Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Когерентная оптика. Интерференция, дифракция, поляризация. Учебное пособие
.pdf
Это область геометрической оптики. Можно приближенно считать, что
M
A
B
A
B
A
B
волна, упавшая на отверстие рассеивателя, продолжает и за решеткой
распространяться в том же направлении, по прямой.
Однако при дальнейшем смещении экрана от отверстия освещенное
пятно будет, во-первых, расширяться; во-вторых, в распределении освещенности на экране появятся дополнительные максимумы и минимумы.
С точки зрения интерференции это означает, что сферические волны,
пришедшие на экран от разных точек отверстия, могут находиться как
в фазе, так и в противофазе. Это область дифракции Френеля. В этой
области по мере удаления экрана от отверстия распределение освещенности меняется особенно быстро.
Наконец, при большом расстоянии от решетки, «на бесконечности»,
форма распределения освещенности на экране по мере его удаления
практически не меняется, только размер дифракционной картины увеличивается пропорционально расстоянию от решетки. Это область ди-
фракции Фраунгофера.
Зоны Френеля. В соответствии с граничным условием Кирхгофа
примем поле на непрозрачных участках экрана равным нулю, а в раскрыве отверстия – равным полю падающей волны. Плоский волновой
фронт совпадает с плоскостью отверстия (щели), следовательно, поля
во всех точках щели синфазны. Однако до точки наблюдения
, распо-
P
0
ложенной на оси (рис. 1, а), вторичные сферические волны от разных
точек отверстия проходят разное расстояние, поэтому между волнами в
точке
пришедшая в точку
будут сдвиги фазы. На рис. 1, а показана сферическая волна,
P
0
из осевой точки O . Разобьем поверхность AB
P
0
вторичных источников на участки, у которых на границах длина хода
лучей до точки
Френеля. На рис. 1, а показана сфера
длине осевого луча. Длины лучей
3/2OP
P
20
и
.
лучей
0
Поля вторичных волн, пришедшие в точку
меняется на /2 . Такие участки называются зонами
P
0
P
20
равны
OK радиусом
и
P
10
, длины лучей
2/2OP
0
P
10
равны
P
из соседних зон Фре-
P
0
OP
0
и
0
, равным
0
, длины
/2OP
равны
P
0
неля, находятся в противофазе и компенсируют друг друга, однако не
полностью, а частично, так как чем больше расстояние, пройденное волной до точки
, тем меньше ее амплитуда. Поэтому основной вклад
P
0
41
в результирующее поле в точке
A
A
дает зона Френеля, наименее удален-
P
0
ная от точки наблюдения, в данном случае центральная (первая) зона
. На рис. 1, б зоны Френеля, синфазные с центральной зоной, по-
OB
11
казаны со знаком плюс, а находящиеся в противофазе к этим зонам – со
знаком минус. Напряженность результирующего поля в точке
P
0
где
, , , ...EE E
123
– амплитуды полей от соответствующих зон Френеля в
точке наблюдения
поле в точке
дополнительно ослаблен потому, что эти кольца ча-
P
0
() ...EP E E E E E
0 12345
. На рис. 1, б вклад 4, 5-го и последующих колец в
P
0
, (1)
стично закрыты непрозрачным экраном.
Количество зон Френеля
m
, укладывающихся на половине ширины
отверстия, называемое также числом Френеля, определяется разностью
хода между крайним и осевым лучом
22
(/2) ;
22
zD z
На рис. 1, а
Если zD
AP OP z D z m
00
2(/2)
m
/2
m = 3.
, квадратный корень можно разложить в ряд
22 2
zD z Dz z Dz
( /2) 1 ( /2 ) 1 /2
и
P
0
OP
:
0
2
.
(2)
1
2
2
.
Тогда число Френеля в (2)
2
D
mz
. (3)
4
Если переместить точку наблюдения
стится и система зон Френеля. Например, если переместить
, то вместе с ней переме-
P
0
от сере-
P
0
дины щели (рис. 1, б) вверх к ее краю, то непрозрачным экраном будет
перекрыта часть третьего кольца, поле которого находится в фазе с полем первой зоны Френеля, поэтому поле в этой точке будет меньше поля
42
в середине щели. При последующем движении точки
D
вверх будет ча-
P
0
стично перекрыта вторая зона, поле которой в противофазе с полем первой зоны. Следовательно, суммарное поле немного возрастет. Таким образом, при смещении точки наблюдения поперек щели центральный
максимум поля сменится минимумом, а затем опять максимумом. При
3m в раскрыве щели будет наблюдаться два минимума, т. е. 1m .
Это общее правило для нечетного числа зон Френеля.
m
Рассмотрим теперь, как меняются число Френеля
и картина дифракции по мере перемещения экрана Э от щели. Пусть вначале экран
расположен непосредственно за щелью на малом расстоянии
0z
(рис. 2, а). Длина волны лазера, используемого в эксперименте, равна
= 650 нм (излучение красного цвета). Ширина щели
, которую необходимо определить в измерениях, наблюдается визуально, следовательно, составляет величину порядка 1 мм. Тогда число Френеля (2)
равно
/2 1mD .
На рис. 2, б показано наблюдаемое в этом случае на экране распределение интенсивности (освещенности), пропорциональной квадрату
напряженности электрического поля волны, вдоль линии AB .
Видно, что это распределение «повторяет» распределение интенсивности в раскрыве щели: оно достаточно равномерное и имеет примерно
ту же ширину. Это область геометрической оптики.
Используя зоны Френеля, объясним как подобие, так и отличия
наблюдаемого распределения от равномерного распределения на щели.
Рассмотрим последовательно три положения точки наблюдения на
экране: осевую точку
точку
r
m
точке
на краю щели (рис. 2, а).
P
2
Расстояние
точки
r
1
до края щели. Это означает, что вклад первой зоны Френеля в поле в
намного больше вклада высшей m-й зоны Френеля. Поэтому
P
0
, точку
P
0
от центра щели намного меньше расстояния
P
0
между осью и краем щели, а также
P
1
на рис. 2, в, г, д показано только несколько низших зон Френеля, дающих основной вклад в поле в точке наблюдения
большом смещении точки наблюдения влево или вправо от
,
или
P
P
0
1
. При не-
P
2
только
P
0
высшие зоны Френеля будут частично или полностью затеняться
щелью, но на суммарное поле в точке наблюдения это практически влиять не будет. Этим и объясняется равномерное распределение интенсивности в центральной части экрана наблюдения.
43
D
B
x
x
x
x
A
Э
I
P
0
r
1
P
1
а
P
2
r
m
б
P
0
D
P
P
1
2
P
A
0
B
в
P
1
P
2
г
д
Рис. 2
Однако когда точка наблюдения смещается ближе к краю щели (положение
), будут затеняться зоны Френеля, дающие заметный вклад
P
1
в результирующее поле в точке наблюдения. Это приведет к увеличению амплитуды колебаний результирующего поля, поскольку поля соседних зон находятся в противофазе (рис. 2, г). Смена минимума на максимум означает исчезновение или значительное затенение одной зоны
Френеля. У края щели ширина периода осцилляций интенсивности
вдоль
в несколько раз больше, чем в приосевой области (рис. 2, б).
Это объясняется тем, что ширина колец низших зон соответственно
больше ширины колец высших зон.
44
В точке наблюдения
x
A
B
A
B
A
A
A
B
затенена половина всех зон Френеля, по-
P
2
этому суммарное поле в этой точке примерно вдвое меньше поля в
точке
, соответственно интенсивность вчетверо меньше (рис. 2, д).
P
0
При дальнейшем смещении точки наблюдения в область тени освещенность не обращается в нуль, а плавно уменьшается, так как затененных
точек наблюдения достигают сферические волны, исходящие от освещенных точек щели.
Если продолжать удалять экран наблюдения от щели, то согласно
(2) число зон Френеля будет уменьшаться, соответственно период осцилляций интенсивности в направлении
, перпендикулярном образующей щели, будет увеличиваться. Периодические колебания интенсивности, в отличие от рис. 2, б, будут наблюдаться на всей ширине распределения
Френеля в несколько единиц
()Ix
. Это область дифракции Френеля, соответствующая числу
1m . Соответственно амплитуда колеба-
ний интенсивности больше, чем в области геометрической оптики, поскольку каждая из нескольких зон Френеля дает заметный вклад в результирующее поле.
Дифракция Фраунгофера. Чем дальше точка
тем меньше угол наклона лучей
меньше разности хода лучей
гда точка
удаляется в бесконечность,
P
0
POP
00
и
P
0
,
POP
00
OP z
к осевому лучу
P
0
0
угол между лучами стремится к нулю, т.е. пучок лучей
все меньше отличается от параллельного пучка
сти хода
POP
00
Соответственно и число Френеля
Минимальное расстояние
,
POP
00
стремятся к нулю.
(/2) 1m
, для которого выполняется условие
z
min
22
DD
1;
z
44
z
min
, (4)
от отверстия AB ,
P
0
, тем
OP
0
(рис. 3). В пределе, ко-
, точнее, zD ,
,,
POPBP
000
,,
AOP BB
0
, а разно-
.
считается границей дальней зоны, т.е. дифракции Фраунгофера. В дальней зоне разность фаз сферических волн, приходящих в осевую точку
наблюдения
от всех точек отверстия, стремится к нулю. Поэтому на
P
0
оси всегда наблюдается максимум интенсивности поля.
45
A B
A
D
P
P
M
x
D
O
P
0
B
z
Рис. 3
Однако если точка наблюдения смещается от оси, то разность хода
от разных точек щели может превышать
/2 , поэтому в дифракцион-
ной картине наблюдаются минимумы. Точный расчет дифракционного
распределения интенсивности от щели в зоне Фраунгофера показывает,
что поле в этих минимумах равно нулю, а это возможно только в том
случае, когда поле от одной половины ширины щели точно компенсируется полем от второй половины. Для доказательства рассмотрим
точку наблюдения
, лежащую вне оси на большом вдоль оси рассто-
P
1
янии от щели, zD .
Э
1
k
0
A
K
O
N
B
2
G
z
Рис. 4
Расстояния от точек щели до точки наблюдения показаны кривыми
линиями только потому, что на рисунке ограниченного размера невозможно одновременно изобразить конечный размер щели и намного
46
большее расстояние между щелью и экраном (рис. 4). Пусть разность
A
B
A
M
M
M
хода между крайними лучами
ния
равна или кратна . Тогда из подобия треугольников
P
1
KN следует, что разность хода MN между лучами
редин двух половин щели равна
и
P
1
от щели в точку наблюде-
P
1
BG и
и
KP
из се-
1
P
1
/2 , т.е. поля этих половин находятся
в противофазе. Амплитуды результирующих полей от каждой половины
в точке
равны: разность хода
Следовательно, результирующее поле в точке
равны, поскольку практически длины хода волн
P
1
/2 на много порядков меньше длины хода.
равно нулю. Анало-
P
1
KP
и
P
1
1
гично можно показать равенство нулю результирующего поля, когда
кратна
.
Таким образом, условие минимумов в картине дифракции Фраунгофера на щели
sin ; 1, 2 ...BG D k k
, (5)
или при малых углах дифракции
x
DDkk
sin ; 1, 2 ...
k
, (6)
z
откуда получаем координаты дифракционных нулей на экране:
z
xk k
k
;1,2...
(7)
D
Отрицательные значения
k соответствуют углам дифракции, отсчи-
тываемым вниз от оптической оси.
Расстояние между ближайшими к оси нулями при
1k считают
шириной главного дифракционного максимума.
В приближении малых углов дифракции расстояния между соседними нулями по одну сторону от главного максимума постоянно:
z
xxx
,1 1kk k k
. (8)
D
По измеренному расстоянию между нулями можно определить ширину щели
z
D
47
. (9)
x
,1kk
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
УСТАНОВКИ
В работе используется полупроводниковый лазер с длиной волны
650 нм, направляющая (оптическая скамья), набор стоек, две щели разной ширины, прозрачная измерительная сетка (мира) с ценой деления
1 мм, кассета для слайдов, короткофокусная собирающая линза Л, экран
наблюдения Э, линейка.
Все стойки с оптическими элементами размещаются на направляющей, ее вид сверху показан на рис. 5. Номерами 1–5, 7 обозначены отверстия для крепления стоек, 6 – длинный паз для крепления перемеща-
ющейся стойки.
1 2 3 4
5 6 7
Рис. 5
Внимание! Перед выполнением работы следует ознакомиться с
разделом «Техника безопасности и требования к выполнению работ» и получить разрешение преподавателя на проведение эксперимента.
ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ
Измерение ширины щели методом геометрической оптики
1. Установите лазер на стойке в положение 7 направляющей. Экран
Э установите в положение 1. На экране закрепите лист миллиметровой
бумаги. Ослабьте винт крепления лазера в оправе и вращением лазера
вокруг оптической оси сориентируйте область свечения, светящуюся
щель, по вертикали. Снова зафиксируйте винт крепления лазера. Поставьте линзу Л на стойке в паз 6 направляющей в крайнее дальнее положение от лазера. Направьте линзу к лазеру. Зафиксируйте стойку на
направляющей. Стойку с бумажными вставками поставьте в паз 6, поместите между вставками слайд-кассету с измерительной мирой.
2.
Перемещая стойку с мирой вдоль паза, получите на экране резкое
изображение миры. Зафиксируйте стойку с кассетой. Теперь система
48
«мира–линза–экран» представляет собой проекционную систему с по-
D
D
стоянным линейным увеличением.
3.
Трижды измерьте на экране период b между изоб-
ражениями штрихов (рис. 6). Для этого карандашом
наметьте соответственные границы штрихов, левые или
b
правые. Переместите бумагу, снова наметьте границы
b
штрихов. Найдите среднее значение
ния миры
линзы
c
= 1 мм, определите линейное увеличение
V по формуле
. Зная цену деле-
Рис. 6
/Vbc
. (11)
Более точный вариант измерения размера: сфотографировать изображение сетки на миллиметровой бумаге. Предварительно поворотом
вокруг оптической оси или кассеты с мирой, или миллиметровой бумаги
добейтесь параллельности штрихов миры и линий миллиметровки.
4.
Поставьте в кассету узкую щель вместо миры. На экране должно
наблюдаться резкое изображение щели с равномерным распределением
освещенности изображения по горизонтали. Поворотом миллиметровой
бумаги на экране совместите линию на бумаге с резким краем изображения щели. Измерьте ширину изображения
щели на экране. Измерения, как и в п. 3, можно проводить двумя способами. Во-первых, карандашом наметьте границы изображения (трижды). Рассчитайте сред-
нее значение ширины
D
. Во-вторых, можно сфотографировать изобра-
жение.
5.
Рассчитайте ширину щели
, используя линейное увеличение
линзы (9), по формуле
/DDV
Поставьте в кассету широкую щель вместо узкой. Повторите из-
6.
. (12)
мерения и расчеты пп. 4 и 5.
7.
Карандашом отметьте на направляющей положение стойки со
щелью, соответствующее резкому изображению щели.
Наблюдение области геометрической оптики и дифракции Фре-
неля
Если расстояние от линзы до изображения (задний отрезок) постоянно, то постоянно и расстояние от предмета до линзы (передний отрезок). Поэтому, если щель удалять от линзы, с предметной плоскостью
49
линзы будет совмещаться картина дифракции на щели, которую линза с
N
N
N
x
D
постоянным увеличением перенесет на экран.
Освободите фиксирующий винт стойки щели. Плавно перемещая
8.
стойку от линзы к лазеру, получите
= 8 темных вертикальных полос
в пределах щели. Карандашом отметьте на направляющей положение
z
стойки. Измерьте расстояние
между текущим положением стойки и
положением в п. 7.
9.
Рассчитайте число Френеля
ную формулу допустимо использовать, так как
m
по формуле (2). Эту приближен-
z
10 мм, а D 1 мм,
т.е. zD .
10.
Плавно перемещая стойку со щелью дальше от линзы, повторите
измерения и расчеты пп. 8 и 9 для
Постройте график зависимости 1m от
11.
подтверждается ли предположение, что
= 6; 4 и 2.
= 2; 4; 6; 8. Проверьте,
1.Nm
Наблюдение дифракции Фраунгофера на щели
12. Установите стойку со щелью в положение, ближайшее к лазеру.
Уберите линзу.
13.
По (2) рассчитайте границу области дифракции Фраунгофера –
расстояние
2
41mD z.
14.
Установите экран на расстоянии
лист миллиметровой бумаги закрепить на стене. Измерьте расстояние
между щелью и экраном, для которого число Френеля
z
min
min
z
, превышающем
z
min
. Можно
z
между щелью и экраном наблюдения.
15.
На листе бумаги карандашом обозначьте положение нулей ди-
фракционной картины, особо отметив нули, соседние с центральным
дифракционным максимумом. Сдвигая лист бумаги, зарисуйте трижды
положение нулей. Найдите среднее расстояние между нулями
. Для
уменьшения относительной погрешности измеряйте расстояние между
большим числом нулей
стояние между соседними нулями
16.
По формулам (9), (10) рассчитайте ширину щели
, где, например, М равно 10. Тогда рас-
,kk Mx
xxM
.
,1 ,
kk kk M
(1)
. Сравните со
значением ширины, измеренным в п. 5.
17.
Повторите пп. 13–17 с другой щелью.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]