Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
J
++=
nscT
n
222
(
)
−
2
n
TTn
2
2
2
n
nscn
2)(2
S
n
n-S
b b b b
0
T1 T2 T1 T2 T1 T2 T1 T2
T 2T 3T 4T
Θ
Рис. 7.4 Статическая детерминированная модель с дефицитом
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами
(на пополнение запаса) и
C
– на штраф из-за дефицита, т.е.
3
CCCC
321
C
(на хранение запаса) необходимо ввести затраты
2
t
C
1
Затраты
показано, что затраты
C
, как и ранее, находим по формуле (7.11). В разд. 7.2 было
1
C
при линейном расходе запаса равны затратам на
2
хранение среднего запаса, который за время потребления
поэтому с учетом
sTc
C
2
При расчете затрат
единицу времени
дефицита за период
(7.7) и (7.5)
sTsc
k
== (7.18)
⋅
C будем считать, что штраф за дефицит составляет в
c на каждую единицу продукта. Так как средний уровень
3
T равен
2
эти затраты составят
2
θ
=⋅
3
θ
2212
2/2Tsn
, то штраф за этот период
1
)(
Tsnc − , а за
23
1
Теперь, учитывая
N
cC
1
весь период
1
)(
(7.12), (7.18) и (7.19),
2
θ
2
θ
3
++=
θ с
3233
−
учетом
snckTsncC
)(
−=−=
(7.7) и (7.19)
sn
−
θ
=
3
(7.19)
2
Snc
)(
−
θ
суммарные затраты равны
2
Snc
(7.20)
T
равен
1
sT ;
T
составит
2
2/
1
141
Нетрудно заметить, что при
s
n
=
),(sn
C
nC∂
∂
sC∂
∂
n
1
0
≤
≤
ρ
∞
=
1
=
ρ
(
)
формула (7.19) совпадает с ранее
полученной (7.8) в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию
такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых
функция С (7.19) принимает минимальное значение. Другими словами,
необходимо исследовать функцию двух переменных
на экстремум
.
Приравнивая частные производные
преобразований систему уравнений
2
2
=+−
323
/2)(
Ncscccn
θ
1
,
к
нулю, получим после
:
=
c
ns
3
+
cc
32
(7.21)
Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема
партии
n
s
Величина
ρ
и максимального уровня запаса
0
cc
Nc
=
0
=
0
1
c
θ
2
2
Nc
1
c
θ
2
+
32
c
3
c
3
cc
+
32
22
bc
=
=
1
c
2
c
n
3
0
+
3
=
(7.24)
ccc+
32
s
для модели с дефицитом1:
0
cc
+
32
(7.22)
c
3
(7.23)
cc
32
называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет
важную роль в управлении запасами. Заметим, что
мало по сравнению с
превосходит
c
2
, то ρ
предположению, что
c
, то
2
близка к
c
3
величина
1.
или
ρ
близка к нулю: когда
Недопустимость дефицита равносильна
.
.
Если значение
c
значительно
3
c
3
Используя
компактнее
n
=
0
ns
Следует учесть, что в силу
//
1
С помощью достаточного условия экстремума можно убедиться в том, что действительно при
функция
(7.24),
основные формулы
(7.22) и (7.23)
можно записать
:
2
bc
1
(7.25)
ρ
c
2
ρ
⋅=
(7.26)
00
(7.17) и (7.26)
ρ
==
nsTT
001
),( snC
достигает минимума.
.
Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за
142
ρ
nnsTT
−=−= 1//
0002
и
nn =
,
ss =
0
0
неудовлетворенного спроса равна ρ, означает, что в течение
(
)
ρ
−
)(t
p
)(r
ϕ
)(t
p
)(r
ϕ
%1001
времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать
Из сравнения формул
(7.25) и (7.10)
следует, что оптимальные объемы
.
партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах
связаны соотношением
n
n =
0
0
ρ
(7.27)
откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом
всегда больше (в
1
раз), чем в задаче без дефицита
.
ρ
Пример 7.5
Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, сохраняя
условия задачи 7.2, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие
на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.
Решение
По условию 3c = 3,5. Ранее было получено по формуле (7.9) 0n = 4335 и по (7.15) 0T
= 13,2. Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса по формуле
(7.24): 909,0
детали на сборке будут отсутствовать.
Теперь оптимальный размер партии по формуле (7.27) 4547
=
ρ
5,3
=
5,335,0
+
, т.е. 100(1–0,909) = 9,1% времени между поставками
4335
0
==n . В силу
909,0
(7.15) пропорционально увеличению
поставками, т.е.
00
2,13
n
должен увеличиться интервал между
0
дней
148,13
909,0
≈===ρTT
.
7.4 Стохастические модели управления запасами
Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых
спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на
характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в
связи с чем в рамках данного раздела ограничимся рассмотрением наиболее
простых моделей
.
Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и
задан его закон
(
обычно функции
статистических данных
(
хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат
единицу продукта; наоборот, если спрос
приводит к штрафу за дефицит
(
ряд) распределения
и
).
Если спрос
c ,
оцениваются на основании опытных или
r
на единицу продукции
3
или плотность вероятностей
ниже уровня запаса
r
выше уровня запаса
s, то
.
приобретение
c
s, то
2
это
на
В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических
моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или
математическое ожидание
.
143
В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r,
)(t
p
sr≤
)(r
ϕ
)(s
C
+<<
ρ
ρ
=
)()(srpsF
−
=
+
имеющем закон распределения
затрат имеет вид
В выражении
2
:
s
2
0
r
(7.28)
∞
∑∑
3
+==
1
sr
первое слагаемое учитывает затраты на
приобретение (хранение) излишка
слагаемое
–
штраф за дефицит на
, математическое ожидание суммарных
−+−=
s – r
r – s
)()()()()(
rpsrcrprscsC (7.28)
единиц продукта (при
единиц продукта (при
r > s).
), а
второе
В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью
вероятностей
2
,
выражение
0
ss
∫∫
3
0
принимает вид
−+−=
drrsrcdrrrscsC
)()()()()(
ϕϕ
(7.29)
:
Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса
котором математическое ожидание суммарных затрат
принимает минимальное значение
.
Доказано, что при дискретном случайном спросе
минимально при запасе
а при непрерывном случайном спросе
значении
0s ,
определяемом из уравнения
s
,
удовлетворяющем неравенствам
0
)1()(
sFsF
00
(7.30)
r
выражение
(7.28)
r
(7.29)
или
выражение
минимально при
)(0sF (7.31)
где
(7.32)
есть функция распределения спроса
r, )(0sF и )1(
sF – ее
0
значения
плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по
s,
при
(7.29)
(7.28)
; ρ –
(7.24).
Пример 7.6
Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока
равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока,
отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему
обойдется в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков,
потребовавших замену, представлено в табл. 7.1.
Табл. 7.1. Распределение агрегатов
Число замененных блоков r 0 1 2 3 4 5 6
Статистическая вероятность
(доля) агрегатов
потребовалась замена
2
Учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта
)(rp ,
которым
r
блоков
0,90 0,05 0,02 0,01 0,01 0,01 0,00
144
Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует
(
)
<
<
≈−=
s
r
≤
s
r
>
приобрести вместе с агрегатом.
Решение
По условию
c
= 5, 3c = 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных
2
блоков по формуле (7.24) ρ = 100/(5+100) = 0,952.
Учитывая (7.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 7.2).
Табл. 7.2
s 0 1 2 3 4 5 6 >6
r 0 1 2 3 4 5 6 >6
sF
0,00 0,90 0,95 0,97 0,98 0,99 1,00 1,00
Очевидно (см. табл. 7.2), что оптимальный запас составит 0s = 3, ибо он
удовлетворяет неравенству (7.30):
Пример
7.7
Решить задачу 7.6 при условии непрерывного случайного спроса
по показательному закону с функцией распределения
Решение
Оптимальное число запасных блоков
откуда
(
блока
λ
S
0
e и
ρ
−=−1
).
0s
найдем из уравнения
1
0
λ
)1ln(
ρ
−−=s .
При
λ = 0,98
)4(952,0)3( FF
.
r,
распределенного
r
λ
s
0
−
erF
−=1)(
(7.31):
при
λ = 0,98.
λ
−
1Se ,
0
ρ
=−
402,0ln)98,0/1(
В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование
запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию
можно представить графически (рис. 7.5).
J
J
s
0 tT
а
s
r s-r
0
T
1
б
T
2
r
T
t
r-s
Рис. 7.5
Рис. 7.4, а соответствует случаю
а рис. 7.4, б – случаю, когда спрос превышает запас, т.е.
, когда спрос не превосходит запаса,
. Следует
отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную,
145
показанную на рис. 7.4 пунктиром, но для исследования модели проще
2
2
r
n
=
rsT
212
r
n
=
+<<
ρ
+
(
)
≥
рассматривать
)(tJ
в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.
Средний запас, соответствующий рис. 7.4, а, равен
1
1
))((
Средний запас, соответствующий рис
которой полагаем
T
1
2
ss
1
2
== (7.34)
Средний дефицит продукта за период
рис
. 7.4, б с
3
учетом
1 −
2
T
srs
)(
T
(7.17),
2
=−= (7.35)
1
1
rsrsss
−=−+= (7.33)
. 7.4, б с
,
составляет
где
sr
)(21
T
для случая, соответствующего
2
,
равен
2
r
Математическое ожидание суммарных затрат составит:
s
)(
0 1
r sr
r
scsC
−= (7.36)
2
)(
∞
crp
22
2
1
s
+=
2
r
∞
c
++
∑∑ ∑
3
r
==
−
0
Доказано, что в этом случае математическое ожидание
учетом формулы
2
)(21
sr
)(
rp
r
(7.36)
(7.17), в
минимально
при запасе
где
s
,
удовлетворяющем неравенству
0
sLsL
ρ по-
)( (7.38)
прежнему определяется по формуле
( )
ssFsL
)(0sL и )1(
sL –
0
)1()(
00
(7.37)
∞
1
−+=
∑
=
sr
2
соответствии с определением
Пример 7.8
Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты
на хранение одного изделия составляют
изделия обходится в
потребляемых за месяц изделий, представленное в табл
Табл
. 7.3
Спрос r
Статистическая
0 1 2 3 4 5
вероятность
)(rp
блоков
100
(7.24):
rp
)(
r
значения функции
(7.38), a
sF
находится в
(7.32).
5
ден. ед
ден. ед. Изучение спроса дало распределение числа
0,1 0,2 0,2 0,3 0, 1 0,1 0,0
., а
штраф за дефицит одного
. 7.3.
6
Необходимо, определить оптимальный месячный запас склада
Решение
Так же как в задаче 7.6
Значения функции
Табл
. 7.4
,
c
= 5,
c
= 100. ρ = 0,952.
3
146
. 7.4.
)(rL
2
определим с помощью табл
.
s r
r
≥6 ≥
<
<
nT/θ=
−
=
0 0 0,1 – – – 0,0 –
1 1 0,2 0,200 0,445 0,2225 0,1 0,3225
2 2 0,2 0,100 0,245 0,3675 0,3 0,6675
3 3 0,3 0,100 0,145 0,3625 0,5 0,8625
4 4 0,1 0,025 0,045 0,1575 0,8 0,9575
5 5 0,1 0,020 0,02 0,0900 0,9 0,9900
6 0,0 0,000 0,000 0,0000 1,0 1,0000
)(rp
rp )(
∞
∑
=sr
rp )(
r
∞
∑
=
rps)(
r
sr
1
−
2
)(rF
)(rL
Очевидно, что оптимальный запас изделий
(7.37): )4(952,0)3( LL
.
0s = 3,
ибо он удовлетворяет условию
7.5 Стохастические модели управления запасами с фиксированным
временем задержки поставок
В рассмотренных выше идеализированных моделях управления запасами
предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно.
Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько
значительным, что его необходимо учитывать в модели.
Пусть за время задержек поставок θ уже заказаны n партий по одной в
каждый из n периодов продолжительностью
Обозначим
s –
s –
r –
q –
первоначальный уровень запаса (к началу первого периода
нз
запас за
i
спрос за
i
пополнение запаса за
i
:
i-й
i-й
период
период
;
;
i-й
период
.
.
);
Тогда к концу
будет израсходовано
i
или
rss
n
где
(7.40)
n
+=
∑
=
i
1
n-го
n
−+=
iнзn
i
qss
(7.41)
iнз
периода на склад поступит
r
,
единиц, т.е
∑
i
=ni
1
n
rqss
(7.39)
∑∑
i
==
11
.
147
q
единиц продукта, а
∑
i
=ni
1
n
+<<
ρ
)(r
p
)(r
p
=+=
ρ
=
rr
(7.42)
∑
i
=
i
1
Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо
сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного
ранее заказа.
Математическое ожидание суммарных затрат в этом случае определяется
по формуле (7.28), а оптимальный запас s находится по формуле (7.30), т.е.
)1()(
sFsF
00
(7.43)
Найдя оптимальный запас
формуле
r 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
r 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 >200
(7.41), т.е.
−=1
n
+−=
0
Пример 7.9
Ежедневно заказываемый скоропортящийся товар поступает в магазин спустя 7 дней
после заказа. В момент очередного заказа запас товара составил в стоимостном
выражении 10 ден. ед. В данное в день изготовления, приносит прибыль 0,95 ден.
ед., а не проданный в этот день товар может быть затем реализован с убытком 0,10
ден. ед.
На основании опытных данных получено следующее распределение спроса на
данный товар (табл. 7.5).
Табл. 7.5
0,00 0,00 0,01 0,02 0,05 0,08 0,11 0,12 0,14 0,13 0,10
qssq (7.44)
∑
iнзn
1
i
0s и
зная
,...,,
qqq ,
можно вычислить
121
−n
nq по
0,08 0,05 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00
Необходимо определить оптимальный объем заказанного товара 7q на седьмой день
после заказа.
Решение
Плотность убытков из-за дефицита товара по формуле (7.24) равна
905,0)95,010,0/(95,0
.
распределения спроса (табл
Учитывая условия
. 7.6).
148
(7.32),
найдем значения функции
Табл. 7.6
≥
≥
=++++++−=
s r
0 0 0,00 50 50 0,16 100 100 0,86 150 150 0,96
10 10 0,00 60 60 0,27 110 110 0,84 160 160 0,97
12 20 0,01 70 70 0,39 120 120 0,89 170 170 0,98
30 30 0,03 80 80 0,53 130 130 0,92 180 180 0,99
40 40 0,08 90 90 0,76 140 140 0,94
Условию
Таким образом, оптимальный запас товара за
ед
.,
откуда оптимальный объем заказанного товара на седьмой день по
составит
)(rF
(7.43)
:
q
7
s r
удовлетворяет
s
0
)(rF
= 120,
s r
ибо
F(120) < 0,905 <F (130).
7
дней должен быть на сумму
)(rF
30))102010102010(10(120
s r
190
ден. ед
190 1,00
120
(7.44)
.
)(rF
ден
В заключении отметим, что найти аналитически оптимальные значения
точки запаса
s
и объема партии n удается только в относительно простых
0
случаях. Если же система хранения запасов имеет сложную структуру (много
видов хранимой продукции, иерархическая система складов), используемые
стохастические модели сложны, а их параметры меняются во времени, то
единственным средством анализа такой системы становится имитационное
.
моделирование, позволяющее имитировать на ЭВМ функционирование
системы, исследуя ее поведение при различных условиях, значениях
параметров, отражая их случайный характер, изменение во времени и т. п.
Резюме
Из материала, изложенного в данной лекции, можно сделать следующие
выводы.
− Запасами называется любой ресурс на складе, который используется для
удовлетворения будущих нужд.
− Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и
расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное
значение.
− Существуют причины, побуждающие организации создавать запасы:
дискретность поставок при непрерывном потреблении; упущенная
прибыль; случайные колебания; предполагаемые изменения конъюнктуры.
− Имеются причины, побуждающие предприятия стремиться к минимизации
запасов на складе: плата за физическое хранение запаса; потери в
количестве запаса; моральный износ продукта.
− Выделяют различные модели управления запасами.
Вопросы для самоконтроля
1.
Кто из ученых занимался теорией управления запасами?
2.
Приведите схему системы управления запасами.
3.
Почему предприятия создают запасы?
149
4.
Что побуждает предприятия стремиться к минимизации запасов на
складе?
5.
Что такое спрос? объем заказа? издержки хранения?
6.
Дайте характеристику основных терминов теории управления запасами.
7.
Приведите характеристику статической детерминированной модели без
дефицита.
8.
Приведите график статической детерминированной модели без
дефицита.
9.
Приведите характеристику статической детерминированной модели с
дефицитом.
10.
Приведите график статической детерминированной модели с дефицитом.
11.
Чем стохастические модели управления запасами отличаются от
детерминированных моделей?
12.
Дайте характеристику стохастической модели управления запасами с
фиксированным временем задержки поставок
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]