Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
На рис. 2.5 видно, что при увеличении
4
3
324
3
+∞
→
3
3
3
3
с
или уменьшении
1
с
прямая,
2
представляющая целевую функцию Z, вращается (вокруг точки С) по часовой
стрелке. Если же 1с уменьшается или 2с увеличивается, эта прямая вращается в
противоположном направлении - против часовой стрелки. Таким образом,
точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой
не выйдет за пределы, определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и
(3).
Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой
L
, получим две
1
альтернативные оптимальные угловые точки - С и В. Аналогично, если наклон
прямой Z станет равным наклону прямой для ограничения (3), будем иметь
альтернативные оптимальные угловые точки С и D. Наличие альтернативных
оптимумов свидетельствует о том, что одно и то же оптимальное значение Z
может достигаться при различных значениях переменных
x
и
x
1
. Как только
2
наклон прямой выйдет за пределы указанного выше интервала 1с , получим
некоторое новое оптимальное решение.
Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый
интервал изменения 1с , при котором точка С остается оптимальной. Исходное
значение коэффициента 2с = 4 оставим неизменным. На рис. 2.5 видно, что
значение 1с можно уменьшать до тех пор, пока прямая Z не совпадет с прямой
L
(отрезок ВС).
1
Это крайнее минимальное значение коэффициента 1с можно определить из
равенства углов наклонов прямой Z и прямой
L
. Так как тангенс угла наклона
1
с
для прямой Z равен
1
, а
определим из равенства
значение
c не
1
1с
можно увеличивать беспредельно, так как прямая
совпадает с прямой
для прямой
1
=с,
3L (
(1)
откуда
отрезок
равен
2
, то
8
min1=c .
DC) и,
следовательно, точка
минимальное значение
На рис
2.5
Z
8
всех значениях коэффициента
Интервал изменения
1
1с , в
≥с
будет единственной оптимальной
котором точка
С
по-прежнему остается
единственной оптимальной точкой, определяется неравенством
8
При
=с
1
оптимальными угловыми точками будут как точка
С,
8
Как только коэффициент
1с
становится меньше
,
оптимум смещается в точку
В.
видно, что
при
2с = 4 и
С
.
8
+∞<<
c .
1
так и точка
с
при
В.
1
31
Можно заметить, что, как только коэффициент
3
3
3
Б
≤
Б
++++=
≥
с
оказывается меньше
1
8
,
ресурс
это означает следующее; если доход от продажи единицы продукции
3
становится недефицитным, а ресурс
4 -
дефицитным. Для предприятия
П
станет
1
8
меньше
д.е.,
то наиболее выгодная производственная программа
предприятия должна предусматривать выпуск максимально допустимого
количества продукции
При этим соотношение спроса на продукцию
объемы производства, что обусловит недефицитность ресурса
П (
полностью удовлетворять спрос на продукцию
2
П
и
П
1
не будет лимитировать
2
(3).
Увеличение
П ).
2
8
коэффициента
(3).
Точка С
оптимальной
с
свыше
1
-
точка пересечения прямых
д.е. не
.
снимает проблему дефицита ресурсов
L
и
1
L -
остается все время
3
(1) и
2.4 Симплекс-метод
2.4.1 Общая идея симплекс-метода
Для начала работы требуется, чтобы заданная система ограничений
выражалась равенствами, причем в этой системе ограничений должны быть
выделены базисные неизвестные. Решение задачи при помощи симплекс
метода распадается на ряд шагов. На каждом шаге от данного базиса Б
переходят к другому, новому базису
функции Z уменьшалось, т. е
.
1
Б
1
с
таким расчетом, чтобы значение
ZZ
.
Для перехода к новому базису из
Б
старого базиса удаляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из
числа свободных. После конечного числа шагов находится некоторый
)(
базис
k
,
для которого
Z
есть искомый минимум для линейной функции
)(k
Б
Z,
а соответствующее базисное решение является оптимальным либо выясняется
что задача не имеет решения
.
2.4.2 Алгоритм симплекс-методе
Рассмотрим систему ограничений и линейную форму вида
=+++
...
...
...
...
2211
bxaxaxa
nn
11212111
=+++
bxaxaxa
nn
22222121
; (2.12)
=+++
bxaxaxa
mnmnmm
:
-
,
x ,
0
i
...
22110min
xcxcxccZ
; (2.13)
nn
ni ,1= . (2.14)
32
Используя метод Жордана-Гаусса, приведем записанную систему к виду,
γγγ
γ
+++−=
β
α
α
α
β
α
α
α
β
α
α
α
γ
γ
γ
γ
где выделены базисные переменные. Введем условные обозначения:
xxx ,...,,
-
базисные переменные
21
r
xxx ,...,,
-
свободные переменные
21 ++
nrr
++++
++++
...
++++
2211
12110min nnrrrr
++++
;
.
αααβ
+++−=
+++−=
+++−=
)...(
xxxx
122111111
nnrrrr
)...(
xxxx
αααβ
222211222
nnrrrr
; (2.15)
)...(
xxxx
αααβ
nrnrrrrrrrr
)...(
xxxZ
. (2.16)
По последней системе ограничений и целевой функции Z построим
табл
. 2.2.
Табл
неизвестные
Базисные
неизвестные
x
x
… … … … … …
x
Z
min
. 2.2.
2
Симплекс-таблица
Свободные
1
r
Свободный
член
1
2
r
0
x
1+r
11 +r
12 +r
1+rr
1+r
x
2+r
21 +r
12 +r
2+rr
2+r
…
…
…
…
…
x
n
n1
n2
rn
n
Данная таблица называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие
преобразования связаны с изменением содержания этой таблицы
.
Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему.
1.
В последней строке симплекс-таблицы находят наименьший
положительный
соответствующий этому элементу, считается разрешающим
2.
Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам
разрешающего столбца
симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке
3.
На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца
находится разрешающий элемент
4.
Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений
элемент
(
симплекс-отношение
,
не
считая
свободного
члена
.
Столбец
.
).
Находят наименьшее из этих
.
.
то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам
последней строки симплекс-таблицы
5.
После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей
.
таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и
столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится
,
,
33
свободной переменной и наоборот. Симплекс-таблица преобразована
β
α
α
α
α
γ
следующим образом (табл. 2.3):
6. Элемент табл. 2.3, соответствующий разрешающему элементу табл.
2.2, равен обратной величине разрешающего элемента.
7. Элементы строки табл. 2.3, соответствующие элементам разрешающей
строки табл. 2.2, получаются путем деления соответствующих элементов табл.
2.2 на разрешающий элемент,
8. Элементы столбца табл. 2.3, соответствующие элементам разрешающего
столбца табл. 2.2, получаются путем деления соответствующих элементов табл.
2.2 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.
9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника:
мысленно вычерчиваем прямоугольник в табл. 2.2, одна вершина которого
совпадает с разрешающим элементом, а другая - с элементом, образ которого
мы ищем; остальные две вершины определяются однозначно. Тогда искомый
элемент из табл. 2.3 будет равен соответствующему элементу табл. 2.2 минус
дробь, в знаменателе которой стоит разрешающий элемент, а в числителе произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.
10. Как только получится таблица, в которой в последней строке все
элементы отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное
значение функции равно свободному члену в строке целевой функции, а
оптимальное решение определяется свободными членами при базисных
переменных. Все свободные переменные в этом случае равны нулю.
11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не
имеет решений (минимум не достигается).
Табл. 2.3. Преобразование симплекс-таблицы
Свободные
неизвестные
Базисные
неизвестные
x
x
… … … … … …
2+r
2
Свободный
член
α
211+r
α
x
1+r
r
2211++r
x
1
α
211+r
+
r
−
α
2122+
r
…
…
…
α
x
n
n
211+r
+
rr
x
r
Z
min
−
−
α
α
212+
r
+
r
212+
r
…
…
34
Пример 2.3. Решение задачи симплекс-методом:
+−−
=
=++−
1
xxx
321
=+−
1
xxx
421
xxx
521
;
=++
2
232 xxxxxZ +−+−= .
54321max
Приведем задачу к виду, допускающему применение симплекс-алгоритма:
);(1
xxx
213
);(1
xxx
−−=
+−=
Подставим в выражение
214
).(2
xxx
215
21max
376
+−= xxZ .
Z величины 3x ,
max
x
, 5x :
4
По алгоритму целевая функция должна стремиться к минимуму:
)76(3376
xxxxZZ −−−=−+−=−= .
2121maxmin
Составим симплекс-таблицу:
Свободные
неизвестные
Базисные
Свободный
член
x
4
x
2
неизвестные
x
3
x
1
x
5
Z
min
1 -1 1
1
1 -1
2 1 1
-3
6
-7
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, в нашем
примере он равен +6, первый столбец коэффициентов будет разрешающим.
Определим отношение свободных членов к положительным элементам
разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 1. Разрешающий
элемент находится на пересечении строки переменной
x
и столбца -
4
x
.
1
Переходим к следующей таблице, используя правило прямоугольника:
Свободные
неизвестные
Базисные
Свободный
член
x
1
x
2
неизвестные
x
3
2 1 0
x
4
x
5
Z
min
1 1 -1
1 -1 2
-9 -6 -1
В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное
решение найдено:
min
9
−=Z
; X = (1; 0; 2, 0, 1); 9
=−= ZZ .
minmax
35
Резюме
Из материала, изложенного в данной лекции, можно сделать следующие
выводы.
− Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача,
которая состоит в нахождении оптимального (максимального или
минимального) значения целевой функции, причем значения переменных
должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
− Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче
линейного программирования в канонической форме.
− Графически способ решения задач линейного программирования
целесообразно использовать для: решения задач с двумя переменными, когда
ограничения выражены неравенствами; решения задач со многими
переменными при условии, что в их канонической записи содержится не
более двух свободных переменных.
− Анализ моделей на чувствительность – это процесс, реализуемый после
получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется
чувствительность оптимального решения к определенным изменениям
исходной модели. При таком анализе всегда рассматривается комплекс
линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную
динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние
возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное
решение.
− Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то
оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и
совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений
системы ограничений.
− Симплекс-метод является универсальным методом решения задач
линейного программирования.
− В основу симплексного метода легла идея последовательного улучшения
решения.
− Для использования симплексного метода задача линейного
программирования должна быть приведена к каноническому виду.
Вопросы для самоконтроля
1.
Какая задача называется оптимизационной?
2.
Приведите математическую модель задачи линейного программирования.
3.
Что подразумевается под канонической формой задачи линейного
программирования.
4.
Поясните графический метод решения задачи линейного
программирования.
5.
Когда целесообразно применять графический способ решения задачи
линейного программирования?
6.
Что такое многоугольник решений?
7.
Что может являться областью допустимых решений?
36
8.
Перечислите основные задачи анализа на чувствительность.
9.
В чем заключается анализ изменений запасов ресурсов?
10.
Какие ресурсы называются дефицитными? Недефицитными?
11.
Как определить наиболее выгодный ресурс?
12.
Как определить пределы изменения коэффициентов целевой функции?
13.
Дайте определение симплекс-метода.
14.
Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода.
15.
Что легло в основу симплекс-метода?
16.
Расскажите алгоритм симплекс-метода.
37
3 ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
aaa
,...,
,
bbb
,...,
,
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Транспортная задача является представителем класса задач линейного
программирования и поэтому обладает всеми качествами линейных
оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных
полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее
решения. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное
опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.
3.1 Постановка задачи
Под термином «транспортная задача» понимается широкий круг задач не
только транспортного характера, которые характеризуются единой
математической моделью. Общим для них является, как правило,
распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n
потребителям этих ресурсов.
Наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к
транспортным:
− прикрепление потребителей ресурса к производителям;
− привязка пунктов отправления к пунктам назначения;
− взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;
− отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного
оборудования;
− оптимальное распределение объемов выпуска промышленной
продукции между заводами-изготовителями и др.
Различают два типа транспортных задач: по критерию стоимости (план
перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по
критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается
минимум времени).
Также существуют одноэтапные модели задач, где перевозка
осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к
потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется «перевалочный пункт»,
например – склад.
Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунктов
отправления к пунктам назначения. Имеются m пунктов отправления груза и
объемы отправления по каждому пункту
грузах
21
по каждому из
n
n
пунктов назначения. Задана матрица
стоимостей доставки по каждому варианту
21
с
ij
.
Известна потребность в
m
,
mi ,1=
,
nj ,1=
.
Необходимо
рассчитать оптимальный план перевозок, т.е. определить, сколько груза должно
быть отправлено из каждого
i-го
пункта отправления (от поставщика) в каждый
38
j-ый пункт назначения (до потребителя)
a
a
a
b
b
b
>
<
x
с минимальными транспортными
ij
издержками.
В общем виде исходные данные представлены в табл. 3.1. Строки
транспортной таблицы соответствуют пунктам отправления (в последней
клетке каждой строки указан объем запаса продукта
a
), а столбцы – пунктам
i
назначения (последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности
b
). Все клетки таблицы (кроме тех, которые расположены в нижней строке и
j
правом столбце) содержат информацию о перевозке из i-го пункта в j-й: в
правом верхнем углу находится цена перевозки единицы продукта, а в левом
нижнем – значение объема перевозимого груза для данных пунктов.
Табл. 3.1. Транспортная таблица
Потребители
Поставщики
A
1
A
2
B
1
c
11
x
11
c
21
x
21
B
2
c
12
x
12
c
22
x
22
…
…
…
B
n
nc1
nx1
nc2
nx2
Запасы
(объемы
отправления)
1
2
… … … … … …
…
…
x
mn
c
mn
n
m
A
m
Потребность
x
c
1m
1m
1
x
2m
c
2m
2
Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем
∑
a
равен суммарному объему потребности в этих
i
=mi
1
∑
b
:
j
=nj
1
отправляемых грузов
грузах по пунктам назначения
m
i
n
=
ba
(3.1)
∑∑
i
j
==
j
11
Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот),
запасу называют открытой, т.е.:
m
i
n
≠
ba
(3.2)
∑∑
i
j
==
j
11
Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз
развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью
удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики
удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза
)( ba
либо весь груз оказывается израсходованным, хотя потребности полностью не
)( ba
удовлетворены
.
,
39
Для написания модели необходимо все условия (ограничения) и целевую
функцию представить в виде математических уравнений.
Все грузы из i-х пунктов должны быть отправлены, т.е.:
n
=
ax
∑
j
,
=
1
iij
mi ,1=
(3.3)
Все j-е пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в
плановом объеме:
m
∑
=
i
,
=
bx
1
jij
nj,1=
(3.4)
Суммарные объемы отправления должны равняться суммарным объемам
назначения (3.1). Должно выполняться условие неотрицательности
переменных:
0
≥
x
,
ij
mi,1=
,
nj,1=
. Перевозки необходимо осуществить с
минимальными транспортными издержками (функция цели):
min
min
=
∑ ∑
= =
j
1 1
xcZ
(3.5)
ijij
Будем называть любой план перевозок допустимым, если он
удовлетворяет системам ограничений и требованием неотрицательности.
Допустимый план, будем называть опорным, если в нем отличны от нуля
не более
m+n-1
базисных перевозок, а остальные перевозки равны 0.
План будет называться оптимальным, если он, среди всех допустимых
планов, приводит к максимальной суммарной стоимости перевозок.
Вместо матрицы стоимостей перевозок (
c
) могут задаваться матрицы
ij
расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается
минимум суммарной транспортной работы. Как видно из выражения (3.1),
уравнение баланса является обязательным условием решения транспортной
задачи. Поэтому, когда в исходных условиях дана открытая задача, то ее
необходимо привести к закрытой форме. В случае, если
− потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов
отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающим
объемом отправления;
− запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то
вводится фиктивный потребитель с необходимым объемом
потребления.
Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют нулевые
оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Транспортным задачам присущи следующие особенности:
− распределению подлежат однородные ресурсы;
− условия задачи описываются только уравнениями;
− все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;
− во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]