Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Коллективные явления в плазме. Курс лекций. Учебное пособие.pdf
61
равны нулю, если скобка перед 𝑍(𝜉) равна нулю. Отсюда легко найти частоту и волно-
вой вектор возмущения на границе устойчивости:
𝜔
𝜔 = Ω𝑖(1 −1/𝐴), 𝑘‖=
𝑝𝑖
𝐴(1 −1/𝐴)2. (7.53)
𝑐
Легко проверить, что при выполнении условий (7.53) производная функции распреде-
ления ионов (7.4.2.) вдоль поверхности 𝑣
2
+(𝑣𝑧−𝜔/𝑘‖)2= const равна нулю для частиц,
⊥
удовлетворяющих условию резонанса 𝜔 −Ω𝑖= 𝑘‖𝑣‖, то есть обмен энергией между вол-
ной и резонансными ионами отсутствует.
Формально в неограниченной бимаксвелловской плазме критерий (7.53) может быть
выполнен всегда. Реальная плазма ограничена в продольном направлении, что приво-
дит к ограничению на волновой вектор возмущения 𝑘‖𝑙 > 𝜋 (здесь 𝑙 – продольный
размер плазмы) и к появлению границы устойчивости. Условие устойчивости в ограни-
ченной плазме можно записать в виде
𝜔𝑝𝑖𝑙
𝑐
>
√
𝜋
, (7.54)
𝐴(1 −1/𝐴)
при этом частота неустойчивого возмущения 𝜔 < Ω𝑖(1 −1/𝐴).
7.4.4. Граница абсолютности неустойчивости
*
Важно отметить, что критерий устойчивости (7.54) является необходимым, но не доста-
точным. Дело в том, что в открытых ловушках1альфвеновские волны могут уходить из
центральной области в пробки и таким образом уносить энергию. При этом может воз-
никнуть ситуация, когда неустойчивая волна успевает покинуть центральную область
прежде, чем ее амплитуда существенно вырастет.
В случае когда инкремент неустойчивости мал, а групповая скорость неустойчивых
возмущений велика, так что при возникновении возмущения его амплитуда в каждой
точке спадает на больших временах, говорят о конвективной (сносовой) неустойчиво-
сти. В противоположном случае, когда амплитуда возмущения растет во всех точках,
говорят об абсолютной неустойчивости. Важно подчеркнуть, что в однородной неогра-
ниченной плазме различие этих двух режимов формально: всегда можно перейти в си-
стему отсчета, движущуюся с групповой скоростью возмущения; в этой системе отсчета
1
В настоящем разделе мы рассматриваем открытую ловушку с длинным участком однородного маг-
нитного поля. Из-за различия в геометрии магнитного поля и функциях распределения ионов АИЦН
(точнее, тороидальные альфвеновские моды, Toroidal Alfv´en eigenmodes) в токамаках и стеллараторах
заметно отличаются от АИЦН в открытых ловушках.
62 7.0. Распространение волн в замагниченной плазме
неустойчивость абсолютна (и наоборот, есть системы отсчета, в которых неустойчивость
конвективна). Однако при изучении неустойчивости в ловушках есть выделенная си-
стема отсчета, относительно которой и рассматривается характер неустойчивости.
Критерий абсолютности неустойчивости сводится к требованию существования вол-
нового вектора k (вообще говоря, комплексного), для которого групповая скорость вол-
ны 𝜕𝜔/𝜕k и инкремент неустойчивости 𝐼𝑚(𝜔) обращаются в ноль. В случае АИЦН в
бимаксвелловской плазме критерий абсолютности неустойчивости удается аналитиче-
ски найти в пределе высокой анизотропии 𝐴 ≫ 1. Предполагая, что в этом пределе
волновой вектор и разность частоты волны и циклотронной частоты степенным обра-
зом зависят от анизотропии, из условия 𝜕𝜔/𝜕𝑘 (где 𝜔 удовлетворяет дисперсионному
соотношшению (7.52)) можно найти условие абсолютности неустойчивости
𝛽⊥𝐴2> 3,51841, (7.55)
где 𝛽⊥= 4𝜋𝑛0𝑚𝑤
2
/𝐵2– отношение поперечного давления плазмы к продольному. Ча-
⊥
стота и волновой вектор на границе абсолютной неустойчивости равны
𝜔
− 1 ≈ −
Ω
𝑖
1,5
𝐴
𝑘‖𝑤
,
Ω
⊥
𝑖
0,9 + 0,4𝑖
≈
√
.
𝐴
Огибающая электрического поля волны exp(−𝐼𝑚(𝑘‖)𝑧) экспоненциально растет при
𝑧 → −∞. В системе отсчета, движущейся с отрицательной продольной скоростью, эта
огибающая с течением времени растет в каждой точке (неустойчивость абсолютна),
а в системе отсчета, движущейся с положительной скоростью, огибающая убывает в
каждой точке (неустойчивость конвективна).
Глава 8
Диэлектрическая проницаемость
горячей замагниченной плазмы
в общем случае
*
Рассмотрим тензор диэлектрической проницаемости в случае произвольного направле-
ния распространения волны относительно внешнего магнитного поля. Не будем также
предполагаеть изотропность плазмы. При помощи уравнений Максвелла функция 𝐹 (𝜙)
в правой части линеаризованного кинетического уравнения может быть представлена
в следующем виде:
𝐹 (𝜙) =
𝑒
Ω
E +
1
[v × B]
𝑐
Если ввести следующие обозначения:
𝜕𝑓
0
= 𝑒E1 −
𝜕p
kv
𝜔
+
k
(vE)
𝜔
𝜕𝑓
0
. (8.1)
𝜕p
𝑈 =1 −
𝑘‖𝑣
𝜔
𝜕𝑓
‖
𝜕𝑝
𝑘‖𝑣
𝜕𝑓
+
⊥
0
𝜕𝑝
, 𝑉 =
‖
𝜔
0
⊥
𝑘
⊥
𝜔
𝜕𝑓
0
𝑣
− 𝑣
‖
𝜕𝑝
⊥
𝜕𝑓
0
⊥
, (8.2)
𝜕𝑝
‖
можно переписать выражение 8.1 следующим образом:
𝐹 (𝜙) =
𝑒
𝑈 cos 𝜙𝐸𝑥+ 𝑈 sin 𝜙𝐸𝑦+
Ω
𝜕𝑓
0
+ 𝑉 cos 𝜙𝐸
𝜕𝑝
‖
. (8.3)
𝑧
Вводя обозначение 𝑔 = 𝐶𝑧, можно заметить, что интегралы 𝐶𝑥и 𝐶𝑦выражаются
63
64 8.0. Диэлектрическая проницаемость замагниченной плазмы
через функцию 𝑔:
0
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
𝑑𝑠𝑒
−∞
0
𝑑𝑠 sin(𝜙 + 𝑠)𝑒
= 𝑔(𝑧, 𝜙), (8.4)
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
= −𝑖
𝜕𝑔
, (8.5)
𝜕𝑧
−∞
0
𝑑𝑠 cos(𝜙 + 𝑠)𝑒
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
= −
𝑖
𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
+ 𝑖𝑎𝑔, (8.6)
𝑧
−∞
и получить окончательное выражение для возмущения функции распределения:
𝑒
𝛿𝑓 =
Ω
−
𝑖𝑈
𝑧
1 + 𝑖𝑎𝑔𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝐸𝑥−
−𝑖𝑈
𝜕𝑔
𝜕𝑧
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
𝐸𝑦+
𝑝
‖
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑈𝑔𝑒
𝑝
⊥
𝑉
− 𝑖
𝑧
𝐸
. (8.7)
𝑧
Одним из общепринятым подходов в теории замагниченной плазмы является разложе-
ние интеграла 𝑔 в ряд, содержащий бесконечное число членов:
∞
𝑔 = 𝑖
𝑛=−∞
𝐽𝑛(𝑧)
𝑎 − 𝑛
𝑒
𝑖𝑛𝜙
(8.8)
(𝐽𝑛(𝑧) — функции Бесселя целого порядка). Такой подход эффективен в ситуациях,
когда ларморовские радиусы частиц малы по сравнению с длиной волны возмущения
и ряд быстро сходится, но весьма неудобен в тех случаях, когда это условие не выпол-
няется. В общем случае упрощение задачи может быть получено благодаря условию
периодичности 𝑔(𝜙 + 2𝜋) = 𝑔(𝜙). Действительно, простые преобразования
0
𝑔(𝜙 + 2𝜋) =
−∞
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠+2𝜋)
𝑑𝑠𝑒
𝑖2𝜋𝑎
= 𝑒
−∞
2𝜋
=
−𝑖𝑎𝑠′+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠′)
𝑑𝑠′𝑒
= 𝑒
𝑖2𝜋𝑎
⎛
⎝
𝑔 +
2𝜋
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
𝑑𝑠𝑒
0
⎞
⎠
(8.9)
позволяют выразить функцию 𝑔 через интеграл с конечными пределами
2𝜋
𝑔 = 𝑅
−𝑖𝑎𝑠+𝑖𝑧 sin(𝜙+𝑠)
𝑑𝑠𝑒
, 𝑅 =
𝑖𝑒
𝑖𝜋𝑎
. (8.10)
2 sin 𝜋𝑎
0
Для получения тензора диэлектрической приницаемости плазмы необходимо сна-
чала определить линейную связь между Фурье-образами тока и электрического поля.
65
Вычислим, например, вклад в ток 𝑗𝑥, который создаётся горячими электронами. Бу-
дем считать, что их невозмущенная функция распределения нормирована условием
𝑓0𝑑3𝑝 = 1, поэтому
𝑗𝑥= −𝑒𝑛𝑣⊥cos 𝜙𝛿𝑓𝑑3𝑝. (8.11)
Подстановка 𝛿𝑓 даёт следующий результат
𝑗𝑥= −
𝑒2𝑛
𝑚𝑒Ω
−∞
∞
𝑑𝑝
∞
𝑑𝑝⊥𝑝
‖
0
𝑎
2
𝑈
⊥
Φ1𝐸𝑥− 𝑖Φ2𝐸𝑦+
𝑧
где
Φ1=
2𝜋
𝑑𝜙𝑔 cos 𝜙𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
, Φ2=
2𝜋
𝜕𝑔
𝑑𝜙
𝜕𝑧
0
0
Интеграл Φ1можно преобразовать следующим образом:
Φ1=
2𝜋
𝑖
𝑧
0
𝑑𝜙𝑔
𝜕
𝜕𝜙
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
= −
𝑖
𝑧
0
= −
2𝜋
𝑑𝜙𝑒
𝑖
−𝑖𝑧 sin 𝜙
2𝜋
𝑑𝜙𝑒
𝜕𝑔
𝜕𝜙
−𝑖𝑧 sin 𝜙
=
𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
𝑧
0
где
𝐺 =
2𝜋
2𝜋
𝑖
0
𝑑𝜙 𝑔𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
2𝜋
=
𝑖𝑅
=
𝑑𝑠𝑒
𝑖𝑅
2𝜋
−𝑖𝑎𝑠
2𝜋
𝑑𝑠𝑒
0
2𝜋
𝑑𝜙 𝑒
2𝜋
−𝑖𝑎𝑠
0
2𝑖𝑧 sin(𝑠/2) cos(𝜙+𝑠/2)
𝑖𝑧(sin(𝜙+𝑠)−sin 𝜙)
𝑑𝜙 𝑒
= 𝑖𝑅
2𝜋
0
0
𝑝
‖
Φ1𝐸
𝑝
⊥
cos 𝜙𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
+ 𝑖𝑎𝑔= −
=
2𝜋
−𝑖𝑎𝑠
𝑑𝑠𝑒
0
, (8.12)
𝑧
. (8.13)
2𝜋𝑖
(1 + 𝑎𝐺), (8.14)
𝑧
𝐽
0
2𝑧 sin
𝑠
. (8.15)
2
Выражение для 𝐺 можно ещё сильнее упростить, если заметить, что оно является инте-
гральным представлением для произведения функций Бесселя комплексного порядка:
𝜋
𝐺 = −
𝐽−𝑎(𝑧)𝐽𝑎(𝑧). (8.16)
sin 𝜋𝑎
Подход, использующий разложение (7.19), даёт другую форму представления этой ве-
личины:
𝐺 = −
∞
𝑛=−∞
2
𝐽
(𝑧)
𝑛
. (8.17)
𝑎 − 𝑛
Таким образом, для вычисления 𝐺 в случае малых ларморовских радиусов (𝑧 ≪ 1)
удобно использовать быстросходящийся ряд (8.17), в случае больших радиусов (𝑧 ≫ 1 и
𝑧 ≫ 𝑎) удобно представление (8.16), позволяющее воспользоваться асимптотическими
66 8.0. Диэлектрическая проницаемость замагниченной плазмы
формулами для функций Бесселя при больших аргументах, а в общем случае, когда
порядок и аргумент функции Бесселя 𝐽𝑎(𝑧) могут одновременно достигать больших
значений, наиболее эффективным оказывается интегральное представление (8.15).
Для вычисления Φ2выполним следующую цепочку преобразований:
Φ2=
2𝜋
𝑖
𝑧
𝜕𝑔𝜕𝑧𝜕
𝑑𝜙
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
= −
𝜕𝜙
0
2𝜋
=
𝑎
𝑑𝜙 𝑒
−𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑧
0
𝜕𝑔
𝜕𝑧
=
𝑖
𝑧
𝑖𝑅𝑎
𝑧
0
2𝜋
𝑑𝜙 𝑒
2𝜋
0
−𝑖𝑧 sin 𝜙
−𝑖𝑎𝑠
𝑑𝑠𝑒
𝜕
𝑖𝑧 sin 𝜙
𝑒
𝜕𝑧
2𝜋
𝑑𝜙 sin(𝜙 + 𝑠)𝑒
0
+ 𝑖𝑎𝑔=
2𝑖𝑧 sin(𝑠/2) cos(𝜙+𝑠/2)
Функцию sin(𝜙 + 𝑠) можно представить в виде суммы
sin(𝜙 + 𝑠) = sin(𝜙 + 𝑠/2) cos(𝑠/2) + cos(𝜙 + 𝑠/2) sin(𝑠/2), (8.19)
причём ненулевой вклад в интеграл даёт только второе слагаемое
Φ2=
𝑅𝑎2𝑧𝜕
𝜕𝑧
2𝜋
𝑑𝑠𝑒
0
−𝑖𝑎𝑠
2𝜋
2𝑖𝑧 sin(𝑠/2) cos(𝜙+𝑠/2)
𝑑𝜙 𝑒
= −𝑖𝜋
𝑎𝑧𝜕𝐺
. (8.20)
𝜕𝑧
0
Таким образом, интеграл Φ2тоже выражается через функцию 𝐺.
Из выражения для тока 𝑗𝑥можно определить тот вклад, который дают электроны
. (8.18)
плазмы в компонентны тензора проводимости 𝜎𝑥𝑥, 𝜎𝑥𝑦и 𝜎𝑥𝑧. Вычисления остальных
компонентов тока показывают, что все двойные интегралы по фазам ларморовского
вращения могут быть выражены через функцию 𝐺 и её производные по 𝑧. Оконча-
тельное выражение для тензора диэлектрической проницаемости можно представить в
виде
𝜀𝛼𝛽= 𝛿𝛼𝛽+ 𝜒
𝑒
𝛼𝛽
+ 𝜒
𝑖
. (8.21)
𝛼𝛽
При этом вклад электронов в тензор восприимчивости определяется формулами
где
𝑒
𝜒
𝛼𝛽
𝑇𝛼𝛽=
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
2
𝜔
𝑝𝑒
𝜔Ω
−
𝑑3𝑝𝑝⊥𝑈𝑇𝛼𝛽+
𝑎
(1 + 𝑎𝐺)
2
𝑧
𝑖2𝑎
𝑝
‖
⊥
′
𝐺
𝑧
(1+𝑎𝐺)
𝑧
−
−
𝑝
Ω
𝜔
𝑎
(1 + 𝑎𝐺) −
2
𝑧
𝜕𝑓
0
𝑝
𝑖2𝑎
𝑧
𝑝
‖
𝑖
2
𝑝
⊥
− 𝑝
⊥
𝜕𝑝
‖
′
𝐺
′
(𝑧𝐺′)
− 𝐺 −
2𝑧
′
𝐺
𝜕𝑓
‖
𝜕𝑝
𝑝
‖
0
𝑝
⊥
⊥
𝑝
(1+𝑎𝐺)
‖
−
𝑝
⊥
𝑝
𝑖
2
𝑝
𝑝
−
𝑝
ℎ𝛼ℎ
‖
⊥
2
‖
2
⊥
, (8.22)
𝛽
⎞
𝑧
⎟
⎟
′
,
⎟
𝐺
⎠
𝐺
h = B0/𝐵0— единичный вектор вдоль невозмущёного магнитного поля, а штрихи
означают дифференцирование по 𝑧.
Глава 9
Волны в замагниченной плазме с
поперечным распространением
*
9.1. Дисперсионные соотношения
Исследуем колебания горячей плазмы, бегущие поперёк магнитного поля (𝑘‖= 0). Если
функции распределения составляющих плазму частиц зависят только от модуля про-
дольного импульса и не зависят от его знака, то есть 𝑓 = 𝑓 (𝑝
восприимчивости 𝜒𝑥𝑧, 𝜒𝑧𝑥, 𝜒𝑦𝑧и 𝜒𝑧𝑦обращаются в нуль. Действительно, 𝑈 = 𝜕𝑓 /𝜕𝑝⊥и
𝑎 = 𝛾𝜔/Ω являются функциями 𝑝
2
, поэтому те компоненты 𝑇𝛼𝛽, которые содержат 𝑝‖,
‖
зануляют интегралы вида
∞
𝑝‖𝐹 (𝑝
−∞
2
‖
)𝑑𝑝
‖
2
), то компоненты тензора
‖
(9.1)
в силу нечётности подынтегрального выражения. В этом случае все колебания можно
разделить на два типа, которые принято называть обыкновенными и необыкновенными.
Из уравнений Максвелла в Фурье-представлении
⎛
1 + 𝜒
⎜
⎜
⎜
⎝
−𝜒
𝑥𝑥
𝑥𝑦
𝜒
𝑥𝑦
𝜒𝑦𝑦− 𝑛
0
2
⊥
0
0 0 1 + 𝜒𝑧𝑧− 𝑛
видно, что обыкновенная волна имеет закон дисперсии 𝑛
⎞
⎛
⎞
𝐸
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⊥
𝑥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
= 0 (9.2)
⎟
𝐸
𝑦
⎠
𝐸
𝑧
2
= 1 + 𝜒𝑧𝑧и поляризована
⊥
вдоль внешнего магнитного поля, E‖B0. Поскольку E⊥k, эта волна является электро-
магнитной. В необыкновенной волне, напротив, вектор электрического поля лежит в
поперечной к B0плоскости и не ортогонален к k, то есть имеет потенциальную состав-
67
68 9.0. Поперечное распространение волн в замагниченной плазме
ляющую, а дисперсия определяется уравнением
(1 + 𝜒𝑥𝑥)1 + 𝜒𝑦𝑦− 𝑛
2
⊥
+ 𝜒
2
= 0. (9.3)
𝑥𝑦
С целью упрощения анализа этих дисперсионных соотношений рассмотрим случай изо-
тропной нерелятивистской плазмы с максвелловским распределением по скоростям
𝑓 =
(2𝜋)
1
3/2𝑚3
3
𝑣
𝑇
exp−
2
𝑣
⊥
2𝑣
+ 𝑣
2
𝑇
2
‖
. (9.4)
Поскольку в нерелятивистском пределе резонансное условие 𝑎 = 𝑛 перестаёт зависеть
от импульса, в соответствующих интегралах пропадают особые точки, требующие об-
хода в комплексной плоскости переменной интегрирования. В результате все решения
дисперсионных уравнений оказываются вещественными. Это означает, что в нереляти-
вистком пределе волны со строго поперечным распространением не испытывают зату-
хания Ландау.
9.2. Обыкновенная волна
Итак, в нерелятивистском случае 𝜒𝑧𝑧принимает простой вид
𝜒𝑧𝑧=
𝑠
𝜔
𝜔Ω
𝑝𝑠
2
𝑠
𝑓𝑠𝐺𝑠𝑑3𝑝 =
2
𝜔
𝑝𝑠
⟨𝐺𝑠⟩, (9.5)
𝜔Ω
𝑠
𝑠
где суммирование ведётся по сортам частиц. Подстановка максвелловской функции
распределения приводит к интегралам вида
⟨𝐺𝑠⟩ =
∞
1
𝑑𝑣⊥𝑣⊥𝐺𝑠exp−
2
𝑣
𝑇
0
𝑣
2𝑣
2
⊥
. (9.6)
2
𝑇
Если для 𝐺𝑠использовать интегральное представление (8.15), то, меняя порядок инте-
грирования и пользуясь выражением для интеграла Вебера
∞
𝐽𝑛(𝛼𝑡)𝑒
0
−𝛽2𝑡
2
𝑛+1
𝑡
𝑑𝑡 =
𝛼
(2𝛽2)
𝑛
𝑛+1
−𝛼2/4𝛽
𝑒
2
, (9.7)
можно получить следующий результат:
⟨𝐺𝑠⟩ =
−𝑖2𝜋𝑎
𝑒
2𝜋
𝑖
𝑠
− 1
0
−𝑖𝑎𝑠𝜙−𝑏𝑠(1−cos 𝜙)
𝑑𝜙𝑒
= −
−𝑏
𝑒
sin 𝜋𝑎
𝜋
𝑠
𝑠
0
𝑑𝜙 cos(𝑎𝑠𝜙)𝑒
−𝑏𝑠cos 𝜙
, (9.8)
69
2
2
2
2
где параметр 𝑏𝑠= 𝑘
𝑣
/Ω
= 𝑘
𝑠
𝑇 𝑠
⊥
2
𝜌
определяет величину ларморовского радиуса частиц
𝑠
⊥
сорта 𝑠 по отношению к длине волны. В случае малых ларморовских радиусов быва-
ет удобно использовать для 𝐺𝑠представление рядом (8.17). Приводя получающиеся
интегралы к другому известному интегралу Вебера
∞
2
𝐽
(𝛼𝑡)𝑒
𝑛
0
−𝛽2𝑡
2
𝑡𝑑𝑡 =
−𝛼2/2𝛽
𝑒
2𝛽
2
𝐼
𝑛
2
𝛼
2𝛽
2
, (9.9)
2
можно представить ⟨𝐺𝑠⟩ в виде бесконечной суммы
∞
⟨𝐺𝑠⟩ = −𝑒
−𝑏
𝑠
𝑛=−∞
𝐼𝑛(𝑏𝑠)
, (9.10)
𝑎𝑠− 𝑛
содержащей модифицированные функции Бесселя 𝐼𝑛(𝑏𝑠). Таким образом, с учётом ки-
нетических эффектов дисперсия обыкновенной волны определяется уравнением
𝜋
2
2
𝑘
𝑐
⊥
= 1 −
2
𝜔
𝑠
𝜔
𝜔Ω
𝑝𝑠
2
𝑠
𝑒
sin 𝜋𝑎
−𝑏
𝑠
𝑠
0
𝑑𝜙 cos(𝑎𝑠𝜙)𝑒
−𝑏𝑠cos 𝜙
. (9.11)
В пределе холодной плазмы (𝑏𝑠→ 0) это уравнение имеет решение
2
𝜔2=
𝜔
𝑝𝑠
𝑠
2
+ 𝑘
𝑐2, (9.12)
⊥
которое совпадает с дисперсией электромагнитной волны в незамагниченной плазме.
Учёт конечной температуры электронов приводит к появлению новых ветвей, лежа-
щих вблизи циклотронных резонансов 𝜔 = 𝑛Ω𝑒. Численное решение уравнения (9.11),
полученное при 𝑇𝑒= 4 кэВ, Ω𝑒/𝜔𝑝𝑒= 0,6 и представленное на рис. 9.2, показывает,
что в области пересечения электромагнитной ветви с электронными циклотронными
волнами происходит пересоединение дисперсионных кривых, так что электромагнит-
ная волна оказывается разбита на отдельные сегменты, лежащие между гармониками
циклотронной частоты.
70 9.0. Поперечное распространение волн в замагниченной плазме
9.3. Необыкновенные волны
Подстановка максвелловского распределения в остальные компоненты тензора 𝜒𝛼𝛽по-
казывает, что все они могут быть выражены через ту же усреднённую функцию ⟨𝐺𝑠⟩:
𝑠
𝑠
𝜔
𝜔Ω
𝑠
𝜔
𝜔Ω
2
𝑎
𝑠
𝑝𝑠
(1 + 𝑎𝑠⟨𝐺𝑠⟩) , (9.13)
𝑏
𝑠
𝑠
2
𝑝𝑠
2
𝜔
𝜔Ω
𝑠
𝑝𝑠
𝜕𝑏
𝜕
𝑎
𝑠
𝑠
𝜕 ⟨𝐺𝑠⟩
𝑠
𝜕𝑏
2𝑏
𝑠
, (9.14)
𝑠
𝜕 ⟨𝐺𝑠⟩
⟨𝐺𝑠⟩ +
𝜕𝑏
𝑠
− 𝜒𝑥𝑥. (9.15)
𝜒𝑥𝑥=
𝜒𝑥𝑦= −𝑖
𝜒𝑦𝑦=
В холодной плазме, когда ларморовские радиусы частиц оказываются значительно
меньше длины волны (𝑏𝑠≪ 1), тепловые эффекты могут быть учтены как малые по-
правки:
⟨𝐺𝑠⟩ = −
1
−
𝑎
𝑠
𝑎𝑠(𝑎
𝑏
𝑠
2
𝑠
− 1)
−
𝑎𝑠(𝑎
3𝑏
2
− 1)(𝑎
𝑠
2
𝑠
2
𝑠
− ... . (9.16)
− 4)
В этом приближении компоненты тензора восприимчивости приобретают вид
𝜒𝑥𝑥= −
𝜒𝑥𝑦= 𝑖
𝜒𝑦𝑦= −
𝑠
𝑠
Ω
𝜔
𝑠
2
𝜔
𝑝𝑠
𝜔2− Ω
𝜔
𝑠
𝜔2− Ω
2
𝜔
𝑝𝑠
𝜔2− Ω
2
𝑝𝑠
1 +
2
𝑠
𝑎
1 +
2
𝑠
𝑏𝑠(𝑎
1 +
2
𝑠
𝑎
2
𝑠
3𝑏
2
𝑠
− 4
𝑎
(𝑎
𝑠
, (9.17)
6𝑏
𝑠
2
𝑠
2
𝑠
, (9.18)
− 4
+ 8)
2
𝑠
− 4)
. (9.19)
9.3.1. Низкочастотные колебания
Исследуем сначала низкочастотные колебания 𝜔 < Ω𝑒, на дисперсию которых суще-
ственное влияние оказывают ионы. В полностью холодной плазме дисперсионное соот-
ношение (9.3) сводится к биквадратному уравнению
𝜔4− 𝜔
4
Ω
𝐿𝐻
2
Ω
+
2
𝑖
𝑘
(1 + 𝜔
2
𝑐
⊥
2
𝑝𝑒
2
/Ω
2
+ Ω
2
)
𝑒
𝐿𝐻
𝑘
(1 + 𝜔
2
2
𝑐
⊥
2
𝑝𝑒
= 0, (9.20)
2
/Ω
)
𝑒
которое в пределе малых 𝑘⊥описывает ветвь быстрого магнитного звука с законом
дисперсии 𝜔 = 𝑘⊥𝑐𝐴, а при больших волновых числах 𝑘⊥→ ∞ определяет частоту так
называемого нижнего гибридного резонанса
𝜔 = Ω𝐿𝐻=
1 + Ω
2
𝑒
𝑖
/𝜔
𝑝𝑒
2
2
+ Ω
. (9.21)
𝑖
Ω𝑒Ω
Изучим теперь влияние малых тепловых поправок, связанных с конечной температурой
электронов, на дисперсию БМЗ-волны. На самом низкочастотном участке спектра (𝜔 ≪