Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
21
Re(vz)
Im(vz)
ω/k
Рис. 3.3. Комплексная плоскость 𝑣𝑧и положение резонансных частиц 𝜔/𝑘
Изучая поведение плазмы, нам не обязательно каждый раз решать начальную задачу
операторным методом. Достаточно использовать стандартный для физики сплошных
сред подход, основанный на преобразовании Фурье, но применять правило обхода Лан-
дау для интегрирования расходящихся выражений в дисперсионном соотношении.
3.2. Затухание Ландау
Для вычисления декремента затухания продольных волн на электронах плазмы приве-
дем дисперсионное уравнение к следующему виду:
∞
2
𝜀‖= 1 −
2
𝑘
Будем считать, что затухание волны мало, т.е. 𝜔 лежит почти на вещественной
оси. По правилу Ландау особую точку 𝜔/𝑘 на комплексной плоскости 𝑣𝑧нужно обойти
снизу (рис. 3.3). Интеграл в дисперсионном соотношении можно представить тогда в
виде суммы интеграла в смысле главного значения и полувычета в особой точке:
∞
2
4𝜋𝑒
′
‖
+ 𝑖𝜀
′′
= 1 −
‖
𝜀
4𝜋𝑒
𝑘
2
𝜕𝐹
𝜕𝑣
−∞
𝜕𝐹
𝜕𝑣
−∞
𝑑𝑣
𝑣𝑧− 𝜔/𝑘
𝑧
𝑑𝑣
𝑣𝑧− 𝜔/𝑘
𝑧
𝑧
− 𝑖
𝑧
= 0. (3.14)
4𝜋2𝑒
𝑘
2
2
𝜕𝐹
𝜕𝑣
= 0. (3.15)
𝑧
𝜔/𝑘
Решением уравнения 3.15 является комплексная величина 𝜔k= 𝜔
тухающих колебаний (Γ ≪ 𝜔
найти методом последовательных приближений. Если затуханием пренебречь полно-
стью, то дисперсия продольных колебаний 𝜔
В следующем приближении нужно линеаризовать дисперсионное уравнение 3.15, учи-
′
) реальную и мнимую части собственной частоты можно
k
′
определяется уравнением 𝜀
k
′
−𝑖Γ. Для слабоза-
k
′
′
(𝜔
, k) = 0.
k
‖
22 3.0. Затухание Ландау
тывая малые мнимые части
′
𝜕𝜀
𝜕𝜔
‖
𝜔
′
k
+ 𝑖𝜀
′′
′
(𝜔
, k) = 0. (3.16)
‖
k
′
′
𝜀
(𝜔
− 𝑖Γ, k) + 𝑖𝜀
‖
k
′′
′
(𝜔
, k) ≈ −𝑖Γ
‖
k
Таким образом, декремент затухания волн определяется выражением
−1
′
𝜕𝜀
‖
′′
Γ = 𝜀
‖
𝜕𝜔
. (3.17)
Знак этой величины может соответствовать как затуханию (Γ > 0), так и раскачке плаз-
′
𝜕𝜀
‖
менных колебаний (Γ < 0). Он определяется знаками
′
𝜕𝜀
знак
о слабом затухании (Γ ≪ 𝜔
‖
. Одним из предельных случаев, когда выполняется исходное предположение
𝜕𝜔
′
), является так называемый гидродинамический предел,
k
𝜕𝜔
′′
и 𝜀
. Попробуем определить
‖
в котором фазовая скорость волны сильно превышает тепловую скорость электронов
𝜔/𝑘 ≫ 𝑣
. В этом случае значение производной функции распределения
𝑇 𝑒
а следовательно, согласно формуле 3.15, мала величина 𝜀
деле можно легко вычислить значение 𝜀
′
. Возьмём интеграл по частям и воспользуемся
‖
′′
. В гидродинамическом пре-
‖
𝜕𝑣
𝜕𝐹
мало,
𝑧
𝜔/𝑘
малостью 𝑣𝑧в знаменателе:
′
𝜀
‖
где 𝜔𝑝𝑒=
= 1 −
4𝜋𝑛𝑒𝑒
𝑚
𝑒
∞
2
4𝜋𝑒
2
𝑘
2
. Знак производной
−∞
𝜕𝐹
𝜕𝑣
𝑧
𝑑𝑣
𝑣𝑧− 𝜔/𝑘
𝑧
= 1 −
𝜕𝜀
𝜕𝜔
4𝜋𝑒
′
‖
оказывается положительным. Учитывая, что 𝜀
∞
2
2
𝑘
𝐹
−∞
𝑑𝑣
𝑧
(𝑣𝑧− 𝜔/𝑘)
≈ 1 −
2
2
𝜔
𝑝𝑒
, (3.18)
2
𝜔
определяется производной функции распределения резонансных частиц
𝜕𝐹
𝜕𝑣
, (3.19)
𝑧
𝜔/𝑘
2
= −
4𝜋2𝑒
2
𝑘
′′
𝜀
‖
можно заключить, что затухание колебаний происходит в том диапазоне фазовых ско-
ростей, который соответствует отрицательному наклону функции распределения, а на-
′′
‖
растание появляется на участках с положительной производной. Теперь можно подтвер-
дить, что в равновесной однородной плазме с максвелловской функцией распределения
частиц все колебания действительно должны затухать, поскольку эта функция всюду
спадает с ростом продольной скорости.
С физической точки зрения условие затухания плазменной волны 𝜕𝐹/𝜕𝑣𝑧|
𝜔/𝑘
< 0
требует, чтобы частиц, слегка обгоняющих волну, то есть движущихся чуть быстрее её
фазовой скорости, было меньше, чем частиц, которые слегка от неё отстают . Действи-
тельно, обмениваться энергией с волной конечной амплитуды 𝜙 могут лишь те части-
цы, которые захвачены в её потенциальную яму. Условием захвата является малость
23
кинетической энергии частицы 𝑚(𝑣𝑧−𝜔/𝑘)2/2 в системе отсчёта волны по сравнению с
глубиной этой ямы 𝑒𝜙. Отстающая частица рано или поздно должна отразиться от дого-
няющей потенциальной стенки и забрать у волны часть энергии, при этом обгоняющая
частица, отражаясь в более медленной яме, теряет свою энергию, отдавая её волне.
Суммарный эффект затухания или раскачки, действительно, зависит от того, каких
частиц больше. В пределе малых амплитуд резонанс 𝑣𝑧− 𝜔/𝑘 становится бесконечно
узким, а перевес в числе обгоняющих или отстающих частиц начинает определяться
знаком производной 𝜕𝐹/𝜕𝑣𝑧в точке резонанса.
3.3. Нелинейное затухание Ландау
Вернемся к задаче о бесстолкновительном затухании волны в плазме, не ограничиваясь
случаем малой амплитуды. Как и ранее, будем считать, что в плазме возбуждаются
только продольные электростатические колебания электронов. Тогда E = −∇𝜙, B = 0,
𝑛𝑖= const, а возмущения зависят только от продольной координаты 𝑧. Напомним, что в
этом случае кинетическое уравнение преобразуется к следующему виду (формула 3.4):
𝜕𝐹
𝜕𝑡
+ 𝑣
𝑧
𝜕𝐹
𝜕𝑧
+ 𝑒
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝜕𝐹
·
= 0, (3.20)
𝜕𝑝
𝑧
где 𝐹 =𝑓𝑒𝑑𝑝𝑥𝑑𝑝𝑦. Для замыкания системы опять используем уравнение Пуассона:
∆𝜙 = −4𝜋𝑒𝑛𝑖−𝐹 𝑑𝑝
. (3.21)
𝑧
Вообще говоря, эти уравнения представляют собой нелинейную систему, которая трудна
для аналитического исследования. В предыдущих разделах мы рассматривали волны
малой амплитуды. В этом случае мы использовали процедуру линеаризации, которая
позволила нам избавиться от нелинейности в кинетическом уравнении:
𝜕𝜙
𝑒
𝜕𝑧
𝑒
𝜕𝑓
·
𝜕𝑝
𝜕𝜙
= 𝑒
𝑧
𝜕𝑧
·
𝜕 (𝑓
𝑒
+ 𝛿𝑓𝑒)
0
𝜕𝑝
𝑧
≈ 𝑒
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝑒
𝜕𝑓
0
·
. (3.22)
𝜕𝑝
𝑧
В результате линеаризации мы потеряли информацию о нелинейных аспектах динамики
электронов в поле волны. Попробуем сохранить её, используя другое приближение.
Будем рассматривать точную эволюцию функции распределения электронов на фоне
гармонической волны со стационарной амплитудой:
𝜙 = 𝜙0· cos (𝑘𝑥 −𝜔𝑡) . (3.23)
24 3.0. Затухание Ландау
Кинетическое уравнение 3.20 можно переписать в виде:
𝑑𝐹
= 0,
𝑑𝑡
где производная по времени вычисляется вдоль характеристик уравнения, представля-
ющих собой траектории электронов в потенциале 𝜙. Таким образом, значение функции
распределения переносится без изменений вдоль траекторий, которые задаются урав-
нениями движения:
˙𝑧 = 𝑣𝑧, (3.24)
𝜕𝜙
˙𝑝𝑧= 𝑒
. (3.25)
𝜕𝑧
Комбинируя эти уравнения и подставляя потенциал из формулы 3.23, получаем:
𝑚𝑒¨𝑧 = −𝑒𝜙0𝑘 · sin (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) . (3.26)
Удобно перейти в систему отсчета, движущуюся с фазовой скоростью волны, по пра-
вилу 𝑧′= 𝑧 − (𝜔/𝑘) 𝑡:
¨
𝑚
𝑧′= −𝑒𝜙0𝑘 · sin (𝑘𝑧′) . (3.27)
𝑒
В этой системе сила не зависит явно от времени, поэтому уравнение движения можно
проинтегрировать один раз, получив закон сохранения энергии:
𝑚
2
′
˙
𝑧
𝑒
− 𝑒𝜙0· cos (𝑘𝑧′) =
2
𝑚
2
′
˙
𝑧
𝑒
+ 𝑈 (𝑧′) = 𝜀 = const. (3.28)
2
Потенциальная энергия 𝑈 (𝑧′) показана на рис. 3.4, а. Из формулы 3.28 можно выразить
уравнение, задающее траекторию электрона на фазовой плоскости (𝑧′,˙𝑧′):
˙
𝑧′=
2
· (𝜀 + 𝑒𝜙0· cos (𝑘𝑧′)). (3.29)
𝑚
𝑒
На рис. 3.4 показаны траектории электронов в поле волны, задаваемые уравнением
3.29. В зависимости от значения энергии электрона траектории разделяются на пролет-
ные (𝜀 > 𝑒𝜙0) и захваченные в ямы потенциала волны (−𝑒𝜙0< 𝜀 < 𝑒𝜙0) ; частицы из
второй группы совершают финитное движение (баунс-колебания). Эти области фазово-
го пространства разделены сепаратрисой 𝜀 = 𝑒𝜙0. Вблизи дна ямы можно приближенно
заменить силу, действующую на электрон, линейным членом разложения в ряд Тейло-
ра:
¨
𝑚
𝑧′≈ −𝑒𝜙0𝑘2· 𝑧′. (3.30)
𝑒
25
а
б
Рис. 3.4. Движение частиц в поле волны: а – график потенциальной энергии 𝑈 (𝑧′) в
системе отсчета волны; б – траектории движения электронов на плоскости (𝑧′,˙𝑧′)
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой Ω𝑏(баунс-частотой):
2
Ω𝑏=
𝑒𝜙0𝑘
𝑚
. (3.31)
𝑒
По мере увеличения амлитуды колебаний ангармонизм приводит к уменьшению часто-
ты колебаний вплоть до нуля на сепаратрисе.
Рассмотрим качественную картину эволюции функции распределения захваченных
волной частиц (рис. 3.5). Будем считать, что в начальный момент времени функция
распределения близка к равновесной максвелловской. Тогда фазовая плотность захва-
ченных электронов, отстающих от волны, выше, чем опережающих её. На рис. 3.5 значе-
ние функции распределения захваченных электронов на плоскости (𝑧′,˙𝑧′) схематически
отображено серым (большее значение) и белым (меньшее значение) цветами. С течением
26 3.0. Затухание Ландау
времени по мере развития баунс-колебаний электроны, которые в начале отставали от
волны, практически меняются местами с электронами, которые её опережали. Это озна-
чает, что волна затратила энергию на ускорение электронов. Этот процесс соответствует
начальному участку кривой 1 на рис. 3.6. При дальнейшем развитии баунс-колебаний
происходят осцилляции суммарной энергии электронов, а их функция распеределения
(𝐹 (𝑣𝑧)) становится сильно изрезанной.
Так как интеграл столкновений пропорционален второй производной функции рас-
пределения по скорости, 𝐶𝑒𝑒∼ 𝜈
𝜕2𝐹
, то даже в случае редких столкновений функция
𝑒𝑒
2
𝜕𝑣
распределения рано или поздно станет настолько изрезанной, что они вступят в игру и
сформируют в области захвата плато на функции распределения (рис. 3.7). Поскольку
фазовая плотность захваченных электронов теперь однородна, баунс-колебания больше
не приводят к изменению энергии волны. В плазме формируется стационарная БКГ-
волна (Бернштейна–Грина–Крускала) большой амплитуды (правая часть кривой 1 на
рис. 3.6).
Согласно выражению 3.31, баунс-частота падает с уменьшением амплитуды волны.
Если волна на начальном этапе затухает быстрее, чем происходит хотя бы одно баунс-
колебание, реализуется режим линейного затухания Ландау (кривая 2 на рис. 3.6):
1
Ω
1
≫
. (3.32)
Γ
𝑏
27
г
а
д
б
е
в
Рис. 3.5. Фазовая плотность на плоскости 𝑧′−˙𝑧′(а-в); соответствующая функция рас-
пределения 𝐹 (𝑣𝑧) (г -е) в моменты времени 𝑡 = 0 (а, г ), 𝑡 ∼ 1/Ω𝑏(б, д ) и 𝑡 ≫ 1/Ω𝑏(в,
е).
28 3.0. Затухание Ландау
Рис. 3.6. Зависимость энергии волны от времени: 1 – формирование стационарной БГК-
волны; 2 – линейное затухание Ландау волны с малой амплитудой
Рис. 3.7. Формирование «плато» на функции распределения
Глава 4
Волны в максвелловской плазме
4.1. Диэлектрическая проницаемость
Известно, что в статистически равновесном состоянии нерелятивистская плазма харак-
теризуется максвелловским распределением по импульсам
𝑛
𝑎
𝑓
0
(𝑝) =
(2𝜋𝑚𝑎𝑇𝑎)
𝑎
3/2
exp−
где 𝑛𝑎и 𝑇𝑎— плотность и темепратура частиц сорта 𝑎. Как и в любой другой неза-
магниченной плазме с изотропным распределением, все колебания в ней могут быть
2
𝑝
2𝑚𝑎𝑇
, (4.1)
𝑎
разделены на потенциальные и электромагнитные. Их дисперсия определяется различ-
ными диэлектрическими функциями 𝜀‖(𝜔, k) и 𝜀⊥(𝜔, k). Подставляя максвелловское
распределение в формулы (2.12) и (2.13), можно выразить эти величины
𝜀‖= 1 +
𝑎
𝜔
𝑘2𝑣
2
𝑝𝑎
[1 −𝑍(𝜉𝑎)] , 𝜀⊥= 1 −
2
𝑇 𝑎
𝑎
2
𝜔
𝑝𝑎
𝑍(𝜉𝑎) (4.2)
2
𝜔
через так называемую дисперсионную функцию плазмы
𝑍(𝜉𝑎) =
√
∞
𝜉
𝑎
𝜋
−∞
2
−𝑥
𝑒
𝜉𝑎− 𝑥
𝑑𝑥, 𝜉𝑎=
√
𝜔
, (4.3)
2𝑘𝑣
𝑇 𝑎
аргумент которой по сути показывает, насколько велика фазовая скорость волны 𝜔/𝑘
по сравнению с тепловой скоростью частиц данного сорта 𝑣
введено обозначение для плазменной частоты 𝜔𝑝𝑎= (4𝜋𝑒2𝑛𝑎/𝑚𝑎)
=𝑇𝑎/𝑚𝑎. Здесь также
𝑇 𝑎
1/2
, вычисляемой для
каждого сорта частиц.
Прежде чем подставлять функцию 𝑍(𝜉) в дисперсионные соотношения, необходимо
учесть правило обхода Ландау. С этой целью преобразуем дисперсионную функцию,
учитывая, что частота в резонансном знаменателе 𝜉−𝑥 понимается как 𝜔+𝑖0 независимо
29
30 4.0. Волны в максвелловской плазме
от того, затухает или раскачивается плазменная волна. Если резонансный знаменатель
представить в виде интеграла
∞
= −𝑖
𝑖𝛼(𝜉 + 𝑖0 − 𝑥)
𝑒
𝑑𝛼, (4.4)
1
𝜉 − 𝑥
0
а в 𝑍 поменять порядок интегрирования, то получим
𝑍(𝜉) = −𝑖𝜉𝑒
−𝜉
∞
2
−(𝛼/2 −𝑖𝜉)
𝑒
0
2
𝑑𝛼 = −2𝑖𝜉𝑒
−𝜉
2
∞−𝑖𝜉
−𝑖𝜉
2
−𝑦
𝑒
𝑑𝑦. (4.5)
Деформируя путь интегрирования в комплексной плоскости 𝑦 следующим образом
∞−𝑖𝜉
−𝑖𝜉
=
−𝑖𝜉
0
+
∞−𝑖𝜉
∞
+
0
∞
(4.6)
и переходя в первом интеграле к новой переменной 𝑥 = 𝑖𝑦, получаем выражение для
𝑍(𝜉), пригодное для описания как неустойчивых, так и затухающих колебаний:
𝜉
𝑍(𝜉) = 2𝜉𝑒
−𝜉
2
2
𝑥
𝑒
𝑑𝑥 − 𝑖√𝜋𝜉𝑒
0
2
−𝜉
. (4.7)
Представляют интерес также и асимптотики функции 𝑍(𝜉) при больших (𝜉 ≫ 1) и
малых (𝜉 ≪ 1) значениях аргумента. Первый предельный случай называют гидродина-
мическим, поскольку фазовая скорость волны здесь значительно превышает тепловые
скорости частиц, и плазму в первом приближении можно считать холодной, а второй —
кинетическим, поскольку тепловые разбросы в этом случае оказываются существенно
больше фазовой скорости волны.
Гидродинамический предел интересен тем, что допускает существование слабозату-
хающих колебаний. Действительно, малость Im𝑍 в этом режиме обеспечивается экспо-
ненциально малым количеством частиц, попадающих в резонанс с быстрыми волнами.
Для получения асимптотического поведения 𝑍 при больших аргументах преобразуем
интеграл (4.7), делая замену 𝑦 = 𝜉 − 𝑥:
2𝜉
𝜉
(𝑥 − 𝜉)(𝑥 + 𝜉)
𝑒
0
𝑑𝑥 = 2𝜉
𝜉
0
−2𝜉𝑦𝑒𝑦
𝑒
2
𝑑𝑦. (4.8)
Основной вклад в этот интеграл набирается при малых значениях 𝑦 (𝑦 ≪ 1), поэтому
2
𝑦
для 𝑒
можно воспользоваться разложением
2
𝑦
𝑒
= 1 + 𝑦2+ 𝑦4/2 + ... . (4.9)