Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
*
(
)
()(
)
()()()(
)
=
⋅
=
⋅
=
⋅
94,1 SE ⋅= .
2
1
Шаг 1 (распределение средств в первом – четвертом кварталах)
В начале первого квартала между предприятиями распределяется сумма в размере
S
= 5.
0
Пусть предприятию П1 выделяется сумма в размере
сумма в размере
4,18,1
акционерам, а
первый
–
80% –
четвертый кварталы определяются следующим образом
*
211
US −
.
Выручка предприятий к концу первого квартала составит
10
USU −+
.
Как и в другие кварталы
101
распределено между предприятиями. Выплаты акционерам за
4,18,12,0 EUSUEZE +−+⋅=+=
, 20% из
*
.
2101
U
, а
предприятию П
1
2 –
этой суммы будет выплачено
:
Выполнив расчеты, аналогичные приведенным на предыдущих шагах, выразим
величину
E
через
U
и
S
1
1
( )( ) ( )( )
:
0
*
21011
94,14,18,12,04,18,12,0
SUSUEUSUE
=⋅+−+⋅=+−+⋅=
1101
.
7,045,24,18,12,08,094,14,18,12,0
USUSUUSU
⋅+⋅=−+⋅⋅⋅+−+⋅=
10101101
Видно, что максимальные выплаты акционерам за весь год обеспечиваются при
максимальном значении
U
.
Таким образом, безусловно оптимальное решение для
1
первого квартала состоит в том, чтобы выделить предприятию П1 все имеющиеся
средства
состояние известно
следует выделить
*
:
U
=
S. Для первого шага
1
0
:
S
= 5
0
5
млн ден. ед
млн ден. ед. Итак, в первом квартале предприятию П
.
(в
отличие от остальных шагов) начальное
1
Цикл безусловной оптимизации
Шаг 1 (распределение средств в первом квартале)
Безусловно оптимальное решение для первого квартала найдено выше
имеющиеся средства выделяются предприятию П
Выручка предприятия П1 к концу первого квартала составит
Найдем сумму выплат акционерам в первом квартале
1).
95,81
:
Z
1
=⋅=
*
:
U
= 5 (
1
млн ден. ед
8,192,0
млн ден. ед
все
Найдем состояние в конце первого квартала, т.е. сумму средств, распределяемых
между предприятиями в начале второго квартала
:
S
1
2,798,0
=⋅=
млн ден. ед
.
Шаг 2 (распределение средств во втором квартале)
Состояние в начале второго шага
выяснено, что все эти средства следует выделить предприятию П
Выручка предприятия П2 к концу второго квартала составит
ед. Выплаты акционерам во втором квартале составят
ед. Состояние в конце второго шага
предприятиями в начале третьего квартала) следующее
ден. ед
.
S1 = 7,2
(т.е.
млн ден. ед. В ходе условной оптимизации
*
2 (
U
= 0).
2
84,157,22,2
Z
2
=⋅=
17,384,152,0
млн ден
млн ден
сумма средств, распределяемых между
:
S
2
67,1284,158,0
=⋅=
млн
Шаг 3 (распределение средств в третьем квартале)
Состояние в начале третьего шага
S
2
= 12,67
млн ден. ед. В ходе условной
оптимизации выяснено, что все эти средства следует выделить предприятию П
*
(
U
= 0).
3
Выручка предприятия П2 к концу третьего квартала составит
81,2267,21,81
млн
.
.
.
.
2
ден. ед. Выплаты акционерам в третьем квартале составят
ден. ед. Состояние в конце третьего шага (т.е. сумма средств, распределяемых между
56,481,222,0
Z
3
=⋅=
млн
101
предприятиями в начале четвертого квартала) следующее: 25,1881,228,0
=
⋅
ден. ед.
Шаг 4 (распределение средств в четвертом квартале)
Состояние в начале четвертого шага 3S = 18,25 млн ден. ед. В ходе условной
оптимизации выяснено, что все эти средства следует выделить предприятию П1
*
(
U
=
S = 18,25).
3
3
Выручка предприятия П1 к концу четвертого квартала составит
млн ден. ед. Выплаты акционерам в четвертом квартале составят
21,603,312,0
4
Таким образом, оптимальное решение задачи следующее. В первом квартале следует
выделить предприятию П
П
2 7,2
млн ден. ед
в четвертом квартале выделить предприятию П
акционерам в первом квартале составят
– 4,56, в
течение года составят
=⋅=Z
четвертом
млн ден. ед
1 5
., в
третьем квартале выделить предприятию П
– 6,21
15,74
.
млн ден.ед, во втором квартале выделить предприятию
1 18,25
1,8
млн ден. ед
млн ден. ед. Таким образом, выплаты акционерам в
млн ден. ед
.
3
2 12,67
млн ден. ед. Выплаты
., во
втором
млн ден. ед
– 3,17, в
Резюме
Из материала, изложенного в данной лекции, можно сделать следующие
выводы.
=⋅=S млн
31,0318,25,71
.,
третьем
− Метод динамического программирования предназначен для задач, решение
которых может быть представлено как некоторая многошаговая
операция, т.е. последовательность однотипных шагов. Решение на каждом
шаге принимается с учетом результатов предыдущих шагов, а также с
учетом последствий принимаемого решения для последующих шагов.
− Основной принцип решения задач на основе метода динамического
программирования (принцип оптимальности, или принцип Беллмана)
состоит в следующем: решение на каждом шаге выбирается таким
образом, чтобы обеспечить максимальную эффективность на данном шаге
и на всех последующих шагах.
− Задача, представленная в виде многошаговой операции, может быть
решена методом динамического программирования, если она удовлетворяет
свойствам отсутствия последействия и аддитивности критерия
эффективности.
− Решение задач динамического программирования обычно включает два
цикла: сначала – от последнего шага к первому (обратная прогонка, или
условная оптимизация), затем – от первого шага к последнему (прямая
прогонка, или безусловная оптимизация).
Вопросы для самоконтроля
1.
Дайте краткую характеристику метода динамического программирования
2.
Приведите примеры задач, для решения которых целесообразно
использовать метод динамического программирования.
3.
Дайте общую постановку задачи, решаемой методом динамического
программирования.
4.
В чем заключается принцип оптимальности Беллмана?
102
5.
Каким свойствам должна удовлетворять задача, чтобы она могла быть
решена методом динамической оптимизации?
6.
Что такое отсутствие последействия?
7.
В чем заключается аддитивность критерия эффективности?
8.
Какие циклы включает в себя решение задач динамического
программирования?
9.
Дайте характеристику цикла условной оптимизации.
10.
Дайте характеристику цикла безусловной оптимизации.
103
6 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
6.1 Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами,
предназначенными для многоразового использования при решении однотипных
задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов
обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО).
Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные
мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины,
парикмахерские и т.п.
Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в
случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом
поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении
системы каналов обслуживания.
Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц
(приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами
обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки,
вычислительные машины, продавцы и др.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации,
когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают
следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование
присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал
обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы
приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания
очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию
следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл
функционирования системы массового обслуживания подобного рода
повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей
системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание
очередного требования после завершения обслуживания предыдущего
требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Предметом теории массового обслуживания является построение
математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число
каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями
эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком
заявок.
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида
являются:
− входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
104
− дисциплина очереди;
− механизм обслуживания.
Входной поток требований. Для описания входного потока требуется
задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов
поступления требований на обслуживание и указать количество таких
требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило,
оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления
требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые
требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае
обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым
обслуживанием.
Дисциплина очереди - это важный компонент системы массового
обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и
порядок распределения их между свободными каналами. Чаще всего
используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
− первым пришел — первый обслуживаешься;
− пришел последним — обслуживаешься первым;
− случайный отбор заявок;
− отбор заявок по критерию приоритетности;
− ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания
(имеет место очередь с ограниченным временем ожидания
обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина
очереди»).
Возможно также обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь
обслуживаются наиболее важные заявки). Приоритет может быть абсолютным,
когда более важная заявка «вытесняет» из-под обслуживания обычную заявку
(например, в случае аварийной ситуации плановые работы ремонтных бригад
прерываются до ликвидации аварии), так и относительным, когда более
важная заявка получает лишь «лучшие» место в очереди.
Механизм обслуживания определяется характеристиками самой
процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К
характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность
процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в
результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания
характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное
распределение времени обслуживания требований».
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера
самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей
обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать
105
вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого
ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и
взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.
п.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может
иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна
обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы
обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно
утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных
каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое
требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания
требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет
характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно
констатировать, что функциональные возможности любой системы массового
обслуживания определяются следующими основными факторами:
− вероятностным распределением моментов поступлений заявок на
обслуживание (единичных или групповых);
− вероятностным распределением времени продолжительности
обслуживания;
− конфигурацией обслуживающей системы (параллельное,
последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
− количеством и производительностью обслуживающих каналов;
− дисциплиной очереди;
− мощностью источника требований.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем
массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут
выступать:
− вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
− вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
− относительная и абсолютная пропускная способность системы;
− средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
− среднее время ожидания в очереди;
− средняя длина очереди;
− средний доход от функционирования системы в единицу времени и
т.п.
В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового
обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти
системы относятся к стохастическим системам.
106
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс. Под
случайным (вероятностным иди стохастическим) процессом понимается
процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с
вероятностными закономерностями.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его
возможные состояния
...,,
SSS
можно заранее перечислить, а переход системы
321
из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется
процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов
системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с
дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что
состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то
событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового
обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские.
Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без
последействия, если для любого момента времени
t
вероятностные
0
характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный
момент
t
и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. В
0
марковских системах входящий поток требований и выходящий поток
обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские
потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы
массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения,
поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания
используют марковскую схему.
Пример марковского процесса: система S – счетчик в такси. Состояние системы в
момент t характеризуется числом километров, пройденных автомобилем до данного
момента. Пусть в момент 0t счетчик показывает 0S . Вероятность того, что в момент
t > 0t счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее
число рублей)
изменялись показания счетчика до момента 0t .
S
, зависит от 0S , но не зависит от того, в какие моменты времени
1
В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового
обслуживания значительно усложняются и требуют применения
статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового
обслуживания, различают два основных вида СМО:
− системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в
момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает
очередь;
− системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в
момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь
107
и ждет, пока не освободится один из каналов. Системы массового
λ
⋅
=
λ
µ
⋅
=
µ
обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным
ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:
− длина очереди;
− время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет
обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.
Все системы массового обслуживания различают по числу каналов
обслуживания:
− одноканальные системы;
− многоканальные системы.
Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще
всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных
систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного
момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
6.2 Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с
экспоненциальным распределением длительности обслуживания
Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком
и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным
распределением как длительностей интервалов между поступлениями
требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность
распределения длительностей интервалов между поступлениями требований
имеет вид
t
λ
−
exf
, (6.1)
где
)(
1
- интенсивность поступления заявок в систему
Плотность распределения длительностей обслуживания:
t
µ
−
exf
, (6.2)
где
)(
2
- интенсивность обслуживания
Потоки заявок и обслуживании простейшие.
6.2.1 Одноканальная СМО с отказами
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную
и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа
(рис. 6.1), у которого имеются два состояния:
S
- канал свободен (ожидание);
0
S
- канал занят (идет обслуживание заявки).
1
108
S
=
+
µµλλ
−
=
=
∞→t
µ
λµ
λ
0
S
1
µ
Рис. 6.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Обозначим вероятности состояний:
свободен
графу состояний
»; )(1tP -
(
вероятность состояния
рис
. 4.1)
составим систему дифференциальных уравнений
Колмогорова для вероятностей состояний
)(
dt
dt
tdP
0
µλ
⋅+⋅−=
)()(
tPtP
10
(6.3)
)(
tdP
1
⋅+⋅−=
).()(
λµ
tPtP
01
Система линейных дифференциальных уравнений
учетом нормировочного условия
1)()(
)(0tP -
«
канал занят
:
tPtP .
10
вероятность состояния «канал
».
По размеченному
(6.3)
имеет решение с
Решение данной системы
называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и
выглядит следующим образом
µλ
+− t
)(
=
)( (6.4)
0
etP
+
+
:
µλ
+
)(1)(
tPtP
. (6.5)
01
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность
)(0tP есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно,
P - вероятность того, что в момент t канал свободен и
0
заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного
момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу
поступивших также равно )(
)(0tPq
(6.6)
По истечении большого интервала времени (при
стационарный (установившийся) режим (
tP , т. е.
0
) достигается
q
– относительная пропускная
способность):
==0Pq
(6.7)
λµ
+
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную.
Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может
обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
λ
=⋅= qA
(6.8)
µλ
+
109
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности
λµλµ
µ
=⋅=⋅=
λ
состояния «канал занят»:
отк
Данная величина
−=−== 1101PPP
P
отк
=
+
(6.9)
µλ
+
может быть интерпретирована как средняя доля
необслуженных заявок среди поданных.
Пример 6.1
Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного
обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в
момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока
автомобилей λ= 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания
- 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
− относительной пропускной способности q;
− абсолютной пропускной способности А;
− вероятности отказа
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была
бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили
следовали один за другим без перерыва.
Решение
P
отк
;
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
µ
t
11
об
555,0
===
.
8,1
2. Вычислим относительную пропускную способность:
555,0
=
q .
=
555,01
+
+
λµ
356,0
=
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать
примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
qA
Это означает, что система
обслуживания автомобилей в час
4.
Вероятность отказа
отк
Это означает, что около
обслуживании
5.
Определим номинальную пропускную способность системы
A (
ном
t
обсл
.
11
Оказывается, что
356,0356,01
:
555,0
===
8,0
A в 1,5
ном
.
(
пост ЕО) способна осуществить в среднем
.
644,0356,011 =−=−= qP
.
65%
прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в
автомобилей в час
555,0
раза
356,0
≈ 5,1
0,356
:
).
больше, чем фактическая пропускная
способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени
обслуживания
.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]