Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
− целевая функция:
+
=
≥
≥
=
+
=
=
xcxcZ
(2.9)
2211max
−
ограничения
0
x
;
1
x
2
:
≤+
bxaxa
1212111
≤+
bxaxa
2222121
; (2.10)
..........................
≤+
bxaxa
mmm
2211
0
. (2.11)
Каждое из неравенств
(2.10) – (2.11)
системы ограничений задачи
геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными
прямыми
неравенств
2211
(2.10) – (2.11)
bxaxa
; ( mi ,1= ); 0
iii
x ; 0
1
x . В
2
том случае, если система
совместна, область ее решений есть множество точек
принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек
пересечения данных полуплоскостей
–
выпуклое, то областью допустимых
значений является выпуклое множество, которое называется многоугольником
решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых
получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на
знаки равенств
Областью допустимых решений системы неравенств
быть
:
−
выпуклый многоугольник
−
выпуклая многоугольная неограниченная область
−
пустая область
−
луч
−
отрезок
.
(2.10) – (2.11)
может
;
;
;
;
;
,
−
единственная точка
Целевая функция
(2.9)
прямых, каждой из которых соответствует определенное значений Z
Вектор
прямым
);(
,
указывает направление наискорейшего возрастания Z
ссС =
21
противоположный вектор
.
определяет на плоскости семейство параллельных
.
с координатами
–
направление убывания Z
с
и
с ,
1
перпендикулярный к этим
2
.
,
Если в одной и той же системе координат изобразить область допустимых
решений системы неравенств
(2.9), то
задача определения максимума функции Z сведется к нахождению в
допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Z
const, и
которая соответствует наибольшему значению параметра Z
(2.10) – (2.11) и
семейство параллельных прямых
=
.
Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на
нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из
21
а
вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное
=+=
значение.
Для определения данной вершины построим линию уровня
0
xcxcZ ,
2211
проходящую через начало координат и перпендикулярную
вектору
до тех пор, пока она не коснется последней крайней
);(
ссС = , и
21
будем передвигать ее в направлении вектора
(
угловой) точки
);(21ссС =
многоугольника решений. Координаты указанной точки и определяет
оптимальный план данной задачи
Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи
(2.11),
изображенные на рис
отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи
. 2.1 – 2.4.
.
Рис
. 2.1
(2.10) –
характеризует такой случай, когда
целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А
Из рис
любой точке отрезка АВ
. 2.2
видно, что максимальное значение целевая функция принимает в
.
,
.
Рис
. 2.1.
Оптимум функции
достижим в точке А
Z
Рис
. 2.2.
Оптимум функции
достигается в любой точке
Z
[A,B]
На рис
. 2.3
изображен случай, когда максимум недостижим, а на рис
. 2.4. –
случай, когда система ограничений задачи несовместна. Отметим, что
нахождение минимального значения Z при данной системе ограничений
отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях
лишь тем, что линия уровня
);(21ссС = , а в
противоположном направлении. Таким образом, отмеченные
Z
передвигается не в направлении вектора
выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения
целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения
22
.
=+=
+
=
С
Рис. 2.3. Оптимум функции Z
недостижим
Для
практического
на основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее:
решения задачи линейного программирования (2.9) – (2.11)
Рис. 2.4. Область допустимых
решений – пустая область
1) Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены
в ограничениях (2.10) – (2.11) знаков неравенств на знаки равенств.
2) Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений.
3) Определить многоугольник решений.
4) Построить вектор
5)
Построить прямую
0
координат и перпендикулярную вектору
6)
Передвигать прямую
результате чего либо находят точку
принимает
максимальное
);(21ссС = .
xcxcZ ,
2211
С.
xcxcZ
в
2211
(
значение
проходящую через начало
направлении вектора
точки
,
), в
либо
которой функция
устанавливают
, в
неограниченность функции сверху на множестве планов
7)
Определить точки координаты максимума функции и вычислить
значение целевой функции в этой
Пример 2.2 Определение оптимального ассортимента продукции
Предприятие изготавливает два вида продукции оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья - А и
В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц
соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида
табл. 2.1.
точке.
23
П
1
и
П
.
, которая поступает в
2
П
и вида
1
П
2
дан в
Табл. 2.1. Расход сырья продукции
Расход сырья на 1 ед. продукции
Сырье
П
1
А 2 3 9
В 3 2 13
П
2
Запас сырья, ед.
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию
спроса на продукцию
продукцию
П
никогда не превышает 2 ед. в сутки.
2
П
более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на
2
Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. - для
П
никогда не превышает
1
П
и 4 д.е. для
1
П
.
2
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы
доход от реализация продукции был максимальным?
Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции геометрическим способом
Решение
Предположим, что предприятие изготовит
продукции
П
. Поскольку производство продукции
2
x
единиц продукции
1
П
1
и
П
и
x
1
П
2
ограничено
2
единиц
имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на
данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не
может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:
932
≤+ xx
;
21
1323
≤+ xx
;
21
121≤− xx
;
22≤x
;
01≥x
;
02≥x
.
Доход от реализации
составит
x
единиц продукции
1
43 xxF +=
.
21
П
1
и
x
единиц продукции
2
П
2
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех
неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти
такое, при котором функция F принимает максимальное значения
F
max
.
Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации
производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в
этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость,
номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.
Построим многоугольник решений (рис. 2.5). Для этого в системе координат
0ХХ
21
на плоскости изобразим граничные прямые:
932
=+ хх
(
21
1323
=+ хх
21
22=х
(
(
121=− хх
(3L );
L
);
1
L
);
2
L
).
4
Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую
полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости,
определяемые неравенствами, на рис. Показаны стрелками. Областью решений
является многоугольник OABCD.
24
Для построения прямой
точку
0
проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z
перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора
032
=+= ххZ
строим вектор-градиент
21
С. Из
)4;3(=C и
через
= 0
рис. следует, что
по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке C
где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении
прямых
Оптимальный план задачи
линейную функцию, получим
max
Полученное решение означает, что объем производства продукции П
равен
Z
= 12,8 д.е.
L
и
L. Для определения ее координат решим систему уравнений
1
=+
;932
хх
21
=−
.1
хх
21
2,4 ед., а
3
8,124,144,23
=⋅+⋅=Z
.
продукции П
:
– 1,4 ед.
2
:
4,21=х
;
4,12=х
.
Подставляя значения
х
1
должен быть
1
Доход, получаемый в этом случае, составит
и
х
в
2
,
:
Рис. 2.5. Решение задачи линейного программирования
геометрическим способом
2.3 Анализ моделей на чувствительность
Анализ моделей на чувствительность – это процесс, реализуемый после
получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется
чувствительность оптимального решения к определенным изменениям
исходной модели. В задаче об ассортименте продукции (пример 2.2) может
представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение
увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запасов исходного сырья.
25
Возможно, также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное
решение.
При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных
оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность,
позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных
изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение.
Динамические характеристики моделей фактически отображают аналогичные
характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов,
позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на
оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое)
решение устареет еще до своей реализации. Для проведения анализа модели на
чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.
Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на примере 2.2.
Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов.
После нахождения оптимального решения представляется вполне
логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении изменение запасов
ресурсов. Для этого необходимо ответить на два вопроса:
1) На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения
полученного оптимального значения целевой функции Z?
2) На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении
полученного оптимального значения целевой функции Z?
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифицируем
ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие
(неактивные) ограничения. Прямая, представляющая связывающее
ограничение, должна проходить через оптимальную точку, в противном случае,
соответствующее ограничение будет несвязываюшим. На рис. 2.5
связывающими ограничениями являются ограничения (1) и (3), представленные
прямыми
L
и
L
1
соответственно, т.е. те, которые определяют запасы исходных
3
ресурсов. Ограничение (1) определяет запасы сырья А. Ограничение (3)
определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.
Если некоторое ограничение является связывающим, то
соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он
используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее
ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т.е.
имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими
ограничениями являются (2) и (4). Следовательно, ресурс - сырье В недефицитный, т.е. имеется в избытке, а спрос на продукцию
П
не будет
2
удовлетворен полностью (в таблице - ресурсы 2 и 4).
При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений
определяются: 1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного
26
ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение, и 2)
предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не
изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.
В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую
продукцию
П
1
и
П
являются дефицитными ресурсами (в таблице - ресурсы 1,
2
3).
Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 2.6 при увеличении запаса
этого ресурса прямая
К, в которой пересекаются линии ограничений
L
перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки
1
L
,
L
и
L
2
3
. В точке К
4
ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению
при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений
становится многоугольник AKD0. В точке К ограничение (1) (для ресурса А)
становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса
соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на
оптимальное решение.
Рис. 2.6. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного
программирования (изменение ресурса А)
Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того
предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным,
т.е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный
уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты
точки К, в которой пересекаются прямые
L , 3L и 4L , т.е. находится решение
2
системы уравнений
27
=+
−
1323
x
xx
21
=−
1
xx
21
=
2
2
.
В результате получается
x
= 3 и
1
x
= 1. Затем, путем подстановки
2
координат точки К в левую часть ограничения (1), определяется максимально
допустимый запас ресурса А:
12233232
=⋅+⋅=+ xx
21
.
Рис. 2.7 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об
изменении соотношения спроса на продукцию
П
1
и
П
.
2
Рис. 2.7. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного
программирования (изменение спроса на продукцию)
Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые
L
и
L
1
. Координаты данной точки находятся путем решения системы
2
уравнений (1) и (2) следующим образом:
=+
932
В результате получается
продукцию
xx
= 4,2 -0,2= = 4 ед.
21
Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию
влиять на оптимальное решение
xx
21
xx
21
П
=+
не
1
.
1323
1x = 4,2; 2x = 0,2,
причем суточный спрос на
должен превышать спрос на продукцию
П
на
2
П
и
П
1
.
28
величину
не
будет
2
Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих
≤
≤
+
=⋅+⋅=
+
≤
+
ограничений. Ограничение (4)
продукцию
прямую
2П . Из
4L (АВ)
рис
. 2.7
следует, что, не изменяя оптимального решения
можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С
Так как точка С имеет координаты
продукцию
полученного решения
Рассмотрим ограничение
П до величины
2
.
2x = 1,4
(2) 1323
ограничение на недефицитный ресурс
запасы сырья В
-
можно уменьшать до тех пор, пока прямая
точки С. При этом правая часть ограничения
xx ,
21
1023
xx .
21
Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное
104,124,2323
что позволяет записать это ограничение в виде
2
x
2
фиксирует предельный уровень спроса на
1x = 2,4; 2x = 1,4
никак не повлияет на оптимальность ранее
xx ,
21
-
сырье В. И в этом случае правую часть
уменьшение спроса на
которое представляет собой
2L не
(2)
станет равной
решение не измените, если суточный запас ресурса В уменьшить на
Результаты проведенного анализа можно свести в следующую таблицу
Максимальное
достигнет
3 ед.
,
.
-
:
:
Ресурс
1 (А)
2 (В)
3
4
Максимальное
Тип ресурса
изменение запаса
ресурса, ед
дефицитный
недефицитный
дефицитный
недефицитный
12 – 9 = +3 17 – 12,8 = +4,2
10 – 13 = -3 12,8 – 12,8 = 0
4 – 1 = +3 13,4 – 12,8 = +0,6
1,4 – 2 = -0,6 12,8 – 12,8 = 0
.
увеличение
дохода от
изменения
ресурса, у.д.е
.
Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса.
В задаче
1
анализа на чувствительность мы исследовали влияние на
оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов. При ограничениях
связанных с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать
вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении
дополнительных средств? Для этого вводится характеристика ценности каждой
дополнительной единицы дефицитного
ресурса
,
выражаемая через
,
соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую
характеристику
для
рассматриваемого
примера
можно
получить
непосредственно из таблицы, в которой приведены результаты решения задачи
1 на
чувствительность. Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i
через
y. Величина
i
y определяется из соотношения
i
29
yi=
3
3
3
+
=
.
iресурсаприростдопустимыйомаксимальн
Результаты расчета ценности единицы каждого из ресурсов представлены
в следующей таблице:
Ресурс i Тип ресурса Значение i
Zприращениеоемаксимальн
4,1
4,1
=
1 (А) дефицитный
2 (В) недефицитный
3 дефицитный
4 недефицитный
0
−
6,0
0
−
0
=
2,0
=
0
=
6,0
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные
вложения в первую очередь следует направить на увеличение ресурса А и лишь
затем - на формирование соотношения спроса на продукцию
П
. Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их
2
П
и продукцию
1
объем увеличивать не следует.
Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой
функции.
Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон
прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат.
Вариация коэффициентов целевой функции может привести к изменению
совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или
иного ресурса (т.е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот).
При анализе модели ни чувствительность к изменениям коэффициентов
целевой функции необходимо исследовать следующие вопросы:
1) Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой
функции, при котором не происходят изменения оптимального
решения?
2) На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой
функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным,
и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?
Ответим на поставленные вопросы на нашем примере.
Рассматривая первый вопрос, обозначим через
от продажи единицы продукции
П
1
и
П
соответственно. Тогда целевую
2
с
и
с
1
доходы предприятия
2
функцию можно представить в следующем виде:
xcxcZ
2211
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]