Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в криптологию. В 4 частях. Ч.1. Учебное пособие.pdf
1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Ю. В. КУЛАКОВ, О. Г. ИВАНОВА,
Н. Г. ШАХОВ, А. И. ЕЛИСЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ
В КРИПТОЛОГИЮ
В четырёх частях
Часть 1
Утверждено Учёным советом университета в качестве электронного
учебного пособия для студентов направлений подготовки
09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии»,
27.04.03 «Системный анализ и управление», 38.03.05 «Бизнес-информатика»
и специальностей 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем»,
38.05.01 «Экономическая безопасность» очной и заочной форм обучения
Учебное электронное издание
Тамбов
Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ»
2021
УДК 51(075.8)
К90
Кулаков, Ю. В.
Введение в криптологию [Электронный ресурс] : учебное пособие : в 4-х ч. /
Ю. В. Кулаков, О. Г. Иванова, Н. Г. Шахов, А. И. Елисеев. – Тамбов : Издательский
центр ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2021.
ISBN 978-5-8265-2366-7.
Ч. 1. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже
ISBN 978-5-8265-2367 -4.
Содержит теоретический материал по основным понятиям, определениям и алгоритмам арифметики остатков, конечных групп и полей и список рекомендуемой литературы.
Предназначено для студентов направлений подготовки 09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии», 27.04.03 «Системный анализ и управление», 38.03.05
«Бизнес-информатика» и специальностей 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем», 38.05.01 «Экономическая безопасность» очной и заочной форм
обучения.
ISBN 978-5-8265-2366-7 (общ.)
ISBN 978-5-8265-2367-4 (ч. 1)
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВО «ТГТУ»), 2021
ББК з811я73
К90
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор физико-математических наук, профессор,
директор Научно-исследовательского института математики, физики и информатики
ФГБОУ ВО «ТГУ им. Г. Р. Державина»
Е. С. Жуковский
Кандидат технических наук, доцент,
заведующий кафедрой «Системы автоматизированной поддержки
принятия решений» ФГБОУ ВО «ТГТУ»
И. Л. Коробова
класса Pentium II ; CD-ROM-дисковод ; 33,8 Mb ; RAM ; Windows 95/98/XP ;
мышь. – Загл. с экрана.
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком. Неле-
гальное копирование и использование данного продукта запрещено.
2
УДК 51(075.8)
ББК з811я73
3
ВВЕДЕНИЕ
Во первой части учебного пособия представлен материал, который ориентирован
на изучение вопросов, связанных с основными понятиями и определениями арифметики
остатков, групп и конечных полей.
Среди вопросов, связанных с основными понятиями и определениями арифметики
остатков, рассматриваются понятия: модуля, оператора модуля, групп и колец, решения
уравнений в целых числах по модулю, функции Эйлера и мультипликативных обратных
по модулю.
Материал по конечным полям содержит определения: более общего типа конечных
полей, решения уравнений в многочленах по модулю, неприводимых многочленов, изоморфизма конечных полей, характеристики и примитивного элемента конечного поля.
Новизна данного учебного пособия, в сравнении с ранее изданной литературой по
вопросам введения в криптологию [1 – 17], заключается в рассмотрении примеров практически к каждому даваемому понятию, определению и алгоритму.
Применение данного пособия будет способствовать формированию у выпускника
следующих компетенций по направлениям подготовки и специальностям.
По направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии»:
способен решать стандартные задачи профессиональной деятельности на основе информационной и библиографической культуры с применением информационнокоммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной безопасности (ОПК-3).
По направлению подготовки 09.04.02 «Информационные системы и технологии»:
способен разрабатывать требования к информационным системам (ИС) и осуществлять
организационное и технологическое обеспечение возможности их реализации в ИС
(ПК-1).
По направлению 27.04.03 «Системный анализ и управление»: способен формиро-
вать технические задания и участвовать в разработке аппаратных и (или) программных
средств, экспертно-аналитических систем поддержки принятия оптимальных решений
(ПК-4).
По направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика»: способен организовывать взаи-
модействие с клиентами и партнёрами в процессе решения задач управления информационной безопасностью ИТ-инфраструктуры предприятия (ПК-1).
По специальности 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных
систем»: способен использовать математические методы, необходимые для решения задач
профессиональной деятельности (ОПК-3).
4
По специальности 38.05.01 «Экономическая безопасность»: способен работать
с различными информационными ресурсами и технологиями, применять основные методы, способы и средства получения, хранения, поиска, систематизации, обработки и передачи информации (ОК-12); способен соблюдать в профессиональной деятельности требования, установленные нормативными правовыми актами в области защиты государственной тайны и информационной безопасности, обеспечивать соблюдение режима секретности (ПК-20).
5
1. АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ, ГРУППЫ, КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
1.1. АРИФМЕТИКА ОСТАТКОВ
1.1.1. МОДУЛЬ. ОПЕРАТОР МОДУЛЯ
Зафиксируем некоторое натуральное число N, которое назовём модулем. Если раз-
ность (b – a) двух целых чисел a и b делится на N нацело, то пишут
a b (mod N) (1.1)
и говорят, что целые числа a и b сравнимы по модулю N.
Очевидно, что в этом случае числа a и b имеют один и тот же остаток от деления на
N. Обозначим этот остаток через r, и тогда:
a = x N + r, b = y N + r,
b – a = (y N + r) – (x N + r) = y N + r – x N – r =
= (y – x) N.
Например, разность 38 – 17 = 21 делится на семь нацело, следовательно, числа 17
и 38 сравнимы по модулю семь:
17 38 (mod 7),
a = x N + r = 2 ∙ 7 + 3 = 17, b = y N + r = 5 ∙ 7 + 3 = 38,
b – a = (y N + r) – (x N + r) = y N + r – x N – r =
= (y – x) N = (5 – 2) ∙ 7 = 21.
Заметим, что бинарное отношение сравнимости по модулю N является отношением
эквивалентности, т.е. удовлетворяет свойствам рефлексивности, симметричности и транзитивности. Например, этот факт наглядно подтверждает изображённый на рис. 1.1 граф,
представляющий данное отношение на множестве {17, 38, 52}.
Рис. 1.1
38
52
17
6
Выражение (mod N) будем также использовать как обозначение оператора1 модуля
на множестве целых чисел, который вычисляет наименьшее натуральное число, сравнимое с данным по модулю N. Например:
18 (mod 7) = 4, – 18 (mod 7) = 3,
поскольку
18 = 2 ∙ 7 + 4, – 18 = – 2 ∙ 7 – 4 = – 3 ∙ 7 + 3.
Все возможные значения, получаемые в результате применения оператора модуля к
элементам множества целых чисел2 Z, образуют множество:
Z / NZ = {0, …, N – 1}. (1.2)
Отметим, что любой элемент множества Z / NZ – это остаток от деления некоторого целого числа на N. Поскольку все сравнимые между собой по модулю N целые числа имеют
один и тот же остаток от деления на N, можно считать, что некоторый элемент x Z / NZ
представляет класс чисел x + k N, где k Z. Таким образом, оперируя с целыми числами
по модулю N, будем считать все сравнимые между собой числа равными друг другу и использовать традиционный знак «=» вместо «»:
a = b (mod N) (1.3)
или просто
a = b. (1.4)
На множестве Z / NZ заданы две основные операции – сложение и умножение по
модулю N. Они определяются таким образом, что, например:
(11 + 13) (mod 16) = 24 (mod 16) = 8,
так как 24 = 1 ∙ 16 + 8, и
(11 ∙ 13) (mod 16) = 143 (mod 16) = 15,
поскольку 143 = 8 ∙ 16 + 15.
1.1.2. ГРУППЫ И КОЛЬЦА
Сложение и умножение по модулю N обладают следующими свойствами.
1. Замкнутость сложения:
ZZ Nba /,
:
ZZ Nba /
. (1.5)
1
Оператор (математика) – отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию.
Оператор (программирование) – наименьшая автономная часть языка программирования;
команда.
Операция (математика) – арифметическое или логическое действие.
2
от нем. Zahlen числа
7
Например, при N = 4 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, 1, 2, 3} и, как видно из
табл. 1.1, сумма по модулю четыре любых двух элементов из множества {0, 1, 2, 3} принадлежит этому же множеству {0, 1, 2, 3}.
Таблица 1.1
a
b
(a + b) (mod 4)
a
b
(a + b) (mod 4)
0 0 0
2 0 2 0 1 1 2 1 3 0 2 2 2 2 0 0 3 3 2 3 1 1 0 1 3 0 3
1 1 2
3 1 0 1 2 3 3 2 1 1 3 0 3 3 2
2. Ассоциативность сложения:
ZZ Ncba /,,
:
)()( cbacba
. (1.6)
Например, при N = 3 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, 1, 2} и, как следует из
табл. 1.2, при любых наборах значений переменных a , b и с из множества {0, 1, 2} сумма
((a + b) + с) (mod 3) равна сумме (a + (b + с)) (mod 3).
Таблица 1.2
a b с
a + b
(a + b) + с
b + с
a + (b + с)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 0 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 1 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2
0 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 2 0 1 1 0 2 2 1 2 1 1 1 2 0 2 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 0 0 0 2
0
8
Продолжение табл. 1.2
a b с
a + b
(a + b) + с
b + с
a + (b + с)
1 2 1 0 1 0 1 1 2 2 0 2 1 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 2 1 2 1 2 0 2 0
2
2 2 0 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 0 1 0
3. Нуль является единичным элементом (или единицей) по сложению3:
ZZ Na /
:
aaa 00
. (1.7)
4. Всегда существует обратный элемент по сложению (противоположный):
ZZ Na /
:
0)()( aaNaNa
. (1.8)
Например, при N = 7 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, …, 6}, а при N = 8
множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, …, 7}, и в каждой строке табл. 1.3 и 1.4 сумма
a + (N – a) по модулю семь и восемь соответственно равна нулю.
Таблица 1.3
Таблица 1.4
a
N – a a
N – a
0
0 0 0 1
6 1 7 2
5 2 6 3
4 3 5 4
3 4 4 5
2 5
3
6
1 6
2
7
1
5. Коммутативность сложения:
ZZ Nba /,
:
abba
. (1.9)
3
Нуль является нейтральным элементом по сложению.
9
6. Замкнутость умножения:
ZZ Nba /,
:
ZZ Nba /
. (1.10)
Например, при N = 4 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, 1, 2, 3} и, как видно из
табл. 1.5, произведение по модулю четыре любых двух элементов из множества {0, 1, 2, 3}
принадлежит этому же множеству {0, 1, 2, 3}.
Таблица 1.5
a b a ∙ b a b
a ∙ b a b
a ∙ b a b
a ∙ b
0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 0 2 0 1 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 0 1 3 3 2 3 2 3 3
1
7) Ассоциативность умножения:
ZZ Ncba /,,
:
)()( cbacba
. (1.11)
Например, при N = 3 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, 1, 2} и, как следует из
табл. 1.6, при любых наборах значений переменных a, b и с из множества {0, 1, 2} произведение ((a ∙ b) ∙ с) (mod 3) равно произведению (a ∙ (b ∙ с)) (mod 3).
Таблица 1.6
a b с
a ∙ b
(a ∙ b) ∙ с
b ∙ с
a ∙ (b ∙ с)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 2 0 0 2 0
0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 2 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2
10
Продолжение табл. 1.6
a b с
a ∙ b
(a ∙ b) ∙ с
b ∙ с
a ∙ (b ∙ с)
1 2 2 2 1 1 1
2 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 0 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 0 1 0 0 0 2 2 1 1 1 2
1
2 2 2 1 2 1 2
8. Число 1 является единичным элементом (или единицей) по умножению4:
ZZ Na /
:
aaa 11
. (1.12)
9. Умножение и сложение связаны законом дистрибутивности:
ZZ Ncba /,,
:
cbcacba )(
. (1.13)
Например, при N = 3 множество Z / NZ = {0, …, N – 1} = {0, 1, 2} и, как видно
из табл. 1.7, при любых наборах значений переменных a, b и с из множества {0, 1, 2} произведение ((a + b) ∙ с) (mod 3) равно сумме (a ∙ с + b ∙ с) (mod 3).
Таблица 1.7
a b с
a + b
(a + b) ∙ с
a ∙ с
b ∙ с
a ∙ с + b ∙ с
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 1
0 1 2 1 2
0 2 2
0 2 0 2 0
0 0 0
0 2 1 2 2
0 2 2
0 2 2 2 1
0 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0
1 0 1 1 1
1 0 1
1 0 2 1 2
2 0 2
1 1 0 2 0
0 0 0
4
Число 1 является нейтральным элементом по умножению.