Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Биомеханика физических упражнений. Учебное пособие
.pdf
тории биомеханической системы. Иначе говоря, образное представление о технике соревновательных упражнений формируется у
занимающихся первоначально на кинематическом уровне построения программного управления. И лишь в дальнейшем, по мере
освоения и совершенствования техники изучаемого упражнения у
спортсмена создаются необходимые предпосылки для анализа
двигательных ощущений программного управления на динамическом уровне.
Таким образом, в процессе обучения двигательным действиям,
спортсменом осуществляется эмпирический подбор тех управляющих воздействий со стороны опорно-двигательного аппарата и
мышечной системы, которые бы обеспечивали реализацию кинематического рисунка движения, сформированного в сознании занимающегося на основе демонстрации эталонной техники спортсменами экстракласса или другими средствами.
Следовательно, при формировании управляющих
функций
движения биомеханической системы на компьютере кинематический уровень построения программного управления является более предпочтительным, чем динамический. Анализ классификационной схемы математических моделей синтеза движений биомеханических систем (см. рис. 6.6) показывает, что наиболее удобным в этом случае является задание управляющих воздействий в
виде программного изменения суставных углов по
(mod
1,1
).
времени
6.9. Конструктивная математическая модель движений
спортсмена с программным управлением в виде
изменения суставных углов по времени
Для построения математической модели целенаправленных
движений человека с программным управлением в виде изменения
суставных углов по времени воспользуемся уравнениями движения биомеханической системы, записанными в виде (6.13). Для
i-го уравнения системы имеем
211
z
NN
cos( ) sin( ) cos .
AAYMM
ij j j i ij j j i i i i i
11
jj
Здесь M
– управляющие моменты мышечных сил в i-м суставе.
i
2
1
Поскольку программное управление задано в форме изменения
суставных углов по времени, то его можно представить в виде функциональной зависимости от разницы обобщенных координат по времени. Формализуя программное управление для непрерывной модели, запишем общую структуру управляющих воздействий в виде
u
=
z
где запись u
– z по времени на всей траектории биосистемы.
z+1
означает изменение разницы обобщенных координат
z
– z, z = 1, 2, 3, . . . , N–1, (6.14)
z+1
Первая и вторая производные от управляющих воздействий по
времени имеют вид
uu
zz zzz
;.
11
(6.15)
Выразив кинематическую связь, наложенную на обобщенные
координаты биомеханической системы, с помощью программного
управления (6.14) получим в окончательном виде целенаправленные уравнения движения биомеханической системы
NNk N
MY Au A
1
1
Учитывая, что
cos cos( ) sin( )
ii ikz ki ijj ki
ikz j
122 1
NN
ij
11
определяется на каждом шаге интегрирования
1
cos( )
A
ij k i
2
(6.16)
.
математической модели синтеза движений человека (6.16), рассмотрим вкратце алгоритмы ее построения и функционирования.
6.10. Характеристика математической модели и выбор
алгоритмов ее функционирования
1. Целенаправленные уравнения движения биомеханической
системы и ее решение (6.16) построены для неразветвленной мо-
212
z
дели опорно-двигательного аппарата тела человека на основе принятой базовой модели (6.13). Их структура обеспечивает автоматизированное формирование уравнений для биомеханической системы с произвольным числом степеней свободы с помощью компьютера.
2. Входными воздействиями, влияющими на траекторию моде-
ли, являются:
динамические характеристики звеньев тела A
антропометрические особенности спортсменов и определяемые на
основе данных о масс-инерционных характеристиках (МИХ) звеньев системы. Для конкретного спортсмена и принятой модели
опорно-двигательного аппарата
фициентов A
= const на всей траектории системы, и их достаточно
ij
тела спортсмена величина коэф-
вычислить один раз;
программное управление u
задается пользователем в вычис-
z
лительном эксперименте в соответствии с задачами исследования.
Если программное управление и его производные по времени заданы аналитическим способом на всей траектории системы, то построенная математическая модель (6.16) является непрерывной,
если табличным способом – дискретной.
3. Время движения системы t ограничено временным интерва-
лом t
<t<T, на котором задано программное управление. Дискре-
0
тизация модели по времени соответствует шагу интегрирования
уравнения движения. Шаг интегрирования устанавливается пользователем.
4. В начальный момент времени t = t
и
движения для
для начального момента времени и согласно связям (6.14), (615)
1
1
. По уравнению движения (6.16) определяется
1
задаются начальные условия
0
вычисляются обобщенные координаты, обобщенные скорости и
обобщенные ускорения для остальных звеньев модели в начальный
момент времени. Предварительно необходимо на основе управлений
u
, взятых на всей траектории, вычислить значения
z
начального момента времени и на всей траектории биосистемы.
, учитывающие
ij
,
uu
для
z
213
z
5. Дифференциальное уравнение (6.16) является уравнением
второго порядка, связывающим независимую переменную t, функцию
биомеханической задачи и задается пользователем на всей траектории системы. В частности, оно может быть положено равным и
нулю, что означает отсутствие трения в первом шарнире модели.
Например, в вычислительном эксперименте на компьютере, моделирующем выполнение оборотовых упражнений на перекладине,
кисти рук гимнаста, вращающиеся относительно грифа
дины, принимаются за первый шарнир. Другим примером является
движение гимнаста из стойки на руках на брусьях. В этом случае
за М
суставах спортсмена, так как в процессе выполнения упражнения
кисти рук исполнителя неподвижны относительно жердей брусьев.
на всей траектории биосистемы программным управлением (6.14).
Обобщенные же координаты находятся для
ния (6.16), а для остальных звеньев – из (6.14). Поэтому на всем временном интервале движения поза спортсмена может быть или заранее вычислена, или же задана. При соответствующем алгоритме, реализующем вычислительную процедуру определения первых и вторых производных от программного управления по времени, на правом конце траектории
ны краевые условия на производные управления (
дели, реализующих программное управление и программу движения, определяются из системы уравнений (6.13), после нахождения
обобщенных координат, скоростей и ускорений, в процессе функционирования модели.
ванная траектория биомеханической системы.
движений биомеханических систем с программным управлением
и ее производные по времени.
1
6. Значение М
определяется физической сущностью решаемой
1
перекла-
можно принять моменты мышечных сил в лучезапястных
1
7. Поза исполнителя в моделируемом упражнении определяется
из уравнения движе-
1
программного управления могут быть наложе-
,
uu
).
z
8. Управляющие моменты мышечных сил (М
) в шарнирах мо-
i
9. Результатом функционирования модели является синтезиро-
Рассмотренные выше свойства математической модели синтеза
214
на кинематическом уровне, формируемым в виде закона изменения суставных углов по времени, характеризуют её основные, отличительные особенности, не затрагивая вопроса о выборе алгоритмов её функционирования. Поэтому вкратце остановимся и на
этом вопросе – о выборе алгоритмов, реализующих функционирование рассматриваемой модели.
Поскольку математическая модель (6.16), описывающая движение биомеханической
дифференциальным уравнением второго порядка, то его решение
относительно высшей производной
нии этого дифференциального уравнения. В общей форме уравне-
ние (6.16) можно записать в виде
Из курса вычислительной математики известно, что методы
решения дифференциальных уравнений можно разделить на две
большие группы:
аналитические методы, позволяющие найти приближенное
решение дифференциального уравнения в виде аналитического
выражения;
численные методы приближенного решения дифференциаль-
ного уравнения, позволяющие получить таблицу значений искомой функции для заданной последовательности аргументов.
Найти решение для построенной математической модели в аналитическом виде не представляется возможным, поэтому остается
единственный путь – использование методов численного интегрирования. Из большой группы численных методов интегрирования
одним из методов повышенной точности
Кутта четвертого порядка точности. Этот метод в основном и используется в программном обеспечении вычислительных экспериментов на компьютере. Так как в специальной литературе достаточно подробно изложено использование метода Рунге–Кутта в
программной реализации на компьютере, далее останавливаться на
системы по заданной программе, является
основано на интегрирова-
1
2
yd
y
dx
2
.
),,( yyx
является метод Рунге–
215
этом вопросе не будем и перейдем к рассмотрению технологии
построения других математических моделей из классификационной схемы семейства (mod
).
i,j
6.11. Математическая модель синтеза движений
спортсмена с программным управлением
изменения обобщенных координат
Анализ структуры уравнений базовой математической модели
показывает, что программное управление может быть задано не
только в форме изменения суставных углов, но и в виде программы
изменения обобщенных координат по времени. Пусть движение
N-звенной биомеханической системы по-прежнему описывается
системой уравнений (6.13), а на каждую j-ю обобщенную координату (j=1, 2, …,
Иначе говоря, в какой-то неизвестный момент времени Т биомеханическая система должна занять положение, определяемое
обобщенными координатами
случае являются:
время движения Т до положения, заданного обобщенными
координатами;
программа изменения суставных углов на интервале t
соответствии с заданным шагом интегрирования для каждой временной точки дискретизации модели.
Нетрудно заметить, что задача, сформулированная в (6.17)
формально сводится к записи, выражающей функциональную зависимость изменения величины суставных углов по времени. Действительно, если для любого момента времени t известны значения
, то вполне определена и разница между ними в виде
j
N) наложено программное управление в форме
u
= (t, j). (6.17)
j
. Искомыми параметрами в этом
j
<t<T в
0
– j = uj, j = 1, 2, 3, ... , N–1. (6.18)
j+1
216
Таким образом, задача сводится к построению математической
модели целенаправленных движений человека с программным
управлением в виде программы изменения суставных углов по
времени. Отсюда следует, что окончательный вид математической
модели движений спортсмена с программным управлением, заданным в виде программы изменения обобщенных координат по
времени, сводится к уравнениям (6.16). Наибольшая трудность
здесь
возникает с определением момента времени Т, регламентирующим интервал времени процесса перехода моделируемой биосистемы из одного заданного биомеханического состояния в другое. Решение данной проблемы заключается в использовании итерационных процедур, обеспечивающих методом последовательных приближений уточнение Т и формирование алгоритмов
управляющих функций (6.14).
6.12. Построение конструктивных математических
моделей движений спортсмена на основе программного
управления по скорости (ускорению) изменения
суставных углов или обобщенных координат
Уравнения (6.16) представляют собой математическую модель
движения биомеханической системы с программным управлением,
заданным в форме mod
схемы математических моделей синтеза движений биомеханических
систем (рис. 6.6) следует, что для mod
дать программу изменения позы спортсмена также и в виде первой
или второй производной от программного управления по времени.
В случае, если заданная управляющая функция является первой
производной от программного управления по времени, то её следует предварительно проинтегрировать, для того чтобы получить
программное управление в виде (6.14). Вторая
дится дифференцированием заданной функции по времени.
Если же заданная функция является второй производной от
программного управления, то для получения искомого программного управления её необходимо проинтегрировать дважды. После
. Из анализа структуры классификационной
1,1
существует возможность за-
i,1
производная нахо-
217
первого интегрирования получим первую производную от программного управления, после второго – искомую функцию.
В обоих случаях будем иметь полный набор программного
управления в виде (6.14), что позволяет в дальнейшем использовать в имитационном моделировании движений человека на компьютере математическую модель в форме (6.16).
Аналогичным образом приходим к выводу о том, что
дании программного управления в форме mod
, когда управляю-
i,2
и при за-
щая функция является первой или второй производной от программного управления по времени, имеет место возможность использования для синтеза движений биомеханических систем математической модели в форме (6.16). Действительно, если заданная функция является первой производной от обобщенных координат по времени, то после интегрирования получим искомую
функцию
в виде (6.14). Подставляя решение полученной функции
в уравнения программного управления (6.14), получим математическую модель в форме (6.16).
6.13. Конструктивная математическая модель движений
спортсмена с программным управлением
на динамическом уровне
Задачу синтеза движений человека с программным управлением на динамическом уровне можно сформулировать следующим
образом. Для биомеханической системы, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений (6.13), опреде-
[]
лить траекторию на интервале
ttt
, если для любого момен-
0,
l
[]
та времени
ttt
известно программное управление, заданное
0,
l
в форме закона изменения управляющих моментов мышечных сил
в суставах спортсмена по времени. Процедура решения поставленной задачи сводится к следующим операциям.
Пусть движение биомеханической системы описывается базовой математической моделью (6.13):
218
j
f
NN
cos( ) sin( ) cos .
AAYMM
ij j j i ij j j i i i i i
11
jj
2
Здесь N – количество звеньев моделируемой биосистемы.
Введем обозначения для управляющих функций и запишем их в
виде u
= Mi. Приведем уравнения движения (6.13) к нормальному
i
виду
NN
cos( ) sin( ) cos ,
AAYuu
ijj j i ijj j i i iii
11
jj
2
1,..., ,
iN
1
и запишем в следующей форме:
NN
abB
ij j ij j i
jj
11
2
(6.20)
,
где
aA
bA
BY uu
cos ( ),
ij ij j i
sin ( ),
ij ij j i
cos .
i i iii
1
Запишем матрицу левой части системы уравнений (6.20), составленную из коэффициентов a
при неизвестных
i j
в виде
1
(6.19)
Aa
, (6.21)
ij
а правую часть системы уравнений (6.20) в виде вектор-столбца
ff
, (6.22)
i
в котором элемент f
определяется из выражения
i
N
2
bB
iijji
j
1
. (6.23)
219
В сокращенной форме имеем следующую запись системы исходных уравнений (6.19):
Af
. (6.24)
Решая систему (6.24) методом обращения матриц, получим ее
решение в виде
1
Af
1A
где
биомеханической системы и определяют ее эволюцию во времени.
дачей и не представляет затруднений. Имеется обширная литература, освещающая технологию программного обеспечения
численного решения системы уравнений (6.25). Например,
можно воспользоваться сведениями, приведенными в книге
В.П. Дьяконова (1987).
честве программного управления в уравнениях (6.25) задаются данные об изменении управляющих моментов мышечных сил и момента
силы трения на всей траектории биомеханической системы.
ханической системы (начальный момент времени) достаточно задать обобщенные координаты и обобщенные скорости всех звень
ев модели, исходя из условий решаемой задачи конструирования
техники соревновательного упражнения.
динамическом уровне является невозможность предсказания изменения конфигурации биосистемы (поза спортсмена) на том или
ином участке траектории моделируемого движения. Математическая модель синтеза движений спортсмена в форме (6.16) свободна
от этих недостатков.
– обратная матрица по отношению к исходной матрице A.
Таким образом, уравнения (6.25) являются уравнениями движения
Решение системы уравнений (6.25) является тривиальной за-
При синтезе двигательных
действий человека на компьютере в ка-
В качестве начальных условий движения моделируемой биоме-
Недостатком синтеза движений биомеханической системы на
, (6.25)
-
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]