Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в криптологию. В 4 частях. Ч.3. Учебное пособие.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Ю. В. КУЛАКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В КРИПТОЛОГИЮ
В четырех частях
Часть 3
Утверждено Ученым советом университета в качестве
учебного пособия для студентов направлений подготовки
09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии»,
27.04.03 «Системный анализ и управление», 38.03.05 «Бизнес-информатика»
и специальностей 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем»,
38.05.01 «Экономическая безопасность» очной и заочной форм обучения
Учебное электронное издание
Тамбов
Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ»
2025
1
УДК 51(075.8)
В24
Введение в криптологию [Электронный ресурс] : учебное пособие : в 4-х ч. /
Ю. В. Кулаков, О. Г. Иванова, Н. Г. Шахов, А. И. Елисеев. – Тамбов : Издательский
центр ФГБОУ ВО «ТГТУ».
Содержит теоретический материал по основным понятиям, определениям и алгоритмам
арифметики остатков, конечных групп и полей и список рекомендуемой литературы.
Предназначено для студентов направлений подготовки 09.03.02, 09.04.02 «Информационные системы и технологии», 27.04.03 «Системный анализ и управление», 38.03.05
«Бизнес-информатика» и специальностей 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем», 38.05.01 «Экономическая безопасность» очной и заочной форм
обучения.
ISBN 978-5-8265-2366-7 (общ.)
ISBN 978-5-8265-2923-2 (ч. 3)
© Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
(ФГБОУ ВО «ТГТУ»), 2025
ББК з811я73
В24
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор
ФГБОУ ВО «ТГУ им. Г. Р. Державина»
Е. С. Жуковский
Кандидат технических наук, доцент,
заведующий кафедрой «Системы автоматизированной поддержки
принятия решений» ФГБОУ ВО «ТГТУ»
И. Л. Коробова
ISBN 978-5-8265-2366-7
Ч. 3. – Ю. В. Кулаков. – 2025. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – ПК не ниже
класса Pentium IV ; RAM 512 Mb ; необходимое место на HDD 2,0 Mb ; Windows
7/8/10/11 ; дисковод CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-8265-2923-2
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком.
Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.
УДК 51(075.8)
ББК з811я73
2
3
ВВЕДЕНИЕ
В третьей части учебного пособия представлен материал, который ориентирован на
изучение вопросов, связанных с так называемыми эллиптическими кривыми, а именно
введением в эллиптические кривые и групповому закону, которому эллиптические кривые
удовлетворяют.
Среди вопросов, связанных с введением в эллиптические кривые, рассматриваются
такие понятия, как: проективная плоскость, проективная точка проективной плоскости,
эллиптическая кривая в проективных и криволинейных (аффинных) координатах.
Проективная плоскость над заданным полем определяется как множество последовательностей из трех, не равных одновременно нулю элементов, в котором задано отношение эквивалентности, а проективная точка проективной плоскости – как некоторый
класс эквивалентности, определяемый этим отношением.
Эллиптическая кривая в проективных координатах характеризуется как множество
точек проективной плоскости, удовлетворяющих длинной форме однородного уравнения
Вейерштрасса, а эллиптическая кривая в криволинейных координатах – аффинной версии
этого уравнения.
В материале по групповому закону рассматриваются понятия изоморфной эллиптической кривой; собственно групповому закону, вводимому по методу хорд и касательных; сложения точек эллиптической кривой и дискретного логарифмирования на эллиптической кривой.
При этом одна эллиптическая кривая считается изоморфной другой эллиптической
кривой, если при определенной замене переменных в первой эллиптической кривой она
переходит во вторую кривую.
Вводимый методом хорд и касательных групповой закон наделяет эллиптическую
кривую структурой абелевой группы с бесконечно удаленной точкой в качестве нейтрального элемента по сложению.
Реализация многократного сложения (умножения) точек эллиптической кривой
позволяет ввести понятие дискретного логарифмирования на эллиптической кривой
по сложению.
Новизна данного учебного пособия, в сравнении с ранее изданной литературой
по вопросам введения в криптологию [1 – 18], заключается в рассмотрении примеров
практически к каждому даваемому понятию, определению и алгоритму.
Применение данного пособия будет способствовать формированию у выпускников
следующих компетенций по направлениям подготовки и специальностям.
4
По направлению подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии»:
способен решать стандартные задачи профессиональной деятельности на основе
информационной и библиографической культуры с применением информационнокоммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной
безопасности (ОПК-3).
По направлению подготовки 09.04.02 «Информационные системы и технологии»:
способен разрабатывать требования к информационным системам (ИС) и осуществлять
организационное и технологическое обеспечение возможности их реализации в ИС
(ПК-1).
По направлению 27.04.03 «Системный анализ и управление»: способен решать
задачи системного анализа и управления в технических системах на базе последних
достижений науки и техники (ОПК-3).
По направлению 38.03.05 «Бизнес-информатика»: способен организовывать
взаимодействие с клиентами и партнерами в процессе решения задач управления информационной безопасностью ИТ-инфраструктуры предприятия (ПК-1).
По специальности 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных
систем»: способен использовать математические методы, необходимые для решения
задач профессиональной деятельности (ОПК-3); способен использовать средства криптографической защиты информации при решении задач профессиональной деятельности
(ОПК-10); способен разрабатывать компоненты систем защиты информации автоматизированных систем (ОПК-11).
По специальности 38.05.01 «Экономическая безопасность»: способен работать
с различными информационными ресурсами и технологиями, применять основные
методы, способы и средства получения, хранения, поиска, систематизации, обработки
и передачи информации (ОК-12); способен соблюдать в профессиональной деятельности
требования, установленные нормативными правовыми актами в области защиты государственной тайны и информационной безопасности, обеспечивать соблюдение режима
секретности (ПК-20).
5
2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
2.1. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
2.1.1. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Некоторые из наиболее современных криптографических систем с открытым ключом основаны на использовании эллиптической кривой, в результате чего они обеспечивают высокую эффективность и большую пропускную способность. Заметим, что эллиптическая кривая над конечным полем является конечной абелевой группой, в которой
можно ставить задачу о вычислении дискретных логарифмов.
Проективной плоскостью
)(2KP
над полем K называется множество последова-
тельностей
),,( ZYX
из трех не равных одновременно нулю элементов
KZYX ,,
,
в котором задано отношение эквивалентности:
),,(),,( ZYXZYX
для любых
}0{\*KK
. (2.1)
При этом, в качестве поля K может выступать и поле вычетов по простому моду-
лю p, обозначаемое символом
p
F
. Тогда проективная плоскость
)()(
22
p
K FPP
будет
иметь мощность, равную (p3 – 1).
Например, при p = 3 проективной плоскостью
)(2KP
=
)(
2
p
FP
=
)(
3
2
FP
над полем
K
=
p
F
=
3
F
= {0, 1, 2} является множество
)(
3
2
FP
= {(0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 0), (0, 1, 1),
(0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2),
(1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2), (2, 1, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 0),
(2, 2, 1), (2, 2, 2)} мощности p3 – 1 = 33 – 1 = 27 – 1 = 26.
Во втором примере (при p = 5) проективной плоскостью
)(2KP
=
)(
2
p
FP
=
)(
5
2
FP
над полем K =
p
F
=
5
F
= {0, 1, 2, 3, 4} является множество
)(
5
2
FP
= {(0, 0, 1), (0, 0, 2),
(0, 0, 3), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2),
(0, 2, 3), (0, 2, 4), (0, 3, 0), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (0, 3, 3), (0, 3, 4), (0, 4, 0), (0, 4, 1), (0, 4, 2),
(0, 4, 3), (0, 4, 4), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 0, 3), (1, 0, 4), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2),
(1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 0), (1, 3, 1), (1, 3, 2),
(1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 0), (1, 4, 1), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2),
(2, 0, 3), (2, 0, 4), (2, 1, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 2, 0), (2, 2, 1), (2, 2, 2),
(2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 0), (2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 0), (2, 4, 1), (2, 4, 2),
(2, 4, 3), (2, 4, 4), (3, 0, 0), (3, 0, 1), (3, 0, 2), (3, 0, 3), (3, 0, 4), (3, 1, 0), (3, 1, 1), (3, 1, 2),
6
(3, 1, 3), (3, 1, 4), (3, 2, 0), (3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 2, 4), (3, 3, 0), (3, 3, 1), (3, 3, 2),
(3, 3, 3), (3, 3, 4), (3, 4, 0), (3, 4, 1), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (4, 0, 0), (4, 0, 1), (4, 0, 2),
(4, 0, 3), (4, 0, 4), (4, 1, 0), (4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 4), (4, 2, 0), (4, 2, 1), (4, 2, 2),
(4, 2, 3), (4, 2, 4), (4, 3, 0), (4, 3, 1), (4, 3, 2), (4, 3, 3), (4, 3, 4), (4, 4, 0), (4, 4, 1), (4, 4, 2),
(4, 4, 3), (4, 4, 4)} мощности p3 – 1 = 53 – 1 = 125 – 1 = 124.
В третьем примере (при p = 7) проективной плоскостью
)(2KP
=
)(
2
p
FP
=
)(
7
2
FP
над полем K =
p
F
=
7
F
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} является множество
)(
7
2
FP
= {(0, 0, 1),
(0, 0, 2), (0, 0, 3), (0, 0, 4), (0, 0, 5), (0, 0, 6), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4),
(0, 1, 5), (0, 1, 6), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (0, 2, 3), (0, 2, 4), (0, 2, 5), (0, 2, 6), (0, 3, 0),
(0, 3, 1), (0, 3, 2), (0, 3, 3), (0, 3, 4), (0, 3, 5), (0, 3, 6), (0, 4, 0), (0, 4, 1), (0, 4, 2), (0, 4, 3),
(0, 4, 4), (0, 4, 5), (0, 4, 6), (0, 5, 0), (0, 5, 1), (0, 5, 2), (0, 5, 3), (0, 5, 4), (0, 5, 5), (0, 5, 6),
(0, 6, 0), (0, 6, 1), (0, 6, 2), (0, 6, 3), (0, 6, 4), (0, 6, 5), (0, 6, 6), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2),
(1, 0, 3), (1, 0, 4), (1, 0, 5), (1, 0, 6), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5),
(1, 1, 6), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 0), (1, 3, 1),
(1, 3, 2), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 0), (1, 4, 1), (1, 4, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4),
(1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 5, 0), (1, 5, 1), (1, 5, 2), (1, 5, 3), (1, 5, 4), (1, 5, 5), (1, 5, 6), (1, 6, 0),
(1, 6, 1), (1, 6, 2), (1, 6, 3), (1, 6, 4), (1, 6, 5), (1, 6, 6), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2), (2, 0, 3),
(2, 0, 4), (2, 0, 5), (2, 0, 6), (2, 1, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6),
(2, 2, 0), (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 2, 5), (2, 2, 6), (2, 3, 0), (2, 3, 1), (2, 3, 2),
(2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 0), (2, 4, 1), (2, 4, 2), (2, 4, 3), (2, 4, 4), (2, 4, 5),
(2, 4, 6), (2, 5, 0), (2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6), (2, 6, 0), (2, 6, 1),
(2, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 6, 4), (2, 6, 5), (2, 6, 6), (3, 0, 0), (3, 0, 1), (3, 0, 2), (3, 0, 3), (3, 0, 4),
(3, 0, 5), (3, 0, 6), (3, 1, 0), (3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3), (3, 1, 4), (3, 1, 5), (3, 1, 6), (3, 2, 0),
(3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 2, 4), (3, 2, 5), (3, 2, 6), (3, 3, 0), (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3),
(3, 3, 4), (3, 3, 5), (3, 3, 6), (3, 4, 0), (3, 4, 1), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 6),
(3, 5, 0), (3, 5, 1), (3, 5, 2), (3, 5, 3), (3, 5, 4), (3, 5, 5), (3, 5, 6), (3, 6, 0), (3, 6, 1), (3, 6, 2),
(3, 6, 3), (3, 6, 4), (3, 6, 5), (3, 6, 6), (4, 0, 0), (4, 0, 1), (4, 0, 2), (4, 0, 3), (4, 0, 4), (4, 0, 5),
(4, 0, 6), (4, 1, 0), (4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 4), (4, 1, 5), (4, 1, 6), (4, 2, 0), (4, 2, 1),
(4, 2, 2), (4, 2, 3), (4, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 2, 6), (4, 3, 0), (4, 3, 1), (4, 3, 2), (4, 3, 3), (4, 3, 4),
(4, 3, 5), (4, 3, 6), (4, 4, 0), (4, 4, 1), (4, 4, 2), (4, 4, 3), (4, 4, 4), (4, 4, 5), (4, 4, 6), (4, 5, 0),
(4, 5, 1), (4, 5, 2), (4, 5, 3), (4, 5, 4), (4, 5, 5), (4, 5, 6), (4, 6, 0), (4, 6, 1), (4, 6, 2), (4, 6, 3),
(4, 6, 4), (4, 6, 5), (4, 6, 6), (5, 0, 0), (5, 0, 1), (5, 0, 2), (5, 0, 3), (5, 0, 4), (5, 0, 5), (5, 0, 6),
(5, 1, 0), (5, 1, 1), (5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 1, 4), (5, 1, 5), (5, 1, 6), (5, 2, 0), (5, 2, 1), (5, 2, 2),
(5, 2, 3), (5, 2, 4), (5, 2, 5), (5, 2, 6), (5, 3, 0), (5, 3, 1), (5, 3, 2), (5, 3, 3), (5, 3, 4), (5, 3, 5),
(5, 3, 6), (5, 4, 0), (5, 4, 1), (5, 4, 2), (5, 4, 3), (5, 4, 4), (5, 4, 5), (5, 4, 6), (5, 5, 0), (5, 5, 1),
(5, 5, 2), (5, 5, 3), (5, 5, 4), (5, 5, 5), (5, 5, 6), (5, 6, 0), (5, 6, 1), (5, 6, 2), (5, 6, 3), (5, 6, 4),
7
(5, 6, 5), (5, 6, 6), (6, 0, 0), (6, 0, 1), (6, 0, 2), (6, 0, 3), (6, 0, 4), (6, 0, 5), (6, 0, 6), (6, 1, 0),
(6, 1, 1), (6, 1, 2), (6, 1, 3), (6, 1, 4), (6, 1, 5), (6, 1, 6), (6, 2, 0), (6, 2, 1), (6, 2, 2), (6, 2, 3),
(6, 2, 4), (6, 2, 5), (6, 2, 6), (6, 3, 0), (6, 3, 1), (6, 3, 2), (6, 3, 3), (6, 3, 4), (6, 3, 5), (6, 3, 6),
(6, 4, 0), (6, 4, 1), (6, 4, 2), (6, 4, 3), (6, 4, 4), (6, 4, 5), (6, 4, 6), (6, 5, 0), (6, 5, 1), (6, 5, 2),
(6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6), (6, 6, 0), (6, 6, 1), (6, 6, 2), (6, 6, 3), (6, 6, 4), (6, 6, 5),
(6, 6, 6)} мощности p3 – 1 = 73 – 1 = 343 – 1 = 342.
В четвертом примере (при p = 11) проективной плоскостью
)(2KP
=
)(
2
p
FP
=
)(
11
2
FP
над полем K =
p
F
=
11
F
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} является
множество
)(
11
2
FP
= {(0, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 0, 3), (0, 0, 4), (0, 0, 5), (0, 0, 6), (0, 0, 7),
(0, 0, 8), (0, 0, 9), (0, 0, 10), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4), (0, 1, 5), (0, 1, 6),
(0, 1, 7), (0, 1, 8), (0, 1, 9), (0, 1, 10), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (0, 2, 3), (0, 2, 4), (0, 2, 5),
(0, 2, 6), (0, 2, 7), (0, 2, 8), (0, 2, 9), (0, 2, 10), (0, 3, 0), (0, 3, 1), (0, 3, 2), (0, 3, 3), (0, 3, 4),
(0, 3, 5), (0, 3, 6), (0, 3, 7), (0, 3, 8), (0, 3, 9), (0, 3, 10), (0, 4, 0), (0, 4, 1), (0, 4, 2), (0, 4, 3),
(0, 4, 4), (0, 4, 5), (0, 4, 6), (0, 4, 7), (0, 4, 8), (0, 4, 9), (0, 4, 10), (0, 5, 0), (0, 5, 1), (0, 5, 2),
(0, 5, 3), (0, 5, 4), (0, 5, 5), (0, 5, 6), (0, 5, 7), (0, 5, 8), (0, 5, 9), (0, 5, 10), (0, 6, 0), (0, 6, 1),
(0, 6, 2), (0, 6, 3), (0, 6, 4), (0, 6, 5), (0, 6, 6), (0, 6, 7), (0, 6, 8), (0, 6, 9), (0, 6, 10), (0, 7, 0),
(0, 7, 1), (0, 7, 2), (0, 7, 3), (0, 7, 4), (0, 7, 5), (0, 7, 6), (0, 7, 7), (0, 7, 8), (0, 7, 9), (0, 7, 10),
(0, 8, 0), (0, 8, 1), (0, 8, 2), (0, 8, 3), (0, 8, 4), (0, 8, 5), (0, 8, 6), (0, 8, 7), (0, 8, 8), (0, 8, 9),
(0, 8, 10), (0, 9, 0), (0, 9, 1), (0, 9, 2), (0, 9, 3), (0, 9, 4), (0, 9, 5), (0, 9, 6), (0, 9, 7), (0, 9, 8),
(0, 9, 9), (0, 9, 10), (0, 10, 0), (0, 10, 1), (0, 10, 2), (0, 10, 3), (0, 10, 4), (0, 10, 5), (0, 10, 6),
(0, 10, 7), (0, 10, 8), (0, 10, 9), (0, 10, 10), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 0, 3), (1, 0, 4), (1, 0, 5),
(1, 0, 6), (1, 0, 7), (1, 0, 8), (1, 0, 9), (1, 0, 10), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4),
(1, 1, 5), (1, 1, 6), (1, 1, 7), (1, 1, 8), (1, 1, 9), (1, 1, 10), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3),
(1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (1, 2, 7), (1, 2, 8), (1, 2, 9), (1, 2, 10), (1, 3, 0), (1, 3, 1), (1, 3, 2),
(1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 3, 7), (1, 3, 8), (1, 3, 9), (1, 3, 10), (1, 4, 0), (1, 4, 1),
(1, 4, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 4, 5), (1, 4, 6), (1, 4, 7), (1, 4, 8), (1, 4, 9), (1, 4, 10), (1, 5, 0),
(1, 5, 1), (1, 5, 2), (1, 5, 3), (1, 5, 4), (1, 5, 5), (1, 5, 6), (1, 5, 7), (1, 5, 8), (1, 5, 9), (1, 5, 10),
(1, 6, 0), (1, 6, 1), (1, 6, 2), (1, 6, 3), (1, 6, 4), (1, 6, 5), (1, 6, 6), (1, 6, 7), (1, 6, 8), (1, 6, 9),
(1, 6, 10), (1, 7, 0), (1, 7, 1), (1, 7, 2), (1, 7, 3), (1, 7, 4), (1, 7, 5), (1, 7, 6), (1, 7, 7), (1, 7, 8),
(1, 7, 9), (1, 7, 10), (1, 8, 0), (1, 8, 1), (1, 8, 2), (1, 8, 3), (1, 8, 4), (1, 8, 5), (1, 8, 6), (1, 8, 7),
(1, 8, 8), (1, 8, 9), (1, 8, 10), (1, 9, 0), (1, 9, 1), (1, 9, 2), (1, 9, 3), (1, 9, 4), (1, 9, 5), (1, 9, 6),
(1, 9, 7), (1, 9, 8), (1, 9, 9), (1, 9, 10), (1, 10, 0), (1, 10, 1), (1, 10, 2), (1, 10, 3), (1, 10, 4),
(1, 10, 5), (1, 10, 6), (1, 10, 7), (1, 10, 8), (1, 10, 9), (1, 10, 10), (2, 0, 0), (2, 0, 1), (2, 0, 2),
(2, 0, 3), (2, 0, 4), (2, 0, 5), (2, 0, 6), (2, 0, 7), (2, 0, 8), (2, 0, 9), (2, 0, 10), (2, 1, 0), (2, 1, 1),
(2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6), (2, 1, 7), (2, 1, 8), (2, 1, 9), (2, 1, 10), (2, 2, 0),
(2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 2, 5), (2, 2, 6), (2, 2, 7), (2, 2, 8), (2, 2, 9), (2, 2, 10),
(2, 3, 0), (2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 3, 9),
8
(2, 3, 10), (2, 4, 0), (2, 4, 1), (2, 4, 2), (2, 4, 3), (2, 4, 4), (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 4, 8),
(2, 4, 9), (2, 4, 10), (2, 5, 0), (2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6), (2, 5, 7),
(2, 5, 8), (2, 5, 9), (2, 5, 10), (2, 6, 0), (2, 6, 1), (2, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 6, 4), (2, 6, 5), (2, 6, 6),
(2, 6, 7), (2, 6, 8), (2, 6, 9), (2, 6, 10), (2, 7, 0), (2, 7, 1), (2, 7, 2), (2, 7, 3), (2, 7, 4), (2, 7, 5),
(2, 7, 6), (2, 7, 7), (2, 7, 8), (2, 7, 9), (2, 7, 10), (2, 8, 0), (2, 8, 1), (2, 8, 2), (2, 8, 3), (2, 8, 4),
(2, 8, 5), (2, 8, 6), (2, 8, 7), (2, 8, 8), (2, 8, 9), (2, 8, 10), (2, 9, 0), (2, 9, 1), (2, 9, 2), (2, 9, 3),
(2, 9, 4), (2, 9, 5), (2, 9, 6), (2, 9, 7), (2, 9, 8), (2, 9, 9), (2, 9, 10), (2, 10, 0), (2, 10, 1), (2, 10, 2),
(2, 10, 3), (2, 10, 4), (2, 10, 5), (2, 10, 6), (2, 10, 7), (2, 10, 8), (2, 10, 9), (2, 10, 10), (3, 0, 0),
(3, 0, 1), (3, 0, 2), (3, 0, 3), (3, 0, 4), (3, 0, 5), (3, 0, 6), (3, 0, 7), (3, 0, 8), (3, 0, 9), (3, 0, 10),
(3, 1, 0), (3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3), (3, 1, 4), (3, 1, 5), (3, 1, 6), (3, 1, 7), (3, 1, 8), (3, 1, 9),
(3, 1, 10), (3, 2, 0), (3, 2, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 3), (3, 2, 4), (3, 2, 5), (3, 2, 6), (3, 2, 7), (3, 2, 8),
(3, 2, 9), (3, 2, 10), (3, 3, 0), (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 3, 4), (3, 3, 5), (3, 3, 6), (3, 3, 7),
(3, 3, 8), (3, 3, 9), (3, 3, 10), (3, 4, 0), (3, 4, 1), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 6),
(3, 4, 7), (3, 4, 8), (3, 4, 9), (3, 4, 10), (3, 5, 0), (3, 5, 1), (3, 5, 2), (3, 5, 3), (3, 5, 4), (3, 5, 5),
(3, 5, 6), (3, 5, 7), (3, 5, 8), (3, 5, 9), (3, 5, 10), (3, 6, 0), (3, 6, 1), (3, 6, 2), (3, 6, 3), (3, 6, 4),
(3, 6, 5), (3, 6, 6), (3, 6, 7), (3, 6, 8), (3, 6, 9), (3, 6, 10), (3, 7, 0), (3, 7, 1), (3, 7, 2), (3, 7, 3),
(3, 7, 4), (3, 7, 5), (3, 7, 6), (3, 7, 7), (3, 7, 8), (3, 7, 9), (3, 7, 10), (3, 8, 0), (3, 8, 1), (3, 8, 2),
(3, 8, 3), (3, 8, 4), (3, 8, 5), (3, 8, 6), (3, 8, 7), (3, 8, 8), (3, 8, 9), (3, 8, 10), (3, 9, 0), (3, 9, 1),
(3, 9, 2), (3, 9, 3), (3, 9, 4), (3, 9, 5), (3, 9, 6), (3, 9, 7), (3, 9, 8), (3, 9, 9), (3, 9, 10), (3, 10, 0),
(3, 10, 1), (3, 10, 2), (3, 10, 3), (3, 10, 4), (3, 10, 5), (3, 10, 6), (3, 10, 7), (3, 10, 8), (3, 10, 9),
(3, 10, 10), (4, 0, 0), (4, 0, 1), (4, 0, 2), (4, 0, 3), (4, 0, 4), (4, 0, 5), (4, 0, 6), (4, 0, 7), (4, 0, 8),
(4, 0, 9), (4, 0, 10), (4, 1, 0), (4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 4), (4, 1, 5), (4, 1, 6), (4, 1, 7),
(4, 1, 8), (4, 1, 9), (4, 1, 10), (4, 2, 0), (4, 2, 1), (4, 2, 2), (4, 2, 3), (4, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 2, 6),
(4, 2, 7), (4, 2, 8), (4, 2, 9), (4, 2, 10), (4, 3, 0), (4, 3, 1), (4, 3, 2), (4, 3, 3), (4, 3, 4), (4, 3, 5),
(4, 3, 6), (4, 3, 7), (4, 3, 8), (4, 3, 9), (4, 3, 10), (4, 4, 0), (4, 4, 1), (4, 4, 2), (4, 4, 3), (4, 4, 4),
(4, 4, 5), (4, 4, 6), (4, 4, 7), (4, 4, 8), (4, 4, 9), (4, 4, 10), (4, 5, 0), (4, 5, 1), (4, 5, 2), (4, 5, 3),
(4, 5, 4), (4, 5, 5), (4, 5, 6), (4, 5, 7), (4, 5, 8), (4, 5, 9), (4, 5, 10), (4, 6, 0), (4, 6, 1), (4, 6, 2),
(4, 6, 3), (4, 6, 4), (4, 6, 5), (4, 6, 6), (4, 6, 7), (4, 6, 8), (4, 6, 9), (4, 6, 10), (4, 7, 0), (4, 7, 1),
(4, 7, 2), (4, 7, 3), (4, 7, 4), (4, 7, 5), (4, 7, 6), (4, 7, 7), (4, 7, 8), (4, 7, 9), (4, 7, 10), (4, 8, 0),
(4, 8, 1), (4, 8, 2), (4, 8, 3), (4, 8, 4), (4, 8, 5), (4, 8, 6), (4, 8, 7), (4, 8, 8), (4, 8, 9), (4, 8, 10),
(4, 9, 0), (4, 9, 1), (4, 9, 2), (4, 9, 3), (4, 9, 4), (4, 9, 5), (4, 9, 6), (4, 9, 7), (4, 9, 8), (4, 9, 9),
(4, 9, 10), (4, 10, 0), (4, 10, 1), (4, 10, 2), (4, 10, 3), (4, 10, 4), (4, 10, 5), (4, 10, 6), (4, 10, 7),
(4, 10, 8), (4, 10, 9), (4, 10, 10), (5, 0, 0), (5, 0, 1), (5, 0, 2), (5, 0, 3), (5, 0, 4), (5, 0, 5), (5, 0, 6),
(5, 0, 7), (5, 0, 8), (5, 0, 9), (5, 0, 10), (5, 1, 0), (5, 1, 1), (5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 1, 4), (5, 1, 5),
(5, 1, 6), (5, 1, 7), (5, 1, 8), (5, 1, 9), (5, 1, 10), (5, 2, 0), (5, 2, 1), (5, 2, 2), (5, 2, 3), (5, 2, 4),
(5, 2, 5), (5, 2, 6), (5, 2, 7), (5, 2, 8), (5, 2, 9), (5, 2, 10), (5, 3, 0), (5, 3, 1), (5, 3, 2), (5, 3, 3),
(5, 3, 4), (5, 3, 5), (5, 3, 6), (5, 3, 7), (5, 3, 8), (5, 3, 9), (5, 3, 10), (5, 4, 0), (5, 4, 1), (5, 4, 2),
9
(5, 4, 3), (5, 4, 4), (5, 4, 5), (5, 4, 6), (5, 4, 7), (5, 4, 8), (5, 4, 9), (5, 4, 10), (5, 5, 0), (5, 5, 1),
(5, 5, 2), (5, 5, 3), (5, 5, 4), (5, 5, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 7), (5, 5, 8), (5, 5, 9), (5, 5, 10), (5, 6, 0),
(5, 6, 1), (5, 6, 2), (5, 6, 3), (5, 6, 4), (5, 6, 5), (5, 6, 6), (5, 6, 7), (5, 6, 8), (5, 6, 9), (5, 6, 10),
(5, 7, 0), (5, 7, 1), (5, 7, 2), (5, 7, 3), (5, 7, 4), (5, 7, 5), (5, 7, 6), (5, 7, 7), (5, 7, 8), (5, 7, 9),
(5, 7, 10), (5, 8, 0), (5, 8, 1), (5, 8, 2), (5, 8, 3), (5, 8, 4), (5, 8, 5), (5, 8, 6), (5, 8, 7), (5, 8, 8),
(5, 8, 9), (5, 8, 10), (5, 9, 0), (5, 9, 1), (5, 9, 2), (5, 9, 3), (5, 9, 4), (5, 9, 5), (5, 9, 6), (5, 9, 7),
(5, 9, 8), (5, 9, 9), (5, 9, 10), (5, 10, 0), (5, 10, 1), (5, 10, 2), (5, 10, 3), (5, 10, 4), (5, 10, 5),
(5, 10, 6), (5, 10, 7), (5, 10, 8), (5, 10, 9), (5, 10, 10), (6, 0, 0), (6, 0, 1), (6, 0, 2), (6, 0, 3),
(6, 0, 4), (6, 0, 5), (6, 0, 6), (6, 0, 7), (6, 0, 8), (6, 0, 9), (6, 0, 10), (6, 1, 0), (6, 1, 1), (6, 1, 2),
(6, 1, 3), (6, 1, 4), (6, 1, 5), (6, 1, 6), (6, 1, 7), (6, 1, 8), (6, 1, 9), (6, 1, 10), (6, 2, 0), (6, 2, 1),
(6, 2, 2), (6, 2, 3), (6, 2, 4), (6, 2, 5), (6, 2, 6), (6, 2, 7), (6, 2, 8), (6, 2, 9), (6, 2, 10), (6, 3, 0),
(6, 3, 1), (6, 3, 2), (6, 3, 3), (6, 3, 4), (6, 3, 5), (6, 3, 6), (6, 3, 7), (6, 3, 8), (6, 3, 9), (6, 3, 10),
(6, 4, 0), (6, 4, 1), (6, 4, 2), (6, 4, 3), (6, 4, 4), (6, 4, 5), (6, 4, 6), (6, 4, 7), (6, 4, 8), (6, 4, 9),
(6, 4, 10), (6, 5, 0), (6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6), (6, 5, 7), (6, 5, 8),
(6, 5, 9), (6, 5, 10), (6, 6, 0), (6, 6, 1), (6, 6, 2), (6, 6, 3), (6, 6, 4), (6, 6, 5), (6, 6, 6), (6, 6, 7),
(6, 6, 8), (6, 6, 9), (6, 6, 10), (6, 7, 0), (6, 7, 1), (6, 7, 2), (6, 7, 3), (6, 7, 4), (6, 7, 5), (6, 7, 6),
(6, 7, 7), (6, 7, 8), (6, 7, 9), (6, 7, 10), (6, 8, 0), (6, 8, 1), (6, 8, 2), (6, 8, 3), (6, 8, 4), (6, 8, 5),
(6, 8, 6), (6, 8, 7), (6, 8, 8), (6, 8, 9), (6, 8, 10), (6, 9, 0), (6, 9, 1), (6, 9, 2), (6, 9, 3), (6, 9, 4), (6,
9, 5), (6, 9, 6), (6, 9, 7), (6, 9, 8), (6, 9, 9), (6, 9, 10), (6, 10, 0), (6, 10, 1), (6, 10, 2), (6, 10, 3),
(6, 10, 4), (6, 10, 5), (6, 10, 6), (6, 10, 7), (6, 10, 8), (6, 10, 9), (6, 10, 10), (7, 0, 0), (7, 0, 1),
(7, 0, 2), (7, 0, 3), (7, 0, 4), (7, 0, 5), (7, 0, 6), (7, 0, 7), (7, 0, 8), (7, 0, 9), (7, 0, 10), (7, 1, 0),
(7, 1, 1), (7, 1, 2), (7, 1, 3), (7, 1, 4), (7, 1, 5), (7, 1, 6), (7, 1, 7), (7, 1, 8), (7, 1, 9), (7, 1, 10),
(7, 2, 0), (7, 2, 1), (7, 2, 2), (7, 2, 3), (7, 2, 4), (7, 2, 5), (7, 2, 6), (7, 2, 7), (7, 2, 8), (7, 2, 9),
(7, 2, 10), (7, 3, 0), (7, 3, 1), (7, 3, 2), (7, 3, 3), (7, 3, 4), (7, 3, 5), (7, 3, 6), (7, 3, 7), (7, 3, 8),
(7, 3, 9), (7, 3, 10), (7, 4, 0), (7, 4, 1), (7, 4, 2), (7, 4, 3), (7, 4, 4), (7, 4, 5), (7, 4, 6), (7, 4, 7),
(7, 4, 8), (7, 4, 9), (7, 4, 10), (7, 5, 0), (7, 5, 1), (7, 5, 2), (7, 5, 3), (7, 5, 4), (7, 5, 5), (7, 5, 6),
(7, 5, 7), (7, 5, 8), (7, 5, 9), (7, 5, 10), (7, 6, 0), (7, 6, 1), (7, 6, 2), (7, 6, 3), (7, 6, 4), (7, 6, 5),
(7, 6, 6), (7, 6, 7), (7, 6, 8), (7, 6, 9), (7, 6, 10), (7, 7, 0), (7, 7, 1), (7, 7, 2), (7, 7, 3), (7, 7, 4),
(7, 7, 5), (7, 7, 6), (7, 7, 7), (7, 7, 8), (7, 7, 9), (7, 7, 10), (7, 8, 0), (7, 8, 1), (7, 8, 2), (7, 8, 3),
(7, 8, 4), (7, 8, 5), (7, 8, 6), (7, 8, 7), (7, 8, 8), (7, 8, 9), (7, 8, 10), (7, 9, 0), (7, 9, 1), (7, 9, 2),
(7, 9, 3), (7, 9, 4), (7, 9, 5), (7, 9, 6), (7, 9, 7), (7, 9, 8), (7, 9, 9), (7, 9, 10), (7, 10, 0), (7, 10, 1),
(7, 10, 2), (7, 10, 3), (7, 10, 4), (7, 10, 5), (7, 10, 6), (7, 10, 7), (7, 10, 8), (7, 10, 9), (7, 10, 10),
(8, 0, 0), (8, 0, 1), (8, 0, 2), (8, 0, 3), (8, 0, 4), (8, 0, 5), (8, 0, 6), (8, 0, 7), (8, 0, 8), (8, 0, 9),
(8, 0, 10), (8, 1, 0), (8, 1, 1), (8, 1, 2), (8, 1, 3), (8, 1, 4), (8, 1, 5), (8, 1, 6), (8, 1, 7), (8, 1, 8),
(8, 1, 9), (8, 1, 10), (8, 2, 0), (8, 2, 1), (8, 2, 2), (8, 2, 3), (8, 2, 4), (8, 2, 5), (8, 2, 6), (8, 2, 7),
(8, 2, 8), (8, 2, 9), (8, 2, 10), (8, 3, 0), (8, 3, 1), (8, 3, 2), (8, 3, 3), (8, 3, 4), (8, 3, 5), (8, 3, 6),
10
(8, 3, 7), (8, 3, 8), (8, 3, 9), (8, 3, 10), (8, 4, 0), (8, 4, 1), (8, 4, 2), (8, 4, 3), (8, 4, 4), (8, 4, 5),
(8, 4, 6), (8, 4, 7), (8, 4, 8), (8, 4, 9), (8, 4, 10), (8, 5, 0), (8, 5, 1), (8, 5, 2), (8, 5, 3), (8, 5, 4),
(8, 5, 5), (8, 5, 6), (8, 5, 7), (8, 5, 8), (8, 5, 9), (8, 5, 10), (8, 6, 0), (8, 6, 1), (8, 6, 2), (8, 6, 3),
(8, 6, 4), (8, 6, 5), (8, 6, 6), (8, 6, 7), (8, 6, 8), (8, 6, 9), (8, 6, 10), (8, 7, 0), (8, 7, 1), (8, 7, 2),
(8, 7, 3), (8, 7, 4), (8, 7, 5), (8, 7, 6), (8, 7, 7), (8, 7, 8), (8, 7, 9), (8, 7, 10), (8, 8, 0), (8, 8, 1),
(8, 8, 2), (8, 8, 3), (8, 8, 4), (8, 8, 5), (8, 8, 6), (8, 8, 7), (8, 8, 8), (8, 8, 9), (8, 8, 10), (8, 9, 0),
(8, 9, 1), (8, 9, 2), (8, 9, 3), (8, 9, 4), (8, 9, 5), (8, 9, 6), (8, 9, 7), (8, 9, 8), (8, 9, 9), (8, 9, 10),
(8, 10, 0), (8, 10, 1), (8, 10, 2), (8, 10, 3), (8, 10, 4), (8, 10, 5), (8, 10, 6), (8, 10, 7), (8, 10, 8),
(8, 10, 9), (8, 10, 10), (9, 0, 0), (9, 0, 1), (9, 0, 2), (9, 0, 3), (9, 0, 4), (9, 0, 5), (9, 0, 6), (9, 0, 7),
(9, 0, 8), (9, 0, 9), (9, 0, 10), (9, 1, 0), (9, 1, 1), (9, 1, 2), (9, 1, 3), (9, 1, 4), (9, 1, 5), (9, 1, 6),
(9, 1, 7), (9, 1, 8), (9, 1, 9), (9, 1, 10), (9, 2, 0), (9, 2, 1), (9, 2, 2), (9, 2, 3), (9, 2, 4), (9, 2, 5),
(9, 2, 6), (9, 2, 7), (9, 2, 8), (9, 2, 9), (9, 2, 10), (9, 3, 0), (9, 3, 1), (9, 3, 2), (9, 3, 3), (9, 3, 4),
(9, 3, 5), (9, 3, 6), (9, 3, 7), (9, 3, 8), (9, 3, 9), (9, 3, 10), (9, 4, 0), (9, 4, 1), (9, 4, 2), (9, 4, 3),
(9, 4, 4), (9, 4, 5), (9, 4, 6), (9, 4, 7), (9, 4, 8), (9, 4, 9), (9, 4, 10), (9, 5, 0), (9, 5, 1), (9, 5, 2),
(9, 5, 3), (9, 5, 4), (9, 5, 5), (9, 5, 6), (9, 5, 7), (9, 5, 8), (9, 5, 9), (9, 5, 10), (9, 6, 0), (9, 6, 1),
(9, 6, 2), (9, 6, 3), (9, 6, 4), (9, 6, 5), (9, 6, 6), (9, 6, 7), (9, 6, 8), (9, 6, 9), (9, 6, 10), (9, 7, 0),
(9, 7, 1), (9, 7, 2), (9, 7, 3), (9, 7, 4), (9, 7, 5), (9, 7, 6), (9, 7, 7), (9, 7, 8), (9, 7, 9), (9, 7, 10),
(9, 8, 0), (9, 8, 1), (9, 8, 2), (9, 8, 3), (9, 8, 4), (9, 8, 5), (9, 8, 6), (9, 8, 7), (9, 8, 8), (9, 8, 9),
(9, 8, 10), (9, 9, 0), (9, 9, 1), (9, 9, 2), (9, 9, 3), (9, 9, 4), (9, 9, 5), (9, 9, 6), (9, 9, 7), (9, 9, 8),
(9, 9, 9), (9, 9, 10), (9, 10, 0), (9, 10, 1), (9, 10, 2), (9, 10, 3), (9, 10, 4), (9, 10, 5), (9, 10, 6),
(9, 10, 7), (9, 10, 8), (9, 10, 9), (9, 10, 10), (10, 0, 0), (10, 0, 1), (10, 0, 2), (10, 0, 3), (10, 0, 4),
(10, 0, 5), (10, 0, 6), (10, 0, 7), (10, 0, 8), (10, 0, 9), (10, 0, 10), (10, 1, 0), (10, 1, 1), (10, 1, 2),
(10, 1, 3), (10, 1, 4), (10, 1, 5), (10, 1, 6), (10, 1, 7), (10, 1, 8), (10, 1, 9), (10, 1, 10), (10, 2, 0),
(10, 2, 1), (10, 2, 2), (10, 2, 3), (10, 2, 4), (10, 2, 5), (10, 2, 6), (10, 2, 7), (10, 2, 8), (10, 2, 9),
(10, 2, 10), (10, 3, 0), (10, 3, 1), (10, 3, 2), (10, 3, 3), (10, 3, 4), (10, 3, 5), (10, 3, 6), (10, 3, 7),
(10, 3, 8), (10, 3, 9), (10, 3, 10), (10, 4, 0), (10, 4, 1), (10, 4, 2), (10, 4, 3), (10, 4, 4), (10, 4, 5),
(10, 4, 6), (10, 4, 7), (10, 4, 8), (10, 4, 9), (10, 4, 10), (10, 5, 0), (10, 5, 1), (10, 5, 2), (10, 5, 3),
(10, 5, 4), (10, 5, 5), (10, 5, 6), (10, 5, 7), (10, 5, 8), (10, 5, 9), (10, 5, 10), (10, 6, 0), (10, 6, 1),
(10, 6, 2), (10, 6, 3), (10, 6, 4), (10, 6, 5), (10, 6, 6), (10, 6, 7), (10, 6, 8), (10, 6, 9), (10, 6, 10),
(10, 7, 0), (10, 7, 1), (10, 7, 2), (10, 7, 3), (10, 7, 4), (10, 7, 5), (10, 7, 6), (10, 7, 7), (10, 7, 8),
(10, 7, 9), (10, 7, 10), (10, 8, 0), (10, 8, 1), (10, 8, 2), (10, 8, 3), (10, 8, 4), (10, 8, 5), (10, 8, 6),
(10, 8, 7), (10, 8, 8), (10, 8, 9), (10, 8, 10), (10, 9, 0), (10, 9, 1), (10, 9, 2), (10, 9, 3), (10, 9, 4),
(10, 9, 5), (10, 9, 6), (10, 9, 7), (10, 9, 8), (10, 9, 9), (10, 9, 10), (10, 10, 0), (10, 10, 1),
(10, 10, 2), (10, 10, 3), (10, 10, 4), (10, 10, 5), (10, 10, 6), (10, 10, 7), (10, 10, 8), (10, 10, 9),
(10, 10, 10)} мощности p3 – 1 = 113 – 1 = 1331 – 1 = 1330.