Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
6.2.2 Одноканальная СМО с ожиданием
λ
µ
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток
заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью
Интенсивность потока обслуживания равна µ (т. е. в среднем непрерывно
занятый канал будет выдавать
обслуженных заявок). Длительность
обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону
распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским
потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится
в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на
вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые
клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не
попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец,
источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную
(бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.2.
λ
S0 S1
µ
λ
µ
S2
λ
µ
...
...
λ
µ
Sn
λ
µ
...
...
λ
SN
µ
.
Рис. 6.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S
- «канал свободен»;
0
S
- «канал занят» (очереди нет);
1
S
- «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
2
…………………………………………………….
S
- «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);
n
S
- «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в
N
данной системе будет описываться следующей системой алгебраических
уравнений:
==+⋅−
nPP
ψ
10
......................
......................
0,0
<<=⋅++⋅−−
ψψ
−+
nnn
11
0,0)1(
NnPPP
(6.10)
ψ
NN
,0
−
1
==⋅+−
NnPP
111
где
λ
ψ
−
ψ
λ
ψ
ψµλ
=
= ;
µ
n – номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (6.10) для нашей модели
СМО имеет вид
P
−
1
−
1
=
n
1
+
N
ψ
ψ
n
+
1
N
ψψ
=
ψ
.1,
=≠⋅
,...,2,1,0,1,
Nn
(6.11)
)1(
1
=
P
0
1
−
ψ
(6.12)
1
+
N
Тогда
n
0
ψψ
=≠⋅
,...,2,1,0,1,
NnP
=
P
n
1
+
)1(
N
ψ
=
.1,
Следует отметить, что выполнение условия стационарности
1<=
для
µ
данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую
систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди
(
которая не может превышать N
- 1), а
не соотношением между
интенсивностями входного потока, т. е. не отношением
.
Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и
ограниченной длиной очереди, равной (N
− вероятность отказа в обслуживании заявки
1
−
1
==
PP
Nотк
1
N
−
ψ
+
N
ψ
+
)1(
n
1
=
ψ
≠⋅
,1,
ψψ
.1,
- 1):
:
(6.13)
− относительная пропускная способность системы
1
1
−
1
Pq
=−=
отк
−
1
−
1
−
1
+
N
ψ
ψ
n
ψψ
≠⋅
+
1
N
=
ψ
.1,
,1,
(6.14)
)1(
:
112
− абсолютная пропускная способность:
λ
⋅
=
q
A
(
)
[
]
(
)
−
=
λ
λ
−
−
ψ
(6.15)
−
среднее число находящихся в системе заявок:
1
+
NN
⋅+⋅+−⋅
ψψψ
1
ψ
1,
≠
(6.16)
:
ψ
11
( )
11
1,2
=
N
∑
0
=
n
−
среднее время пребывания заявки в системе
W−=
S
−
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди
L
( )
1
λ
=⋅=
PnL
nS
N
S
(6.17)
P
N
( )
NN
+
N
−⋅−
ψψ
1
−=SqWW (6.18)
µ
− среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
:
1
WPL
(6.19)
qNq
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием
Пример 6.2
Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО.
Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно
и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три
автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на
обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику,
распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность λ = 0,85 (автомобиля в
час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в
среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики,
работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей:
µ
t
об
11
05,1
952,0
===
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение
интенсивностей λи µ, т.е.
ψ
µ
3. Вычислим финальные вероятности системы:
=
P
0
1
ψ
ψ
2
85,0
952,0
1
+N
−
ψ
01
2
0
893,0
===
=
.
893,01
893,01
−
2
248,0
≈
51
≈⋅=⋅= PP
;
221,0248,0893,0
198,0248,0893,0
≈⋅=⋅= PP
;
113
4
=⋅=⋅=
λ
(
)
[
]
(
)
[
]
()(
)
∞→N
∞→t
,...2,1,
0=n
∞→t
,...2,1,
0=n
(
)
ψ
ψ
−
=
,...2,1,
0=n
λ
ψ
11
=
473,2
3
4
158,0
≈⋅== PPP
0
( )
11
−⋅−
ψψ
77,1
−
177,0248,0893,0
≈⋅=⋅= PP
≈⋅=⋅= PP
.
842,0158,011 =−=−=
716,085,0842,0
⋅+⋅+−⋅
NN
ψψψ
1
++N
158,0185,0
1
952,0
;
158,0248,0893,0
.
автомобиля в час
):
1
NN
=
( )
473,2
≈
423,1
=−=−=
часа
часа
.
)
54
893,04893,0141893,0
⋅+⋅+−⋅
( )
−⋅−
:
5
893,01893,01
=
3
ψ
2
4
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
отк
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
qA (
7.
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди
системе массового обслуживания
=
L
S
8.
Среднее время пребывания автомобиля в системе
=
W
S
9.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание
0
4
ψ
0
ψ
4
Pq .
отк
( )
L
S
( ) ( )
1
−
P
λ
WW
N
1
Sq
µ
77,1
(т.е. в
.
:
10.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди
λ
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так
как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в
0,158).
WPL
qNq
02,1423,1158,0185,01 =⋅−⋅=−=
):
.
15,8%
случаев
Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди
Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без
ограничения на вместимость блока ожидания (т. е.
) Остальные условия
функционирования СМО остаются без изменений.
Стационарный режим функционирования данной СМО существует при
для любого
уравнений, описывающих работу СМО при
вид
µλ
10
+−
11
( )
==⋅+⋅−
0,0
nPP
µλµλ
и когда
nnn
nPPP
λ < µ.
Система алгебраических
для любого
(6.20)
>=⋅+−⋅+⋅
0,0
(
P
отк
,
имеет
=
Решение данной системы уравнений имеет вид
P
n
где 1<=
1 ,
n
(6.21)
.
µ
114
Если
<
ψ
>
ψ
ψ
µ
1
, то очередь будет уменьшаться, если
1
, то очередь растет до
бесконечности
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на
длину очереди, следующие:
− среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на
обслуживание:
∞
=⋅=
∑
=
PnL
nS
01n
(6.22)
−
ψ
− средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
L
W (6.23)
S
S
1
[ ]
( )
ψµλ
−⋅==1
− среднее число клиентов в очереди на обслуживании:
2
=−=
( )
1
ψ
( )
:
);
ψ
ψ
−
:
ψµ
−⋅==1
6.2,
);
);
;
где речь идет о
.
(на
обслуживании и в
.
(на
λ
LL (6.24)
Sq
µ
−
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди
L
W (6.25)
q
q
Пример 6.3
Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере
функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики
располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на
обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных
характеристик
− вероятности состояний системы (поста диагностики
− среднее число автомобилей, находящихся в системе
− среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе
− среднее число автомобилей в очереди на обслуживании
− среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди
[ ]
λ
очереди
обслуживании и в очереди
Решение
1.
автомобилей
=0,952; ψ=0,893.
2.
Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P
0
1
P ;
2
P
3
Параметр потока обслуживания
ψ
определены в примере
107,0893,011
ψ
ψψ
ψψ
=−=−=
;
096,0893,0)893,01()1(
=⋅−=⋅−=ψψP
22
=⋅−=⋅−=
33
=⋅−=⋅−=
µ и
6.2:
;
085,0893,0)893,01()1(
076,0893,0)893,01()1(
;
115
приведенная интенсивность потока
44
ψ
ψ
=⋅=⋅=
λ
068,0893,0)893,01()1(
P ;
4
P
5
Следует отметить, что
ψψ
ψψ
P определяет долю времени, в течение которого пост
0
диагностики вынужденно бездействует
составляет
3.
Среднее число автомобилей, находящихся в системе
очереди
=
L
S
4.
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе
W
S
5.
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание
6.
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди
=
W
q
10,7%,
так как
P
= 0,107.
0
):
893,0
=
1
−
ψ
L
S
==
[ ]
λ
LL .
Sq
µ
−
( )
1
=−=
( )
1
893,01
1
−⋅
ψµλ
ψ
−
ψ
=
( )
[ ]
1
−⋅
ψµ
346,8
=
ед.
=
[ ]
893,0
=
−
893,0
−⋅
=⋅−=⋅−=
55
=⋅−=⋅−=
1
( )
893,01952,0
−⋅
22
453,7
=
)893,01(
=
)893,01(952,0
061,0893,0)893,01()1(
766,8
и т.д.
(
простаивает
817,9
=
час
.
час
). В
.
:
нашем примере она
(на
обслуживании и в
:
:
7.
Относительная пропускная способность системы
:
q = 1
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена
8.
Абсолютная пропускная способность
qA
85,0185,0
.
:
.
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей
прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики
при снятии ограничения на длину очереди
.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих
автомобилей было равно трем (см. пример
6.2).
Частота т возникновения ситуаций
когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности
присоединиться к очереди
Pm ⋅=
λ
.
N
В нашем примере при
4
ψλ
Pm
N
:
N = 3 + 1 = 4 и ψ= 0,893
134,08934,0284,085,0
=⋅⋅=⋅⋅=
автомобиля в час
При
12-
часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост
диагностики в среднем за смену (день) будет терять
12 • 0,134 = 1,6
автомобиля
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество
обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на
1,6
автомобиля за смену
работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади
для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться
на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при
наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей
.
,
,
.
(12ч.
116
6.3 Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и
1>n
λ
µ
µ
экспоненциальным распределением длительности обслуживания
В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового
обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n
обслуживающими каналами (где
) представляют несомненный интерес
.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью
характеризуется интенсивностью входного потока
может
обслуживаться
не
более
n клиентов
λ,
при этом параллельно
(
заявок
).
Средняя
1
продолжительность обслуживания одной заявки равняется
. Входной и
µ
выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того
или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования
других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры
обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной
экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n
параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении
(по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований
за счет обслуживания одновременно n клиентов.
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с
отказами имеет вид, показанный на рис. 6.3.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого
,
состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью
Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого
правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от
состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии
заняты), то она может перейти в состояние
S
(один канал занят), когда
1
S
(два канала
2
закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная
интенсивность их потоков обслуживаний будет
поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния
S
, будет иметь интенсивность
2
3
, т.е. может освободиться любой из трех
2
. Аналогично суммарный
S
(три канала заняты) в
3
каналов и т.д.
λ
S0 S1
µ
λ
2µ
S2
λ
3µ
...
...
λ
kµ
Sk
λ
(k+1)µ
...
...
λ
Sn
nµ
Рис. 6.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
.
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S
- все каналы свободны;
0
117
S
=
=+===
=
k
!
λ
ψ
!Pn
- занят один канал, остальные свободны;
1
…………………………………………………….
S
- заняты ровно k каналов, остальные свободны;
k
…………………………………………………….
S - заняты все n каналов, остальные свободны;
n
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы
PPP
0
,...,,...,
dP
dt
будет иметь следующий вид
nk
0
⋅+⋅−=
PP
µλ
10
:
dP
k
dt
dP
n
dt
..............................
−≤≤⋅+⋅+⋅⋅+−⋅=
nkPkPkP
11,)1()(
µµλλ
+−
kkk
11
(6.26)
...............................
⋅⋅−⋅=
µλ
−
1
PnP
nn
Начальные условия решения системы таковы
P , 0)0(...)0(...)0()0(
0
1)0(
21
Стационарное решение системы имеет вид
k
ψ
k
k
k
n
ψ
ψ
!
k
0
k
!
=⋅==
,...,2,1,0,
∑
k
!
=
k
0
1
0
k
n
ψ
==
nk
,...,2,1,0,
∑
=
k
0
.
Это приведенная интенсивность потока заявок или интенсивность
где
P
P
=
PPPP .
nk
nkP
(6.27)
:
:
µ
нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее
время обслуживания одной заявки
Формулы для вычисления вероятностей
Эрланга
.
.
kP
называются формулами
6.3.1 Многоканальная СМО с отказами
Определим
вероятностные
характеристики
многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме
− вероятность отказа
n
ψ
отк
PP
n
⋅==
0
:
, (6.28)
118
функционирования
:
так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов
!
n
−⋅=⋅=
λ
λ
λ
!
1
ψ
!
2
заняты. Величина
P
характеризует полноту обслуживания входящего потока;
отк
− вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же -
относительная пропускная способность системы q) дополняет
единицы:
n
ψ
Pq
−
абсолютная пропускная способность
−
среднее число каналов, занятых обслуживанием
n
∑
=
k
1
Величина
Пример 6.4
Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n
= 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач,
поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ = 1 задаче в час. Средняя
11 P
отк
ψ
k
характеризует степень загрузки СМО
⋅−=−=
(6.29)
0
)1(
PqA
(6.30)
отк
−⋅=⋅=
PPkk
)1(
. (6.31)
откk
(k)
следующее
.
P
до
отк
:
продолжительность обслуживания
поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Требуется вычислить финальные значения:
− вероятности состояний ВЦ;
− вероятности отказа в обслуживании заявки;
− относительной пропускной способности ВЦ;
− абсолютной пропускной способности ВЦ;
− среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.
Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить
пропускную способность ВЦ в 2 раза.
Решение
1. Определим параметр µ потока обслуживании:
µ
t
обсл
2. Приведенная интенсивность потока заявок
ψ
µ
3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (6.27):
11
1
555,0
555,0
===
8,1
===
8,1
.
t = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и
обсл
8,1
PPP ⋅=⋅=
;
001
2
ψ
2
62,1
PPP ⋅=⋅=
;
00
119
3
!
3
=⋅=⋅=
λ
!Pn
ψ
3
97,0
PPP ⋅=⋅=
00
;
1
=
P
0
=
k
3
ψ
1
97,062,18,11
+++
186,0
≈
;
∑
!
k
0
=k
344,0186,08,1
1
2
3
4.
Вероятность отказа в обслуживании заявки
отк
5.
Относительная пропускная способность ВЦ
Pq
отк
6.
Абсолютная пропускная способность ВЦ
≈⋅≈P
18,0
== PP
3
qA
7.
Среднее число занятых каналов
;
301,0186,062,1
≈⋅≈P
≈⋅≈P
;
18,0186,097,0
.
.
82,018,011
=−=−=
82,082,01
.
.
–
ПЭВМ
ψ
Pk
отк
476,1)0181(8,1)1( =−⋅=−⋅=
.
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято
1,5
компьютера из трех
-
остальные полтора будут простаивать. Работу
рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не
обслуживает заявки в среднем в
пропускную способность ВЦ при данных
увеличения числа ПЭВМ
.
18%
случаев
λ и µ
(
P
= 0,180).
3
можно увеличить только за счет
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число
необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в
в решении задач не превосходили
n
отк
ψ
⋅=
0
P
Составим следующую таблицу
0,0180.
:
10
раз, т.е. чтобы вероятность отказа
Для этого используем формулу
n 1 2 3 4 5 6
P
0
P
отк
0,357 0,226 0,186 0,172 0,167 0,166
0,643 0,367 0,18 0,075 0,026 0,0078
6.3.2 Многокональная СМО с ожиданием
Очевидно, что
(6.28):
Многоканальная СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди
Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с
ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется
следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с
интенсивностями λ и µ соответственно; параллельно обслуживаться могут не
более S клиентов. Система имеет S каналов обслуживания. Средняя
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]