Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
продолжительность обслуживания одного клиента равна -
⋅++⋅⋅+−⋅=
µµλ
λ
<
≤
<
≤
ψ
+
=
.
µ
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с
ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью
системы алгебраических уравнений:
,)1()(0
1
Решение системы уравнений
n
P
P
ψ
⋅=
,
P
n
n
0
!
n
n
ψ
−
Sn
!
SS
⋅=
,
P
0
где
1
−
P
S
∑
0
0
!
=
n
n
ψψ
+=
1!
−
S
при
при
Sn
ψ
1
⋅⋅+⋅⋅+−⋅=
PSPSP
µµλλ
(6.32)
Sn
PnPnP
11
+−
nnn
.)(0
11
+−
nnn
имеет вид
1
(6.33) (6.34)
Sn
≥
1
−
(6.35)
S
Snпри
(6.32)
Snпри
≥
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие
µ
λ
⋅ S
1<
,
где S
–
число каналов
.
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном
режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью
определяются по следующим формулам
:
− вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании
определяется по формулам
− среднее число клиентов в очереди на обслуживание
=
( )
S
S
−
L ⋅
−
среднее число находящихся в системе клиентов
ψ
⋅
ψ
P
(6.36)
Sq
2
обслуживание и в очереди
LL (6.37)
qS
−
средняя продолжительность пребывания клиента
(6.33) и (6.34);
)
(
заявок на
(
заявки на
:
,
обслуживание) в очереди
L
W =
q
q
(6.38)
λ
121
− средняя продолжительность пребывания клиента в системе
λ
λ
λ
1
+=qSWW (6.39)
µ
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с
ожиданием.
Пример 6.5
Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт
малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, -
пуассоновский и имеет интенсивность λ = 2,5 механизма в сутки, среднее время
ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно t = 0,5
сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь
механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных
характеристик системы:
− вероятности состояний системы;
− среднее число заявок в очереди на обслуживание;
− среднее число находящихся в системе заявок;
− среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
− среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
1. Определим параметр потока обслуживаний
11
2
µ
t
===
5,0
2. Приведенная интенсивность потока заявок
5,2
25,1
ψ
µ
при этом 41,03
Поскольку
===
,
2
5,2
=⋅=⋅ S
µ
2
.
<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает
S⋅
µ
предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
1
−
1
−
P
∑
0
!
n
0
=
n
S
ψψ
+=
1!
S
Sn
=
ψ
−
S
1
1
+++
!2!1
=
ψ
1
1
ψψ
+++
2
16
−
ψ
=
25,11
3
1
25,1
+++
2
16
=
321
ψψψ
ψ
1!3
−
3
=
3232
25,1
25,1
−
3
;
279,0
122
!
1
1
!
2
!
2
!
3
!
3
!
4
!
4
<
≤
!Pn
n
ψ
1
0
349,0279,025,1
=⋅=⋅= PP
;
2
ψ
2
ψ
3
ψ
4
4.
Вероятность отсутствия очереди у мастерской
оот
5.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание
=
L
6.
Среднее число находящихся в системе заявок
7.
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
W
q
0
3
0
4
0
⋅
S
ψ
( ) ( )
−
S
ψ
ψ
LL .
qS
L
q
λ
2
25,1
3
25,1
4
25,1
218,0279,0
=⋅=⋅= PP
=⋅=⋅= PP
=⋅=⋅= PP
;
091,0279,0
;
028,0279,0
.
937,0091,0218,0349,0279,0
3210.
=+++≈+++= PPPPP
.
=⋅
P
Sq
⋅
−
25,13
22
25,13
=⋅
.
111,0091,0
361,125,1111,0 =+=+=
111,0
044,0
===
суток
.
5,2
8.
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе
1
WW
qS
µ
044,0
1
544,0
=+=+=
суток
.
2
)
Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди
Конечные формулы приведены ниже.
(N -1) – ограничение очереди.
− предельные вероятности
1
−
1
−
N
ψ
(6.40)
n
1
Snпри
(6.41) (6.42)
Snпри
≥
P
0
P
P
1
+
n
ψ
+=
n
ψ
⋅=
P
n
ψ
n
0
!
n
+
Sn
⋅=
S
!
nn
P
ψ
1
1
−
n
1!
−⋅
nn
,
,
0
−
вероятность отказа
ψ
PP
абсолютная пропускная способность
−
==
)1(отк
Nn
−+
N
−
1
Nn
−+
(6.43)
1
0
⋅
123
−+
!
n
n
⋅
1
ψ
Nn
−
1
N
⋅
−==
qA
1 P
λλ
(6.44)
0
!
nn
− относительная пропускная способность
1
Nn
−+
ψ
Pq
11 P
отк
−=−=
(6.45)
1
N
−
0
− среднее число клиентов в очереди на обслуживание
1
−
N
1
=
n
ψ
=
L
q
−
среднее число занятых каналов
ψ
−=
k
1 P
ψ
−
среднее число заявок в системе
kLL
+=
qS
0
−+
Nn
−
1
N
⋅
nn
1
( )
11
−−−
NNP
ψ
1!
−⋅
nn
n
(6.47)
0
!
(6.48)
2
ψψ
nn
(6.46)
СМО с ограниченным временем ожидания
На практике часто встречается СМО с так называемыми «нетерпеливыми
заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает
некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных
технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может
привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления
когда срочные сообщения теряют ценность
поступают на обслуживание в течение определенного времени
(
или даже смысл
),
если они не
.
В простейших математических моделях таких систем предполагается, что
заявка может находиться в очереди на случайное время, распределенное по
показательному закону с некоторым параметром
ν, т.е.
можно условно считать
что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть
систему с интенсивностью
ν.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным
временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и
размножения
.
6.4 Модель обслуживания машинного парка
»
,
,
Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель
замкнутой системы массового обслуживания
.
Для замкнутых СМО характерным считается ограниченное число
источников заявок, причем каждый источник
обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок
«
блокируется» на время
).
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового
124
обслуживания, для которых интенсивность λ входящего потока заявок не
λ
⋅
−
)(k
N
Nk,...,2,1,
0
=
(
)
≤≤⋅
−
λ
≤≤⋅
µ
зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является
внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток
требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых λ
зависит от состояния системы, при чем источник требований является
внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.
Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин,
бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться
только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований
(заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами.
Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому
назначению и становится потенциальным источником возникновения
требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность λ зависит от того,
сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - k) и сколько
машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (k).
В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать
ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа
эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени
выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N - k)
находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с
интенсивностью λ независимо от других объектов, общий (суммарный)
входящий поток имеет интенсивность
. Требование, поступившее в
систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на
обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием
других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет
пока один из каналов не станет свободным
.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий
поток требований формируется из выходящего
Состояние
S
системы характеризуется общим числом требований
k
находящихся на обслуживании и в очереди, равным
замкнутой системы, очевидно
в состоянии
Если
kS , то
λ -
интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то
число объектов, находящихся в эксплуатации, равно
,
.
k.
Для рассматриваемой
.
При этом если система находится
(N - k).
:
,
,
NkkN
;
λ
=
k
.0
0,
>
Nk
,0,
Rkk
µ
=
k
µ
≤≤⋅
,,
NkRR
>
.,0
Nk
125
Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО
+⋅⋅−=
ψ
Nk,...,2,1,
0
=
N
R
в стационарном режиме, выглядит следующим образом:
;0
ψ
−
1
PPN
00
( )
[ ]
[ ]
( )
⋅−⋅=
.0
PRP
NN
ψψ
ψψ
+−
11
kkk
0,)1()1(0
+−
11
kkk
,)1(0
<<⋅++⋅+⋅−−⋅⋅+−=
RkPkPkkNPkN
<≤⋅+⋅+⋅−−⋅⋅+−=
NkRPRPRkNPkN
(6.49)
Решая данную систему, находим вероятность k-гo состояния
k
ψ
⋅
N
=
P
k
Величина
результатов по формулам
вероятностные характеристики системы
!
<≤⋅
1,
−⋅
kNk
⋅
N
!
−
Rk
P
0
0
)!(!
k
ψ
−⋅⋅
kNRR
)!(!
определяется из условия нормирования
(6.41)
RkP
(6.50)
≤≤⋅
,
0
для
NkRP
P
,
k
:
− среднее число требований в очереди на обслуживание
N
⋅−=
∑
=
Rk
−
среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и
в очереди
N
⋅=
PkL
∑
=
R
1
−
среднее число механиков (каналов
работы
n
−
коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди
L
=
α
1
−
1
R
∑
=
0
k
q
(6.54)
PRkL )( (6.51)
kq
)
(6.52)
kS
), «
простаивающих» из-за отсутствия
⋅−=
)(
PkRR
(6.53)
k
:
P
∑
=Nk
.
Определим следующие
полученных
k
0
:
− коэффициент
α
2
−
коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков
α
3
−
среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания
N
R
n
=
(6.56)
L
S
−=
1
в очереди
1
W (6.57)
1
q
λ
−
⋅=
использования объектов (машин
(6.55)
)
)
)
α
2
1
2
−
µα
126
Пример 6.6
λ
Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два
инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного
компьютера - пуассоновский с интенсивностью λ = 0,2. Время обслуживания ПК
подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним
инженером составляет: t =1,25 час.
Возможны следующие варианты организации обслуживания:
оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его
обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;
каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом
случае R = 1, N = 5.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслуживания ПК.
Решение
1. Вычислим параметр обслуживания
µ
11
25,1
t
8,0
===
.
2. Приведенная интенсивность
2,0
25,0
ψ
µ
===
.
8,0
3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации
обслуживания ПК.
Вариант 1
1. Определим вероятности состояний системы:
=
P
k
= ;
1
=
2
=
3
=
4
=
5
=
6
=
7
k
⋅
N
!
ψ
−⋅
N
−
Rk
1
25,0!10
⋅
)!110(!1
−⋅
⋅
22
−
⋅
23
−
⋅
24
−
⋅
25
−
⋅
26
−
⋅
27
−
0
kNk
)!(!
k
⋅
!
ψ
−⋅⋅
kNRR
)!(!
5,2
2
25,0!10
)!210(2!2
−⋅⋅
3
25,0!10
)!310(2!2
−⋅⋅
4
25,0!10
)!410(2!2
−⋅⋅
5
25,0!10
)!510(2!2
−⋅⋅
6
25,0!10
)!610(2!2
−⋅⋅
7
25,0!10
)!710(2!2
−⋅⋅
<≤⋅
1,
RkP
≤≤⋅
,
0
PPP ⋅=⋅
00
812,2
812,2
461,2
864,1
154,1
577,0
NkRP
PPP ⋅=⋅
;
00
PPP ⋅=⋅
;
00
PPP ⋅=⋅
;
00
PPP ⋅=⋅
;
00
PPP ⋅=⋅
;
00
PPP ⋅=⋅
;
00
127
8
10
N
R
25,0!10
10
=
8
=
6
=
⋅
28
−
⋅
29
−
⋅
210
−
)!810(2!2
−⋅⋅
9
25,0!10
)!910(2!2
−⋅⋅
10
25,0!10
)!1010(2!2
−⋅⋅
216,0
PPP ⋅=⋅
;
00
054,0
PPP ⋅=⋅
;
00
007,0
PPP ⋅=⋅
;
00
Учитывая, что
N
∑
k
0
=
k
Откуда
Тогда
065,0
037,0
≈P
7
=P
0
; 014,0
8
P
=1 и
∑
k
=Nk
0
используя результаты расчета
P, вычислим
k
1007,0...812,2812,25,2
=⋅++⋅+⋅+⋅+=
PPPPPP
.
00000
.
162,01≈P
;
≈P
183,02≈P
; 003,0
≈P
9
; 182,0
≈P
3
; 000,0
≈P
10
;
16,04≈P
; 11,0
≈P
5
.
− Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание
⋅−=
):
kS
PRkL
kq
42,1021,0084,0
=++
(на
обслуживании и в
7654321
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
PPPPPPPPkL
7654321
11,0516,04182,03183,02162.01098
PPP
1098
11,3010003,09014,08037,07075,06
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅
∑
=NRk
−
Определим среднее число ПК, находящихся в системе
очереди
N
⋅=
∑
1
=
R
P
:
0
; 075,0
≈P
6
:
075,0)26(11,0)25(16,0)24(182,0)23(0)(
+⋅−+⋅−+⋅−+⋅−+=
185,03,033,032,0182,0003,0)29(014,0)28(037,0)27(
+++++=⋅−+⋅−+⋅−+
;;
−
Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы
1
−
R
∑
n
0
=
k
−
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий
L
α
−
α
q
1
Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле
−=
2
−
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так
R
n
=
α
3
−
Среднее время ожидания ПК обслуживания
W
q
Вариант
.
1
⋅=
λ
2
⋅−=
k
42,1
L
S
N
142,0
===
11
.
11,3
−=
10
689,0
=
.
PPPkRR
10
1
−
α
2
2
11
µα
2,0
689,01
−
⋅=−
689,0
1
01,1
=−
час
.
8,0
292,0162,01065,02)12()02()(
=⋅+⋅=⋅−+⋅−=
.
:
:
:
:
128
Определим вероятности состояний системы:
5
N
1
R
=
P
k
=
1
=
2
⋅
= ;
3
⋅
= ;
4
5
N
∑
k
0
=
k
Откуда
199,00=P .
k
⋅
N
!
ψ
−⋅
N
−
Rk
1
25,0!10
⋅
)!15(!1
−⋅
25,0!5
⋅
12
−
3
25,0!5
)!35(
−
4
25,0!5
)!45(
−
5
0
kNk
)!(!
k
⋅
!
ψ
−⋅⋅
kNRR
)!(!
25,1
2
)!25(2!1
−⋅⋅
938,0
469,0
117,025,0!5 PPP ⋅=⋅⋅=
<≤⋅
1,
RkP
≤≤⋅
,
0
PPP ⋅=⋅
;
00
25,1
PPP ⋅=⋅
00
PPP ⋅=⋅
00
PPP ⋅=⋅
00
;
00
NkRP
;
1117,0469,0938,025,125,1
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
PPPPPPP
.
000000
Тогда
249,01≈P
;
249,02≈P
; 187,03≈P ;
093,04≈P
; 023,05≈P ;
−
Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково
⋅−=
∑
=NRk
−
Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди
рассчитывается так
N
⋅=
∑
1
=
R
−
Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы
1
−
R
∑
n
0
=
k
−
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди
L
α
−
α
q
1
Коэффициент использования компьютеров
L
−=
2
PRkL
kq
:
54321
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
PPPPPPkL
kS
199,0)01()(
⋅−=
k
994,0
199,0
===
=⋅−=
PPkRR
0
.
54321
8,1023,05093,04187,03249,02249,0
=⋅+⋅+⋅+⋅+=
:
S
N
8,1
11
−=
5
64,0
=
.
:
:
:
994,0023,0)15(093,0)14(187,0)13(249,0)12()( =⋅−+⋅−+⋅−+⋅−=
−
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров
R
α
3
Среднее время ожидания ПК обслуживания
−
199,0
n
199,0
===
.
:
:
129
α
α
α
α
α
1
1
W
Сведем полученные результаты по двум вариантам в следующую таблицу:
Итоговые вероятностные
характеристики
Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала
его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого
показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того,
что ПК и любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна
= 0,689 >
эффективнее, чем вариант 2.
⋅=
q
W
λ
1
2
3
, час
q
−
α
2
2
2
= 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК
2
Резюме
1
11
µα
2,0
64,01
−
⋅=−
64,0
0,142 0,199
0,689 0,64
0,146 0,199
1,01 1,56
56,1
=−
8,0
1 2
час.
Варианты
1
2
Из материала, изложенного в данной лекции, можно сделать следующие
выводы.
− Предметом теории массового обслуживания является установление
зависимости между факторами, определяющими функциональные
возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее
функционирования.
− Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в
случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом
поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в
распоряжении системы каналов обслуживания.
− Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида
являются: входной поток поступающих требований или заявок на
обслуживание; дисциплина очереди; механизм обслуживания.
− По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового
обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские.
− Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового
обслуживания, различают два основных вида СМО: системы с отказами и
системы с очередью.
− По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и
многоканальные.
Вопросы для самоконтроля
1.
Какие системы относятся к системам массового обслуживания?
2.
Что относится к основным компонентам системы массового
обслуживания?
3.
Что такое входной поток поступающих требований на обслуживание?
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]