Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в криптологию. В 4 частях. Ч.2. Учебное пособие.pdf
31
Таблица 1.70
x
x2 (mod 15)
Символ
Лежандра
3
x
Символ
Лежандра
5
x
Символ Якоби
15
x
=
3
x
∙
5
x
Символ
Якоби
15
x
,
рассчитанный
по программе
sJacobi
x
0 0 0 0 0
0
0 1 1
+1
+1
+1
+1
1, 4, 11, 14
2 4 –1
–1
+1
+1
– 3 9 0 –1 0 0
–
4 1 +1
+1
+1
+1
2, 7, 8, 13
5
10
–1 0 0
0
–
6 6 0
+1 0 0
6, 9
7 4 +1
–1
–1
–1
–
8 4 –1
–1
+1
+1
– 9 6 0 +1 0 0
3, 12
10
10
+1 0 0
0
5, 10
11 1 –1
+1
–1
–1
–
12 9 0
–1 0 0
–
13 4 +1
–1
–1
–1
–
14 1 –1
+1
–1
–1
–
Рассмотрим еще один пример определения множества псевдоквадратов для составного числа n = p ∙ q, теперь при p = 5 и q = 7, т.е. для составного числа n = 5 ∙ 7 = 35.
В этом нам поможет аналогичная предыдущей таблице табл. 1.71.
Из таблицы следует, что при составном n = 35:
*2
)/(|)(mod ZZ nxnxQ
n
=
}34,,2,1{|)35(mod
2
35
xxQ
=
= {1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30},
1)/(
*
n
x
nxJ
n
ZZ
=
1
35
}34,,2,1{
35
x
xJ
=
= {1, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 27, 29, 33}.
32
Таблица 1.71
x
x2 (mod
35)
Символ
Лежандра
5
x
Символ
Лежандра
7
x
Символ Якоби
35
x
=
5
x
∙
7
x
Символ
Якоби
35
x
,
рассчитанный
по программе
sJacobi
x
0 0 0 0 0 0 0
1 1 +1
+1
+1
+1
1, 6, 29, 34
2 4 –1
+1
–1
–1
–
3 9 –1
–1
+1
+1
–
4
16
+1
+1
+1
+1
2, 12, 23, 33
5
25 0 –1 0 0
–
6 1 +1
–1
–1
–1
–
7
14
–1 0 0 0 –
8
29
–1
+1
–1
–1
–
9
11
+1
+1
+1
+1
3, 17, 18, 32
10
30 0 –1 0 0
–
11
16
+1
+1
+1
+1
9, 16, 19, 26
12 4 –1
–1
+1
+1
–
13
29
–1
–1
+1
+1
–
14
21
+1 0 0
0
7, 28
15
15 0 +1 0 0
15, 20
16
11
+1
+1
+1
+1
4, 11, 24, 31
17 9 –1
–1
+1
+1
–
18 9 –1
+1
–1
–1
–
19
11
+1
–1
–1
–1
–
20
15 0 –1 0 0
–
21
21
+1 0 0
0
14, 21
22
29
–1
+1
–1
–1
–
23 4 –1
+1
–1
–1
–
24
16
+1
–1
–1
–1
–
33
Продолжение табл. 1.71
x
x2 (mod
35)
Символ
Лежандра
5
x
Символ
Лежандра
7
x
Символ Якоби
35
x
=
5
x
∙
7
x
Символ
Якоби
35
x
,
рассчитанный
по программе
sJacobi
x
25
30 0 +1 0 0
5, 30
26
11
+1
–1
–1
–1
–
27
29
–1
–1
+1
+1
–
28
14
–1 0 0 0 –
29 1 +1
+1
+1
+1
8, 13, 22, 27
30
25 0 +1 0 0
10, 25
31
16
+1
–1
–1
–1
–
32 9 –1
+1
–1
–1
–
33 4 –1
–1
+1
+1
–
34 1 +1
–1
–1
–1
–
В этом примере (при составном n = 35) множество всех псевдоквадратов
3535
\ QJ
= = {1, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 27, 29, 33}\{1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30} =
= {3, 12, 13, 17, 27, 33}.
Заметим, что криптографов интересуют именно эти два относительно простых случая,
т.е. когда n является простым числом или произведением двух простых чисел.
Если n – простое число, то Qn = Jn и #Qn = (n – 1)/2. Заметим, что в рассмотренном
ранее примере (при простом числе n = 7)
}6,,2,1{|)7(mod
2
7
xxQ
= {1, 2, 4} =
=
1
7
}6,,2,1{
7
x
xJ
= {1, 2, 4} и #Qn = #Q7 = 3 = (n – 1) / 2 = (7 – 1) / 2 =
= 6 / 2 = 3.
Если n является произведением двух простых чисел p и q, то
)\(#
nn
QJ
= (p – 1) ×
× (q – 1) / 4). В рассмотренных ранее примерах (при составных n = 15 и n = 35):
}6,,2,1{|)7(mod
2
15
xxQ
= {1, 4, 6, 9, 10},
34
1
15
}14,,2,1{
15
x
xJ
= {1, 2, 4, 8},
)\(#
nn
QJ
=
)\(#
1515
QJ
= #({1, 2, 4, 8} \ {1, 4, 6, 9, 10}) = #({2, 8}) = 2 =
= (p – 1) ∙ (q – 1) / 4 = (3 – 1) ∙ (5 – 1) / 4 = 2 ∙ 4 / 4 = 2.
}34,,2,1{|)35(mod
2
35
xxQ
= {1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30},
1
35
}34,,2,1{
35
x
xJ
= {1, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 27, 29, 33},
)\(#
nn
QJ
=
)\(#
3535
QJ
= #({1, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 27, 29, 33} \
\ {1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30}) = #({3, 12, 13, 17, 27, 33}) = 6 =
= (p – 1)∙ (q – 1) / 4 = (5 – 1) ∙ (7 – 1)/4 = 4 ∙ 6 / 4 = 6.
1.4.3. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ПО МОДУЛЮ СОСТАВНОГО ЧИСЛА
Рассмотрим способ извлечения корня из числа a по модулю составного числа n, представляющего собой произведение простых чисел p и q.
Как было отмечено в предыдущем пункте, если число a действительно является
полным квадратом по составному модулю n = p ∙ q, то символ Якоби
n
a
= +1. Кроме того,
как следует из данных табл. 1.70, 1.71, если число a действительно является полным квадра-
том по составному модулю n = p ∙ q и символ Якоби
n
a
= +1, то
1
q
a
p
a
. (1.82)
Для вычисления корня из a по модулю n сначала извлечем корень из a по модулю p
и обозначим его через sp. Затем извлечем корень из a по модулю q и обозначим его
через sq. И, наконец, для вычисления искомого корня из a по модулю n применим китайскую
теорему об остатках к системе уравнений:
).(mod
),(mod
qsx
psx
q
p
(1.83)
35
Пример 1 извлечения корня из a по модулю n. В нем вычислим корень из a = 11
по модулю n = 35 = p ∙ q = 5 ∙ 7.
Для определения всех корней из 11 по модулю 35 построим табл. 1.72.
Таблица 1.72
x
x2 (mod 35)
0 0 1 1 2 4 3
9
4
16 5 25 6 1 7 14 8 29
9
11
10
30
11
16
12
4
13
29
14
21
15
15
16
11
17
9
18
9
19
11
20
15
21
21
22
29
23 4 24
16
25
30
36
Продолжение табл. 1.72
x
x2 (mod 35)
26
11
27
29
28
14
29 1 30
25
31
16
32 9 33 4 34
1
Из данных этой таблицы квадратов по модулю 35 следует, что корнями из 11
по модулю 35 являются числа 9, 16, 19 и 26.
Вычислим все значения квадратного корня из 11 по модулю 35 в соответствии с рассмотренным выше способом, основанным на отмеченном свойстве символа Якоби (1.82)
и применении китайской теоремы об остатках к системе уравнений (1.83).
Заметим, что число a = 11, действительно, является полным квадратом по модулю
n = 35 = p ∙ q = 5 ∙ 7, поскольку
q
a
p
a
=
1
7
11
5
11
.
Сначала определим корень из a = 11 по модулю p = 5 с помощью построенной
табл. 1.73 и обозначим его через sp = s5.
Из данных этой таблицы следует, что
)5(mod11
= 1 или 4, поскольку 12 (mod 5) =
= 42 (mod 5) = 1 (mod 5) = 6 (mod 5) = 11 (mod 5). Таким образом, корнем из a = 11 по модулю
p = 5 является sp = s5 = 1 или 4.
Затем определим корень из a = 11 по модулю q = 7 с помощью построенной табл. 1.74
и обозначим его через sq = s7.
Из данных этой таблицы следует, что
)7(mod11
= 2 или 5, поскольку 22 (mod 7) =
= 52 (mod 7) = 4 (mod 7) = 11 (mod 7). Таким образом, корнем из a = 11 по модулю q = 7
является sq = s
7
= 2 или 5.
37
Таблица 1.73
x
x2 (mod 5)
0
0
1
1 (mod 5) = 6 (mod 5) = 11 (mod 5)
2 4 3 4 4
1 (mod 5) = 6 (mod 5) = 11 (mod 5)
Таблица 1.74
x
x2 (mod 7)
0
0
1
1
2
4 (mod 7) = 11 (mod 7)
3 2 4 2 5
4 (mod 7) = 11 (mod 7)
6
1
И, наконец, для вычисления искомого корня из a = 11 по модулю n = 35 = p ∙ q =
= 5 ∙ 7 применим китайскую теорему об остатках к системе уравнений (1.83):
).(mod
),(mod
qsx
psx
q
p
=
).7(mod
),5(mod
7
5
sx
sx
Поскольку корень s5 из 11 по модулю 5 принимает два значения (1 или 4) и корень s7
из 11 по модулю 7 принимает два значения (2 или 5), для получения всех корней из 11
по модулю 5 ∙ 7 = 35 с применением китайской теоремы об остатках необходимо решить
четыре системы уравнений:
).7(mod2
),5(mod1
x
x
(1.84)
).7(mod5
),5(mod1
x
x
(1.85)
38
).7(mod2
),5(mod4
x
x
(1.86)
).7(mod5
),5(mod4
x
x
(1.87)
Из данных табл. 1.75 следует, что решением системы уравнений (1.84) является
x = 16 (mod 35).
Таблица 1.75
x (mod 35)
x (mod 5)
x (mod 7)
0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3
3
4 4 4
5 0 5 6 1 6 7 2 0
8 3 1 9 4 2 10 0 3
11 1 4
12 2 5
13 3 6
14 4 0
15 0 1
16 1 2
17 2 3
18 3 4
19 4 5
20 0 6
21 1 0
22 2 1
39
Продолжение табл. 1.75
x (mod 35)
x (mod 5)
x (mod 7)
23 3 2
24 4 3
25 0 4
26 1 5
27 2 6
28 3 0
29 4 1
30 0 2
31 1 3
32 2 4
33 3 5
34 4 6
Решим эту же систему уравнений (1.84) аналитически.
Если x = 2 (mod 7) и x = 1 (mod 5), то путем ввода дополнительной переменной u
получим:
x = 2 + 7 ∙ u (mod 7) и x = 1 (mod 5).
Подставив выражение для x из первого уравнения x = 2 + 7 ∙ u (mod 7) во второе
x = 1 (mod 5), получим:
2 + 7 ∙ u = 1 (mod 5),
2 + 2 ∙ u = 1 (mod 5),
2 ∙ u = – 1 (mod 5),
2 ∙ u = 4 (mod 5).
Вспомним, что если НОД (a, N) = 1, то уравнение вида a ∙ x = b (mod N) имеет решение, причем единственное. В нашем случае НОД (2, 5) = 1, вычислим единственный корень
уравнения 2 ∙ u = 4 (mod 5):
2 ∙ u = 4 (mod 5),
2 ∙ 2
–1
∙ u = 4 ∙ 2
–1
(mod 5),
u = 4 ∙ 3 (mod 5) = 12 (mod 5) = 2 (mod 5).
40
Подставив найденное значение введенной дополнительной переменной u в выражение
x = 2 + 7 ∙ u, получим решение системы уравнений (1.84) по модулю 35:
x = 2 + 7 ∙ u (mod 35) = 2 + 7 ∙ 2 = 16 (mod 35).
Из данных табл. 1.76 видно, что решением второй из четырех систем уравнений,
системы (1.85) является x = 26 (mod 35).
Таблица 1.76
x (mod 35)
x (mod 5)
x (mod 7)
0 0 0
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 0 5
6 1 6 7 2 0 8 3 1 9 4
2
10 0 3
11 1 4
12 2 5
13 3 6
14 4 0
15 0 1
16 1 2
17 2 3
18 3 4
19 4 5
20 0 6
21 1 0
22 2 1