Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Биомеханика физических упражнений. Учебное пособие
.pdf
Момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, называется центральным. Например, центральный момент инерции стержня определяется из выражения
2
mL
(4.19)
Jc
Здесь Jc – центральный момент инерции; m – масса стержня; L –
длина стержня.
И теория и практика биомеханических исследований убеждают,
что сегменты тела человека можно лишь с большим приближением аппроксимировать стержнями, и определение центрального
момента инерции сегментов тела человека по формулам (4.18),
(4.19) ведет к значительным погрешностям. Более точным является метод аппроксимации звеньев тела и сегментов различными
геометрическими фигурами. Представляя части тела человека в
виде тел геометрически правильной формы с равномерно распределенной массой, вычисляют по соответствующим формулам их
масс-инерционные характеристики. К примеру, аппроксимируя
звенья тела и сегменты усеченными конусами, а в ряде случаев
принимая их за параболоиды вращения
ции сегментов тела человека по табличным данным М.Ф. Фаворина (1977), которые позволяют, зная отношение радиусов конуса и
его высоту, выразить искомые величины посредством введения
соответствующих коэффициентов в расчетные формулы.
В настоящее время наиболее точным из существующих методов
определения геометрии масс тела человека является радиоизотопный
метод: его
погрешность не превышает 3% (Зациорский В.М., Аруин А.С., Селуянов В.Н., 1981). В результате выполненных исследований авторами разработанного метода были определены коэффициенты (В
) уравнений множественной регрессии вида
i
.
12
, определяют момент инер-
+ B1 X1 + B2 X2, (4.20)
Y = В
0
позволяющие вычислять центральные моменты инерции сегментов тела по весу (X
) и длине (X2) тела. Коэффициенты Bi, исполь-
1
зуемые в уравнениях множественной регрессии для вычисления
101
i
центрального момента инерции сегментов тела человека, приведены в табл. 4.4.
Т а б л и ц а 4.4
Коэффициенты Bi, для вычисления центрального момента инерции
сегментов тела (по: Зациорский В.М. и др., 1981)
1 Стопа –97,09 0,414 0,616
2 Голень –1152,00 4,594 6,815
3 Бедро –3690,00 32,020 19,240
4 Кисть –13,68 0,088 0,092
5 Предплечье –67,90 0,855 0,376
6 Плечо –232,00 1,525 1,343
7 Голова –112,00 1,430 1,730
8 Верхняя часть туловища 367,00 18,300 –5,730
9 Средняя часть туловища 263,00 26,700 –8,000
10 Нижняя часть туловища –934,00 11,800 3,440
Используя табличные данные коэффициентов уравнений множественной регрессии, можно вычислить центральный момент
инерции сегментов тела человека относительно его фронтальной
оси, что соответствует положению рассматриваемой модели тела
спортсмена при выполнении, к примеру, упражнений из группы
оборотовых на перекладине.
Отдельные звенья модели, состоящие из сегментов, также имеют центральный момент инерции, определяемый относительно
оси, проходящей через центр масс звена. Правомерно возникает
вопрос о способе его вычисления. С этой целью можно воспользоваться одним из положений теоретической механики: если известна величина момента инерции тела относительно какой-либо оси,
то можно определить момент инерции данного тела и относительно любой другой оси, параллельной заданной
произвольном расстоянии от нее. В математической форме данная
зависимость выражается в виде соотношения
Сегмент B0 B1 B2
и расположенной на
Jo = Jc + mr
2
, (4.21)
102
Y
2
где Jo – момент инерции тела относительно заданной оси; Jc –
центральный момент инерции; m – масса тела; r – расстояние от
заданной оси до центра масс тела.
Рассмотрим технологию определения центрального момента
для звеньев тела, состоящих из отдельных сегментов, например,
для ноги, включающей в себя три сегмента: бедро, голень, стопу.
Для иллюстрации воспользуемся
зана кинематическая схема ноги.
Поместим ось тазобедренного сустава в начало системы координат и обозначим кружками суставы с соответствующими значениями координат по осям Ох, Оу: X
ного сустава; X
, Y2 – координаты коленного сустава; Х3, У3 – ко-
2
ординаты голеностопного сустава.
рисунком 4.9, на котором пока-
, Y1 – координаты тазобедрен-
1
LL
1
SSS
1
О
ХХс Х
1
1
Рис. 4.9. Кинематическая схема ноги
2
2
Хс
2
L
3
3
ХХс
33
Х
Координатами центра масс сегментов тела будут соответственно:
1) Xc
, Yc1 – координаты центра масс бедра;
1
2) Хс
, Yc2 – координаты центра масс голени;
2
3) Хс
, Ус3 – координаты центра масс стопы.
3
Положим, что координаты как центра масс сегментов, так и суставов по оси Оу равны нулю. Воспользуемся данными выполненных расчетов и припишем для масс сегментов, их длин и положений центра масс следующие значения:
бедро – m
голень – m
стопа – m
= 9,921; L1 = 44; S1 = 23,19;
1
= 2,999; L2 = 38; S2 = 15,36;
2
= 0,951; L3 = 26, S3 = 13,927.
3
103
Согласно рис. 4.9 координаты центра масс бедра, голени, стопы
соответственно равны
= 23,19; Xc2 = 59,36; Хс3 = 91,927.
Xc
1
Введем обозначения для центральных моментов инерции сегментов ноги относительно оси Oz, перпендикулярной плоскости
чертежа и проходящей через центры масс сегментов: J
тральный момент инерции бедра; J
ции голени; J
Численные значения J
= 1822,2; J2 = 328,13; J3 = 40,02.
J
1
– центральный момент инерции стопы.
3
соответственно равны
i
– центральный момент инер-
2
На основании уравнений (4.18), (4.21) получим величину момента инерции ноги Jo относительно оси Oz, проходящей через
тазобедренный сустав, перпендикулярно плоскости чертежа
(рис. 4.9):
– цен-
1
Jo = J
+ m1 (Xc1) 2 + J2 + m2 (Xc2) 2 + J3 + m3 (Хс3) 2. (4.22)
1
В то же время
2
Jo = Jc + m (Xc)
,
где Jc – центральный момент инерции ноги; m – масса ноги; Хс –
расстояние от центра масс ноги до оси Oz.
Для определения центрального момента инерции биомеханической системы Jc воспользуемся уравнением Штейнера и приведем
его к виду
Jc = Jo – mr
2
, (4.23)
где m – масса биомеханической системы; r – расстояние от ОЦМ
системы до оси вращения, проходящей через точку опоры.
Учитывая, что r = Xc и принимая во внимание уравнение (4.22)
для рассматриваемой трехзвенной модели, имеем
Jc = J
+ J2 + J3 + m1 (Xc1)2 + m2 (Xc2)2 + m3 (Хс3)2 – m (Xc)2, (4.24)
1
104
или в численном значении при m = 13,871 и Хс = 35,722818 получим, что Jc = 8428,3712. Для модели звена, состоящей из N сегментов, выражение (4.24) имеет вид
NN
Jc J m Xc mXc
iii
11
ii
Как видно из уравнений (4.22), величина момента инерции тела
определяется его массой и квадратом расстояния от центра масс
тела до оси вращения. В процессе выполнения упражнений масса
тела спортсмена остается постоянной, а расстояние от центра масс
звеньев тела до оси вращения, проходящей через точку опоры, меняется. Действительно, тело человека представляет
ханическую систему переменной конфигурации, поэтому в динамических упражнениях взаимное расположение звеньев тела носит
переменный характер, а следовательно, изменяется и расстояние
от центров масс звеньев тела до точки опоры, что влечет за собой
и изменение величины момента инерции как относительно оси,
проходящей через ОЦМ тела спортсмена, так и относительно
проходящей через точку опоры.
Рассмотрим вопрос об определении момента инерции трехзвенной биомеханической системы относительно оси, проходящей
через точку опоры при произвольных, анатомически допустимых
углах, между звеньями тела (рис. 4.10).
22
.
собой биоме-
оси,
Рис. 4.10. Момент инерции трехзвенной биомеханической системы
105
Обозначим через X
второго и третьего звеньев по оси Oх и, соответственно, через Y
Y
, Y3 – по оси Оу. Расстояния от начала системы координат, по-
2
, X2, Х3 координаты центра масс первого,
1
1
мещенной в точку опоры, до центра масс первого, второго и третьего звеньев обозначим через r
, r2, r3. В этом случае момент инер-
1
ции рассматриваемой трехзвенной системы относительно оси Oz,
проходящей через начало системы координат Oxyz перпендикулярно плоскости рис. 4.10, согласно (4.19), (4.22), определяется из
выражения
Jo = J
+ m1r
1
2
+ J2 + m2r
1
2
+ J3 + m3r
2
2
. (4.25)
3
Так как
2
2
2
2
2
2
2
2
r
= X
+ Y
, r
= Х
+ Y
, r
1
1
1
2
2
а координаты центра масс звеньев (X
редь, через длины звеньев тела L
, обобщенные координаты Qi и
i
= Х
2
3
, Yi) выражаются, в свою оче-
i
положение центра масс звеньев относительно оси шарниров S
3
+ Y
2
,
3
, то,
i
соответственно, имеем
2
r
r
+ L
r
2
= S
1
22
3
cos2Q1 + S
1
2
= L
cos2Q1 + 2L1S2cosQl cos Q2 + S
1
2
sin2Q1 + 2L1 S2 sinQ1sinQ2 + S
1
2
2
= L
cos2Q1 + L
1
2
sin2Q1;
1
2
cos2Q2 + S
2
2
sin2Q2;
2
2
cos2Q3 +
3
2
cos2Q2 +
2
,
+ 2L
+ L
+ 2L
cosQlcosQ2 + 2L1S3 cosQlcosQ3 + 2L2 S3 cosQ2cosQ3 +
1L2
2
sin2Q1 + L
1
sinQ1sinQ2 + 2L1S3sinQ1sinQ3 + 2L2S3sinQ2sinQ3.
1L2
2
sin2Q2 + S
2
2
sin2Q3 +
3
Выполнив соответствующие преобразования, получим
2
2
= S
r
1
r
2
r
32
+ 2L
;
1
2
2
= L
+ 2L1S2 cos(Q2–Q1) + S
1
2
= L
2S3
2
+ L
2
+ S
1
cos(Q3–Q2).
2
+ 2L1L
3
2
;
2
cos(Q2–Q1) + 2L1S3 cos(Q3–Q1) +
2
106
Подставляя полученные значения r
в уравнения (63), получим
i
соотношение вида
+ 2A
cos(Q2–Q1) + 2A13 cos(Q3–Q1) + 2А
12
где коэффициенты A
Jo = A
равны
ij
А
= J1 + m1S
11
A
= L1 (m2S2 + m3 L2);
12
A
= m3S3L1; (4.27)
13
A
= J2 + m2S
22
A
= m3S3L2;
23
А
= J3+ m3S
33
+ А22 + А33 +
11
2
+ L
1
1
2
+ m3 L
2
2
.
3
соs(Q3–Q2), (4.26)
23
2
(m2 + m3);
2
;
2
Таким образом, момент инерции биомеханической системы относительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно
плоскости движения, определяется динамическими характеристиками звеньев тела A
и обобщенными координатами системы.
ij
Уравнение (4.26) позволяет, при известных значениях коэффициентов A
и заданных значениях обобщенных координат, опреде-
ij
лить Jo для трехзвенной биомеханической системы любой конфигурации.
Аналитическое выражение момента инерции для N-звенной
биомеханической системы построим при условии введения в формульную запись для коэффициентов А
символа Кронекера:
ij
1, если ,
ij
0, если .
ij
ij
Здесь i, j – буквенные индексы, соответствующие цифровым индексам коэффициентов A
записать представление коэффициентов A
. Используя символ Кронекера, можно
ij
для N-звенной биоме-
ij
ханической системы в виде
AJmSmLS mLL
()(1) ,
ij ij i i i j i j ij k i j
2
i = l, 2, 3, ..., N; j = 1, 2, 3, ..., N; если i > j, то A
N
kj
1
= Aji. (4.28)
ij
107
При вычислении элементов квадратной матрицы по коэффициентам A
, необходимо учесть, что рассматриваемая матрица симмет-
ij
рична относительно главной диагонали. Поэтому ее симметричные
элементы будут равны, т.е. при j>i коэффициенты A
ление коэффициентов A
ступной развернутую запись элементов A
в форме (4.28) делает быстрой и легкодо-
ij
с любыми значениями ин-
ij
= Aij. Представ-
ji
дексов и позволяет автоматизировать процесс их формирования на
компьютере, задав исходные данные по массивам: J, m, L, S.
Непосредственное их определение тем способом, который был
выполнен на примере трехзвенной модели, сопровождается продолжительными вычислениями, громоздкими записями, а в конечном итоге и техническими погрешностями.
Одним из
факторов, определяющих биомеханику полетной части упражнений, является центральный момент инерции биомеханической системы – момент инерции относительно оси, проходящей через общий центр масс системы. В частности, в спортивной
гимнастике при выполнении соскоков желательно дать количественную оценку центральному моменту инерции в момент потери
спортсменом контакта со снарядом.
4.3. Кинематические характеристики движения
С помощью кинематических характеристик упражнений дается
качественная и количественная оценки пространственных и временных показателей техники соревновательных упражнений. Так как с
их помощью описывается только внешняя картина движения, то их
использование позволяет оценить рациональность организации пространственной и временной структуры движения.
характеристики
движения состоят из трех больших групп:
1. Пространственные характеристики.
2. Временные характеристики.
3. Пространственно-временные характеристики.
Каждая группа кинематических характеристик включает в себя
еще несколько относящихся к ней биомеханических характеристик
(см. рис. 4.11).
Кинематические
108
Кинематические характеристики
Пространственные
Координаты точки
Координаты тела
Координаты тел
Перемещение
Амплитуда
Траектория
Рис. 4.11. Классификация кинематических характеристик
Временные
Момент времени
начала и окончания
выполнения движения
Длительность
выполнения движения
Момент времени
начала и окончания
какой-либо части
упражнения
Длительность выполнения какой-либо
части упражнения
Темп
Ритм
двигательных действий
Пространственновременные
Линейная скорость
точки
Углов ая скорость
сегмента (звена)
Линейное ускорение
точки
Углово е ускорение
сегмента (звена)
4.3.1. Пространственные характеристики
Пространственные характеристики движений включают в себя следующие кинематические показатели:
1)
координаты точки;
2)
координаты тела;
3)
координаты системы тел;
4)
перемещение;
5)
амплитуда;
6)
траектория.
109
Общеизвестно, что в любом из механических законов, содержащих в явном или неявном виде пространственные и временные
соотношения, находит свое отражение эволюция изучаемого объекта в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения необходимо уметь определять положение объекта в пространстве и во времени, тем самым оценивая механическое
тела в любой момент времени.
Для определения положения тела и системы тел в пространстве
необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого рассматривается перемещение спортсмена. В качестве тела отсчета
выбирают неподвижные относительно Земли тела (дорожка, лыжня, гимнастические снаряды, оконный проем спортивного зала и
т.п.). Обычно с телом отсчета связывают
выбранную систему координат, с помощью которой определяется положение тела в пространстве.
Положение точки на плоскости в прямоугольной системе координат определяется так называемыми контравариантными координатами (рис. 4.12, табл. 4.5).
Знаки X, Y в квадранте
состояние
Т а б л и ц а 4.5
1 + +
2 – +
3 – –
4 + –
Рис. 4.12. Контравариантные
координаты точки
Для точки К контравариантными координатами являются длины проекций отрезка КО, которые получаются при проектирова-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]