋) —
0
давление магнитного поля, а 𝑅 — радиус кривизны силовой линии. Вдоль же силовых
линий магнитное поле пытается растянуть плазму, поэтому появляется дополнитель-
ная сила −(𝑝 − 𝑝𝑀)𝛼𝑑𝐿, которая действует на торцы выделенного объёма. Суммарная
возвращающая сила определяется только магнитным давлением 𝐹 = 2𝑝𝑀𝛼𝑑𝐿 и урав-
новешивается инерцией плазмы 𝑛𝑚𝑖𝛼𝑅𝐿𝑑¨𝜁, где 𝜁(𝑧) представляет собой смещение си-
ловой линии из положения равновесия. Выражая радиус кривизны линии через вторую
производную смещения, получаем уравнение колебаний
𝜕2𝜁
𝜕𝑡
=
2
2𝑝
𝑛𝑚
𝑀
𝜕2𝜁
2
𝜕𝑧
𝑖
= 𝑐
𝜕2𝜁
2
. (7.42)
𝐴
2
𝜕𝑧
Таким образом, альфвеновские колебания напоминают поперечные колебания упругих
струн, в качестве которых в нашем случае выступают силовые линии магнитного поля.
7.3.2. Вистлеры
Простые аналитические выражения для закона дисперсии могут быть получены и для
того участка резонансной с электронами ветви, который соответствует более высоким
частотам Ω𝑖≪ 𝜔 ≪ Ω𝑒. Первое условие позволяет пренебречь вкладом ионов. Эффекты
же, связанные с конечной температурой электронов, по-прежнему малы, если 𝑘‖𝜌𝑒≪ 1.
В этом случае дисперсионное уравнение приобретает вид
2
2
𝑘
𝑐
𝜔
‖
2
= 1 +
2
𝜔
𝑝𝑒
. (7.43)
𝜔Ω
𝑒
56 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
Если частота волны удовлетворяет ещё и условию 𝜔 ≪ 𝜔
2
/Ω𝑒, то закон дисперсии
𝑝𝑒
определяется простым выражением
2
2
𝑘
𝑐
𝜔 = Ω
‖
. (7.44)
𝑒
2
𝜔
𝑝𝑒
Колебания на данном участке ветви называют вистлерами, или геликонами. Видно,
что благодаря квадратичной зависимости от волнового числа групповая скорость ко-
лебаний оказывается тем больше, чем выше их частота. Благодаря этому факту при
разрядах молний, возбуждающих широкий спектр колебаний ионосферной плазмы, на-
блюдатель фиксирует сначала приход высокочастотного сигнала, а потом понижение
частоты. Такой сигнал напоминает свист, поэтому в ионосферной плазме данные коле-
бания называют свистящими атмосфериками.
7.3.3. Высокочастотные колебания
Исследуем колебания при высоких частотах 𝜔 ∼ Ω𝑒, 𝜔𝑝𝑒. В приближении холодной плаз-
мы показатель преломления волн с правой и левой круговой поляризацией даётся вы-
ражением
2
𝜔
2
𝑛
‖
= 1 −
𝑝𝑒
𝜔(𝜔 ∓ Ω𝑒)
. (7.45)
Видно, что на электронной циклотронной частоте правополяризованная ветвь, пред-
ставляющая собой продолжение вистлеров, попадает в резонанс с электронами. Оче-
видно, что окрестность этого резонанса может быть корректно описана только с учётом
кинетических эффектов. Видно также, что показатель преломления обращается в нуль
при частотах
Ω
𝜔
= ±
1,2
𝑒
2
+𝜔
𝑝𝑒
2
2
Ω
𝑒
+
, (7.46)
4
называемых частотами отсечки. Это означает, что другие ветви колебаний холодной
плазмы существуют только внутри спектральных диапазонов 𝜔 > 𝜔1и 𝜔 > 𝜔2. Таким
образом, в достаточно слабом магнитном поле Ω𝑒≪ 𝜔𝑝𝑒имеется область непрозрачно-
сти Ω𝑒< 𝜔 < 𝜔2≈ 𝜔𝑝𝑒−Ω𝑒/2, в которой не существует собственных колебаний плазмы.
Колебания, отсекаемые частотами 𝜔
, представляют собой обычные электромагнит-
1,2
ные волны, которые в пределе больших частот 𝜔 ≫ 𝜔𝑝𝑒выходят на линейный закон
дисперсии 𝜔 = 𝑘‖𝑐, определяющий электромагнитную волну в вакууме.
Чтобы понять, как меняется дисперсия упомянутых высокочастотных ветвей в горя-
чей плазме, решим дисперсионное уравнение (7.32) для следующего набора параметров:
57
0 1 2 3 4
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
0 , 4
0 1 2 3 4
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0
0.5
1
1.5
0
1 2 3 4
1 2 3 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
левополяризованная
правополяризованная
вистлеры
электронно-
циклотронная
Рис. 7.2. Вещественная частота и декремент затухания колебаний в горячей плазме
(синим показаны решения гидродинамического уравнения (7.45), а красным — решения
кинетического уравнения (7.32))
𝑇𝑒= 500 эВ, Ω𝑒/𝜔𝑝𝑒= 0,7, 𝑚𝑖/𝑚𝑒= 1836. На рис. 7.2 видно, что наиболее отчётливо
различие между точным кинетическим решением и решением, полученным в гидроди-
намическом приближении, проявляется вблизи электронного циклотронного резонанса
𝜔 ≈ Ω𝑒. В этой области происходит быстрое нарастание декремента затухания волны
с ростом волнового числа, при этом вещественная частота волны оказывается заметно
ниже Ω𝑒. Кинетическая теория, однако, позволяет не только вычислять малые поправки
к известным из гидродинамики волнам, но и находить новые ветви колебаний, которые
не имеют гидродинамических аналогов. В частности, при выбранных параметрах суще-
ствует целое семейство новых решений, имеющих при 𝑘‖→ 0 частоту 𝜔 ≈ Ω𝑒. Одно из
таких решений представлено на рис. 7.2 пунктиром. Видно, что при малых волновых
числах затухание этой ветви тоже может быть слабым.
58 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
7.4. Циклотронная неустойчивость анизотропной
плазмы
При рассмотрении волн в замагниченной плазме мы до сих пор ограничивались случа-
ем неограниченной плазмы с максвелловской функцией распределения по скоростям.
Поскольку этот случай соответствует полному термодинамическому равновесию, все
колебания оказывались затухающими. Реальная плазма всегда ограничена, а функции
распределения частиц в ней могут существенно отличаться от максвелловского рас-
пределения. Эти факторы могут приводить к самопроизвольной раскачке колебаний,
приводящих либо к аномальной диффузии пространственно-неоднородной плазмы, ли-
бо к изотропизации функции распределения. В данном разделе мы рассмотрим простой
пример неустойчивости колебаний, распространяющихся вдоль однородного магнитно-
го поля в плазме с неизотропной функцией распределения.
7.4.1. Дисперсионное соотношение
Рассматриваем волны с 𝑘⊥= 0, распространяющиеся в плазме с функциями распреде-
ления частиц сорта 𝑎, равными 𝑓𝑎(p) = 𝑓𝑎(𝑝⊥, 𝑝‖). Уравнения (7.8) в этом случае можно
записать в виде
−𝑖(𝜔 − 𝑘‖𝑣𝑧)𝛿𝑓𝑎+ Ω
𝑎
𝜕𝛿𝑓
𝜕𝜙
𝑎
= −𝑒
𝑎
𝐸𝑧+
𝑘‖𝑣
⊥
(𝐸𝑥cos 𝜙 + 𝐸𝑦sin 𝜙)
𝜔
−𝑒𝑎(𝐸𝑥cos 𝜙 + 𝐸𝑦sin 𝜙)1 −
Ищем периодическое по 𝜙 решение в виде 𝛿𝑓𝑎= 𝐶0+ 𝐶+𝑒𝑖𝜙+ 𝐶−𝑒
𝛿𝑓𝑎= −
𝑖𝑒𝑎𝐸
𝑧
𝜔 − 𝑘‖𝑣
𝜕𝑓
𝑎
− 𝑖𝑒𝑎(𝐸𝑥− 𝑖𝐸𝑦)
𝜕𝑝
𝑧
𝑧
−𝑖𝑒𝑎(𝐸𝑥+ 𝑖𝐸𝑦)
𝑘‖𝑣⊥𝜕
𝑘‖𝑣⊥𝜕
𝑓𝑎+ (𝜔 −𝑘‖𝑣𝑧)𝜕
𝑝
𝑧
2𝜔(𝜔 − 𝑘‖𝑣𝑧− Ω𝑎)
𝑓𝑎+ (𝜔 −𝑘‖𝑣𝑧)𝜕
𝑝
𝑧
2𝜔(𝜔 − 𝑘‖𝑣𝑧+ Ω𝑎)
𝑘‖𝑣
−𝑖𝜙
𝑝
⊥
𝑝
𝜔
𝑓
⊥
𝜕𝑓
𝑎
𝜕𝑝
𝑧
𝜕𝑓
𝑧
𝜕𝑝
, тогда
𝑎
𝑒𝑖𝜙−
𝑓
𝑎
−𝑖𝜙
𝑒
−
𝑎
. (7.47)
⊥
. (7.48)
В пределе строго продольного распространения волны остаются только резонансы с
нулевой и первыми гармониками циклотронной частоты.
Далее считаем 𝐸𝑧= 0, исключая таким образом раскачку ленгмюровских и ионно-
звуковых волн, рассмотренных ранее. Введем циркулярные компоненты плотности тока
𝑗±= 𝑗𝑥± 𝑖𝑗𝑦=
𝑣⊥𝑒
±𝑖𝜙
𝛿𝑓𝑎𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝𝑧𝑑𝜙,
𝑒
𝑎
𝑎
они равны
59
𝑗±= −𝑖𝐸
±
𝑎
𝜋𝑒
𝑣
⊥
𝑘‖𝑣⊥𝜕
2
𝑎
𝑓𝑎+ (𝜔 −𝑘‖𝑣𝑧)𝜕
𝑝
𝑧
𝜔(𝜔 − 𝑘‖𝑣𝑧± Ω𝑎)
𝑓
𝑝
𝑎
⊥
𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝𝑧. (7.49)
После подстановки возмущения плотности тока в уравнения Максвелла окончатель-
но найдем дисперсионное соотношение для циркулярных компонент электрического по-
ля 𝐸𝑥± 𝑖𝐸𝑦:
2
𝜔
2
𝑘
=
‖
𝜀±, 𝜀±= 1 +
2
𝑐
𝑎
4𝜋2𝑒
2
𝑎
2
𝜔
𝑣
⊥
𝑘‖𝑣⊥𝜕
𝑓𝑎+ (𝜔 −𝑘‖𝑣𝑧)𝜕
𝑝
𝑧
𝜔 − 𝑘‖𝑣𝑧± Ω
𝑓
𝑝
𝑎
⊥
𝑎
𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝𝑧. (7.50)
Таким образом, волны с круговой поляризацией распространяются вдоль магнитного
поля независимо друг от друга с разной фазовой скоростью; в курсе «Физика сплошных
сред» показывается, что это вызывает поворот плоскости поляризации (эффект Фара-
дея). В числителе стоит производная невозмущенной функции распределения вдоль
поверхности 𝑣
2
+ (𝑣𝑧− 𝜔/𝑘‖)2= const (данная величина является энергией частицы в
⊥
системе отсчета волны, при движении частицы она сохраняется). Знаменатель обра-
щается в ноль, когда частота вращения электрического поля волны, сдвинутая из-за
эффекта Доплера, совпадает с частотой циклотронного вращения частицы.
Дисперсионное соотношение (7.50) позволяет описывать как неустойчивости, связан-
ные с неравновесностью функции распределения электронов, так и с неравновесностью
распределения ионов (альфвеновскую ионно-циклотронную неустойчивость (АИЦН) и
шланговую неустойчивость). Ниже мы рассмотрим условия возбуждения АИЦН на про-
стом примере.
7.4.2. АИЦН в бимаксвелловской плазме
Рассматриваем колебания с частотой, близкой к циклотронной частоте ионов, 𝜔 ∼ Ω𝑖≪
Ω𝑒. Функцию распределения электронов считаем максвелловской, причем тепловая ско-
рость электронов существенно превышает фазовую скорость волны, при этом вклад
электронов в проницаемость 𝜀±равен
4𝜋2𝑒
𝜔
2
2
𝜔𝑣⊥𝜕
𝑓
𝑝
𝑒
⊥
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖± Ω
𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝‖≈ ±
4𝜋2𝑒
𝑠
𝜔Ω
2
𝑣⊥𝜕
𝑓𝑒𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝‖= ∓
𝑝
𝑒
⊥
𝜔
𝜔Ω
𝑝𝑒
2
= ±
𝑒
Дисперсионное соотношение для компоненты 𝐸𝑥− 𝑖𝐸𝑦можно записать в виде
2
𝜔
= −
𝑝𝑖
2
𝑐
2
𝑘
‖
Ω
4𝜋2𝑒
𝜔
+
𝑖
2
2
𝑐
𝑣
⊥
𝑘‖𝑣⊥𝜕
𝑓𝑖+ (𝜔 −𝑘‖𝑣‖)𝜕
𝑝
‖
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖− Ω
𝑓
𝑖
𝑝
⊥
𝑖
𝑝⊥𝑑𝑝⊥𝑑𝑝‖. (7.51)
𝜔
𝜔Ω
2
𝑝𝑖
.
𝑖
60 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
Выбираем функцию распределения ионов в виде максвелловского распределения с
различными температурами вдоль и поперек магнитного поля:
√
2
2
𝑤
)
𝑖
⊥
𝐴/(𝜋
3/2𝑚3
3
𝑤
),
𝑖
⊥
𝑓𝑖= 𝑛0𝑒
−(𝑝
2
⊥
+𝐴𝑝
2
)/(𝑚
‖
где параметр 𝐴 > 0 называется анизотропией распределения. Отметим, что численно
параметр 𝐴 совпадает с отношением поперечного и продольного давления плазмы, 𝐴 =
2
((𝑣
/2)𝑓𝑖𝑑3𝑝)/(𝑣
⊥
2
𝑓𝑖𝑑3𝑝). Бимаксвелловское распределение может формироваться при
‖
нормальной атомарной инжекции в открытую ловушку либо при сжатии набегающего
на магнитосферу потока солнечного ветра.
После подстановки бимаксвелловского распределения в дисперсионное соотношение
(7.51) получим
2
2
𝑘
𝑐
‖
+
2
𝜔
Ω
𝑝𝑖
= (𝐴 − 1)
√
𝜔
= −
1/2
√
√
𝜋𝑤
𝜋
𝐴
⊥
𝑖
𝐴
𝑤
∞
−∞
3
⊥
𝑒
−𝐴𝑣
∞
3
2
𝑣
𝑤
0
2
⊥
−𝑣
/𝑤
⊥
𝑒
2
⊥
√
2
2
/𝑤
⊥
‖
𝑑𝑣‖+
√
𝐴
𝜋𝑤
∞
2
⊥
𝑑𝑣
⊥
𝐴Ω
𝑖
⊥
=
𝜔 − Ω
𝐴𝑘‖𝑣‖+ 𝜔 −𝑘‖𝑣
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖− Ω
−∞
1
1 −
𝐴
𝐴Ω
𝑖
𝑍 (𝜉) + 𝐴 − 1, 𝜉 =√𝐴
𝑖
−
Ω
𝜔
𝑖
−∞
𝑖
∞
𝜔 − 𝑘‖𝑣‖− Ω
‖
𝑒
−𝐴𝑣
𝑒
−𝐴𝑣
2
‖
/𝑤
2
/𝑤
‖
2
⊥
𝑑𝑣‖=
2
⊥
𝑑𝑣
𝜔 − Ω
𝑘‖𝑤
‖
=
𝑖
𝑖
.
⊥
Окончательно запишем дисперсионное соотношение в виде
2
2
𝑘
𝑐
‖
=
2
𝜔
𝑝𝑖
𝜔2/Ω
2
− (1 −1/𝐴 − 𝜔/Ω𝑖)𝐴(𝑍(𝜉) + 1)
𝑖
1 −𝜔/Ω
𝑖
, 𝜉 =√𝐴
𝜔 − Ω
𝑘‖𝑤
𝑖
. (7.52)
⊥
Полезно рассмотреть дисперсионное соотношение в пределе холодных ионов, 𝜉 ≫ 1.
Поскольку в этом пределе 𝑍(𝜉) ≈ 1 + 1/𝜉2, запишем (7.52) в виде
2
Ω
𝑖
2
2
𝑘
𝑐
‖
2
𝜔
𝑝𝑖
= 𝑘
2
2
𝑐
=
‖
𝐴
2
𝜔
1 −𝜔/Ω
,
𝑖
здесь 𝑐𝐴– альфвеновская скорость. Таким образом, в гидродинамическом пределе низ-
кочастотным (𝜔 ≪ Ω𝑖) колебаниям, описываемым соотношением (7.50), соответствуют
альфвеновские волны.
7.4.3. Граница устойчивости и инкремент неустойчивости
Исследуем устойчивость волн, описываемых дисперсионным соотношением (7.52). На
границе устойчивости и частота, и волновой вектор вещественны, но функция 𝑍(𝜉) со-
держит ненулевую мнимую часть. Мнимые слагаемые в дисперсионном соотношении