Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и методы оптимизации. Учебное пособие
.pdf
4.
Что такое дисциплина очереди?
5.
Что такое механизм обслуживания?
6.
Какие СМО относятся к марковским?
7.
Приведите классификацию систем массового обслуживания.
8.
Перечислите возможные критерии эффективности функционирования
СМО.
9.
Приведите характеристику и основные рассчитываемые показатели
одноканальной модели.
10.
Приведите граф состояний одноканальной СМО с отказами.
11.
Приведите граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схему
гибели и размножения)
12.
Приведите характеристику и основные рассчитываемые показатели
многоканальной модели.
13.
Приведите граф состояний многоканальной СМО с отказами.
14.
В чем заключается особенность модели обслуживания машинного парка?
131
7 СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
7.1 Основные понятия
Возникновение теории управления запасами можно связать с работами
Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившимися в конце XIX – начале XX вв., в
которых исследовалась простая оптимизационная модель определении
экономичного размера партии поставки для складской системы с постоянным
равномерным расходом и периодическим поступлением хранимого продукта.
Запасами называется любой ресурс на складе, который используется для
удовлетворения будущих нужд.
Примерами запасов могут служить полуфабрикаты, готовые изделия,
материалы, различные товары, а также такие специфические товары, как
денежная наличность, находящаяся в хранилище. Большинство организаций
имеют примерно один тип системы планирования и контроля запасов. В банке
используются методы контроля за количеством наличности, в больнице
применяются методы контроля поставки различных медицинских препаратов.
Простейшая схема системы управления запасами выглядит следующим
образом (рис. 7.1):
Поставки ресурсов
Приход
Поставщик
Заказ на поставки
Склад, хранилище
Резервный запас
материальных средств
Анализ потребностей
Спрос, потребности
Рис. 7.1. Система управления запасами
Существуют причины, побуждающие организации создавать запасы:
1) дискретность поставок при непрерывном потреблении;
2) упущенная прибыль;
3) случайные колебания:
− в спросе за период между поставками;
Расход
− в объеме поставок;
− в длительности интервала между поставками;
4) предполагаемые изменения конъюнктуры:
− сезонность спроса;
− сезонность производства;
− ожидаемое повышение цен.
132
Имеются также причины, побуждающие предприятия стремиться к
минимизации запасов на складе:
1) плата за физическое хранение запаса;
2) потери в количестве запаса;
3) моральный износ продукта.
Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии
управления запасами, а также нормативного уровня запасов позволяет
высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов,
что, в конечном счете, повышает эффективность используемых ресурсов.
Рассмотрим основные понятия теории управления запасами.
Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в
простейшем случае – постоянным во времени) или случайным. Случайность
спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным
объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.
Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо
периодически через определенные интервалы времени, либо по мере
исчерпания запасов, т. е. снижения их до некоторого уровня.
Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании
запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в
момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при
достижении запасом заданного уровня – так называемой точки заказа.
Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами
предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно.
В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или
случайный интервал времени.
Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость
каждой поставки слагается из двух компонент – разовых затрат, не зависящих
от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих (чаще всего – линейно) от
объема партии.
Издержки хранения. В большинстве моделей управления запасами
считают объем склада практически неограниченным, а в качестве
контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом
полагают, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени
взимается определенная плата.
Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы
предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе.
Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с
простоем оборудования, неритмичностью производства и т. п. Эти убытки в
дальнейшем будем называть штрафом за дефицит.
133
Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на
)(t
A, )(t
B
)(t
R
)(t
a, )(t
b, )(t
r
)(t
a, )(t
b, )(t
r
−+=
0=t
складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более
сложных случаях рассматривается многоменклатурный запас.
Структура складской системы. Наиболее полно разработаны
математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и
более сложные структуры: иерархические системы складов с различными
периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена
запасами между складами одного уровня иерархии и т. п.
В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления
запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные
затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от
порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от
омертвления капитала и т. п.) и затраты на штрафы.
Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения
и расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное
значение.
Ниже рассматриваются простейшие модели управления запасами.
Пусть функции
запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени
и
выражают соответственно пополнение
[0, t].
В моделях управления запасами обычно используются производные этих
функций по времени
интенсивностями пополнения, расхода и спроса
Если функции
,
называемые соответственно
.
– не
случайные величины, то модель
управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них
носит случайный характер
меняются во времени, она называется статической, в противном случае
–
стохастической. Если все параметры модели не
–
динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое
решение об уровне запасов на определенный период, а динамические
– в
случае
принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке
ранее принятых решении с учетом происходящих изменений
Уровень запаса в момент
0
где
0J –
начальный запас в момент
tBtAJtJ
t
определяется основным уравнением запасов
)()()(
(7.1)
.
.
Уравнение
Пример 7.1.
Интенсивность поступления деталей на склад готовой продукции цеха составляет в
начале смены 5 дет./мин, в течение первого часа линейно возрастает, достигая к
0
(7.1)
чаще используется в интегральной форме
tt
−+=
dttbdttaJtJ
)()()( (7.2)
∫∫
00
134
:
концу его 10 дет./мин, и затем остается постоянной. Полагая, что поступление
+
=
=
=
+⋅=
=
+
=
≤
≤
≤
≤
(
)
(
)
)(t
r
)(t
b
btb
=
)
(
θ
)
(
t
a
0)(
=
t
a
nta
=
)
(
b
n
J
=
)0(
деталей на склад происходит непрерывно в течение всех семи часов смены, а вывоз
деталей со склада производится только в конце работы, необходимо записать
выражение для уровня запаса в произвольный момент времени и, используя его,
найти количество деталей на складе: а) через 30 мин после начала работы; б) в конце
смены.
Решение.
По условию в течение смены не происходит выдачи деталей со склада, т. е.
Интенсивность пополнения запаса в течение первого часа линейно возрастает, т. е
600
42060
t ,
t
∫
0
60
0
bktta
Учитывая, что
5)12/1()(
dtttJ
)512/()(
t
tta , а
2
t
24
t
∫∫
60
5)0(=a ,
6010 ,
, и
t
5
+=+=
5,18730524/90030 =⋅+=J
, а в
получаем
откуда
затем
10)(=ta .
(7 ч = 420
2
конце смены
12/1
60
0
30
5
b .
k .
мин) и соотношение
t
60
:
Так как в конце часа, т. е. при
Таким образом, для первого
мин после начала работы
(7.2),
tttttdtdtttJ
405015042010420 =−⋅=J
получаем
150106001045010)524/(10)512/()(
−=−+=++=++=
.
)( .
60
t 10)60(=a , то bk
часа смены
Учитывая продолжительность смены
если
если
Количество деталей на складе через
0)(=tb .
:
.
.
:
7.2 Статическая детерминированная модель без дефицита
Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное
удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций
.
Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый
интервал времени
θ
равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой
и
предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной
интенсивностью, т.е
потребление продукта на время, в течение которого он расходуется
.
.
Эту интенсивность можно найти, разделив общее
:
N
b
= (7.3)
Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е
функция
поставки продукта, когда
расхода равна b, то вся партия будет использована за время
не
является непрерывной
,
где n
:
–
объем партии. Так как интенсивность
при всех t, кроме моментов
n
T
= (7.4)
.
Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то
уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии n, т.е
Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис
135
.
. 7.2.
.
J
btnt
J
−
=
)
(
)(t
J
T
n
θ
n
n
b b b b
t
0
T 2T 3T 4T
Θ
Рис. 7.2. Зависимость уровня запасов от времени
На временном интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой
от значения
n до
нуля. Так как дефицит не допускается, то в
момент Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения
счет поступления партии заказа. И так процесс изменения
каждом временном интервале продолжительностью Т (см. рис
повторяется на
. 7.2).
Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии
n,
при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы
минимальными
Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса
C ,
затраты на хранение запаса
1
промежуток времени Т
.
–
–
через
C
и найдем эти величины за весь
2
.
n за
через
Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от
объема партии, равны
единицу времени
–
продукта, который доставляется партиями объема
равно
:
c ,
а затраты на хранение одной единицы продукта в
1
c .
Так как за время
2
θ
необходимо запастись
n, то
число таких партий
N
единицами
k
N
k
Отсюда получаем
== (7.5)
N
ckcC
== (7.6)
111
136
Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны
2
)(t
J
n
θ
222
2
n
θ
2
n
θ
)(2tJc .
Значит, за промежуток времени
TT
−=
dtbtncdttJc
2
0
или, учитывая
2
0
∫∫
2
0
(7.4):
TT
ncdttJc
∫∫
2
0
)()( ,
n
)()(
T
Средний запас за промежуток
всего запаса при линейном
хранение среднего запаса
(по
.
Учитывая периодичность функции
N
будет
формулу
равны
k = «
(7.5),
:
зубцов
»,
аналогичных рассмотренному на отрезке
получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени
[0, Т]
они составят
2
nt
ntcdtt
−=−=
T
2
T
0
nTc
2
=
.
22
nT
[0, Т]
равен
, т.е.
затраты на хранение
времени) его расходе равны затратам на
(
всего за промежуток времени
[0, Т]), и
θ
C
nTc
2
k
nTc
N
Нетрудно заметить, что затраты
C
прямопропорциональны объему партии
2
а также функции суммарных затрат
C
Nc
приведены на рис
nc
21
+= (7.8)
. 7.3.
ncNTc
2222
==⋅== (7.7)
C
обратнопропорциональны, а затраты
1
n.
Графики функций
)(1nC и )(2nC ,
Рис
. 7.3.
Функции суммарных затрат
137
В точке минимума функции
)(n
C
2
n
θ
θ
=
=
2
n
θ
n
θ
Nnb
ее производная
0
)('
nC
Nc
nc
21
=+−=
,
откуда
экономичного
2cNc
nn ==
0
или, учитывая
n = (7.10)
0
Формула
1
θ
2
(7.9)
(7.3):
2cbc
1
2
(7.10),
объема партии, широко используется в экономике. Эта формула
называемая формулой Уилсона или формулой наиболее
может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение
5,0
NccCC
2121
есть величина постоянная, не зависящая от
n. В
этом случае
как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они
равны, т. е
откуда получаем
.
Nc
= , (7.11)
CC
или
21
nc
21
(7.9).
,
Из
(7.11)
следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами
достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на
хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты
Nc
2
( )
nCC
00
1
==
(7.12)
откуда, учитывая
или bccC
= (7.13)
Число оптимальных партий за время
N
k
0
n
0
(7.9) и (7.3),
2
θ
Nc
θ
2
=== .
c
2
получим
210
2=
NccC
θ
210
с учетом (7.5), (7.9) и (7.3) равно:
bc
2
θ
22 c
1
Время расхода оптимальной партии на основании (7.4) с учетом (7.9) и
(7.3) равно
n
T
0
0
θ
== (7.14)
0
или
c
θ
T
0
1
Nc
2
c
22
==
1
(7.15)
bc
2
138
Пример 7.2.
θ
∆
!
2
=
∆
Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000
деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно
и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового
объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а
поставка партии – 10 000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей
недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между
поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не
допускает задержки поставок).
Решение
По условию затраты на одну партию составляют
хранения единицы запаса в сутки
c
= 0,35 ден. ед. Общий промежуток времени θ =
2
c
= 10 000 ден. ед., затраты
1
1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000 деталей. По
120000100002
формуле (7.9)
дней
.
=n
0
Итак, наиболее экономичный объем партии равен
поставками
≈ 13
дней
.
На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального
вычисленного по
заказывать партии по
(7.9).
4 500
этом изменятся суммарные затраты
Для ответа на этот вопрос разложим функцию
точки
0n ,
ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых
изменениях объема партии
)(')()(
nnCnCnC
00
⋅⋅
36535,0
⋅
≈
4335
дет
., а по (7.14)
4335
132,1300≈==NnT
деталей, а интервал между
0n ,
Так, в предыдущей задаче может оказаться удобным
или даже по
5 000
деталей и возникает вопрос, как при
.
)(nC в
ряд Тейлора в окрестности
n
:
)(''
nC
2
0
...
+∆+∆+=
n
2
Nc
Учитывая, что при
формуле
C
∆
C
0
Или
∆
C
C
Формула
=
≈
(7.12),
−
1
∆
2
n
(7.16)
nC
n
00
nn
=
0)('
найдем
nCnC
)(
0
2
nC
0
:
)()(
0
≈
)("
nnC
∆
0
)(2
nC
0
,
nC
0
2
2
=
3
0
nNc
∆
1
( )
/1
nNcn
(7.16)
свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат
по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых
1
)("
=
2
01
3
n
0
, а )(
=
nCC
определяется по
00
n
относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного
изменения объема партии по сравнению с оптимальным
.
Пример
По условию задачи
создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме
заказываемых партий
Решение
7.3
7.2
определить, на сколько процентов увеличатся затраты на
5 000
деталей
.
139
Относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным 0n = 4335
≈
⋅
0)(=t
J
btr=)
(
0)(=t
b
b
+
=
sn−
n
n
составляет 153,04335/)43355000(/
относительное изменение суммарных затрат составит
лишь 1,2%.
Пример 7.4
В условиях задачи 7.3 предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая
отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа, т.
е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.
Решение
Так как по результатам решения задачи 7.2 длина интервала между поставками
равна 13,2 дней, то заказ в условиях налаженного производства следует возобновить,
когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на 16 – 13,2 = 2,8
дня. Так как ежедневная потребность (интенсивность расхода запаса) равна по
формуле (7.3) b = 120 000/365 = 329 деталей, то заказы должны делаться регулярно
при достижении уровня запаса
0
=−=∆ nn . В соответствии с (7.16)
2
≈=∆ CC
9228,2329
деталей
0
.
7.3 Статическая детерминированная модель с дефицитом
В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это
означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при
сохраняется с той же интенсивностью
,
но потребление запаса
012,02/153/
, или
спрос
отсутствует
График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис
–
,
вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b
. 7.3.
Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в
отличие от графика на рис
. 7.2
характеризует накопление дефицита
.
n
Из рис
временных интервала, т. е
производится потребление запаса
. 7.3
видно, что каждый период «пилы
.
,
T –
TTT
,
где
21
2
T –
1
время, когда запас отсутствует и
»
T
=
разбивается на два
время, в течение которого
накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления
следующей партии
.
Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный
уровень запаса
объему п, а меньше его на величину дефицита
T (
см. рис
2
Из геометрических соображений легко установить, что
s в
. 7.4).
момент поступления каждой партии теперь не равен ее
,
накопившегося за время
.
T =
1
s
T
, T
T−=
2
sn
(7.17)
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]