Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Биомеханика физических упражнений. Учебное пособие
.pdf
L
– длина первого звена;
1
L
– длина второго звена;
2
L
– длина третьего звена;
3
S1 – расстояние от оси вращения (гриф перекладины) до центра
масс первого звена;
S2 – расстояние от оси вращения (плечевые суставы) до центра
масс второго звена;
S3 – расстояние от оси вращения (тазобедренные суставы) до
центра масс третьего звена;
φ
– угол, образованный первым звеном с осью Ох;
1
φ
– угол, образованный вторым звеном с осью Ох;
2
φ
– угол, образованный третьим звеном с осью Ох.
3
Для модели с произвольным количеством звеньев биосистемы
введем буквенную индексацию для обозначения номера звена:
L
– длина i-го звена;
i
Si – расстояние от оси вращения i-го звена до его центра масс;
φ
– угол наклона i-го звена к оси Ох (обобщенные координаты
i
i-го звена);
i – буквенный индекс, используемый для обозначения номера
звена (
необходимы сведения и о пространственно-временных характеристиках: угловых скоростях и угловых ускорениях звеньев тела
спортсмена. С этой целью введем обозначения для первой и второй производной по времени от обобщенных координат биомеханической системы:
i = 1, 2, ... , N);
N – количество звеньев модели.
В кинематическом анализе движений биомеханических систем
– угловая скорость первого звена;
1
– угловая скорость второго звена;
2
– угловая скорость третьего звена;
3
– угловое ускорение первого звена;
1
– угловое ускорение второго звена;
2
191
– угловое ускорение третьего звена.
3
Соответственно, для
стемы имеем:
– угловая скорость i-го звена;
i
– угловое ускорение i-го звена;
i
i – буквенный индекс, обозначающий номер звена.
В связи с тем, что за обобщенные координаты биомеханической
системы приняты
чать обобщенную скорость и обобщенное ускорение
Для обозначения масс-инерционных характеристик рассматриваемой трехзвенной модели опорно-двигательного аппарата тела
спортсмена введем следующие идентификаторы:
P
– вес первого звена;
1
P
– вес второго звена;
2
P
– вес третьего звена;
3
m
– масса первого звена;
1
m
– масса второго звена;
2
m
– масса третьего звена;
3
J1 – центральный момент инерции первого звена;
J
– центральный момент инерции второго звена;
2
J
– центральный момент инерции третьего звена.
3
В буквенной индексации, распространяемой на
дель биомеханической системы, введем следующие идентификаторы для обозначения масс-инерционных характеристик звеньев
биосистемы:
P
– вес i-го звена;
i
m
– масса i-го звена;
i
Ji – центральный момент инерции i-го звена;
i – буквенный индекс, обозначающий номер звена.
Формульные выражения уравнений естественного движения
неразветвленной трехзвенной модели биомеханической системы,
представленные в форме уравнений Лагранжа второго рода, имеют
вид
N-звенной модели биомеханической си-
, то
i
i
и
соответственно будут обозна-
i
i-го звена.
N-звенную мо-
192
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
11 1 1 1 12 2 2 1 13 3 3 1
22 2
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
11 1 1 1 12 2 2 1 13 3 3 1
cos 0;
Y
11
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
21 1 1 2 22 2 2 2 23 3 3 2
22 2
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
21 1 1 2 22 2 2 2 23 3 3 2
cos 0;
Y
22
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
31 1 1 3 32 2 2 3 33 3 3 3
22 2
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
31 1 1 3 32 2 2 3 33 3 3 3
cos 0.
Y
33
В уравнениях движения (6.2) коэффициенты A
(6.2)
характеризуют
ij
масс-инерционный и кинематический компоненты отдельных звеньев биомеханической системы: массы m
длины L
и положение центра масс звеньев Si на продольной оси
i
, моменты инерции Ji,
i
звена. Таким образом, в численных значениях динамических коэффициентов звеньев биомеханической системы A
, учитываются
ij
антропометрические особенности сегментов и звеньев опорнодвигательного аппарата тела спортсменов.
Компактная запись формульных выражений для определения
динамических характеристик звеньев тела модели в N-звенной
биомеханической системе приведена в главе 4 (см (4.27), (4.28)).
Содержательный смысл коэффициентов Y
вой части уравнений,
заключается в том, что они представляют
, содержащихся в ле-
i
собой выражения для определения обобщенных сил в уравнениях
Лагранжа и в развернутой записи имеют вид
Y
= (P1S1 + P2L1 + P3L1);
1
Y
= (P2S2 + P3L2);
2
Y
= (P3S3). (6.3)
3
Компактная запись уравнений для определения обобщенных
сил в уравнениях Лагранжа, имеет вид
193
N
.
(6.4)
1
YPSL P
iiii j
ji
Можно заметить, что структура уравнений (6.4) аналогична
структуре числителя в уравнениях (4.15), используемых при определении координат ОЦМ биомеханической системы. Это позволяет определять коэффициенты Y
экспериментально-аналитическим
i
методом, что существенно повышает точность вычислений.
6.4. Естественные движения и уравнения
целенаправленных движений человека
В процессе выполнения различных упражнений на тело
спортсмена действуют как внешние, так и внутренние, в частности, мышечные, силы. Задача количественного определения действия внешних сил достаточно проста и успешно решается с использованием расчетных моделей анализа движений биомеханических систем. Нахождение же численных значений величины силы
тяги мышц с
связано с существенными трудностями. Одним из подходов, позволяющих дать численную оценку развиваемых спортсменом мышечных усилий при выполнении соревновательных упражнений,
является аналитический расчет.
Рассмотрим естественное движение N-звенной биомеханической системы, т.е. такое движение, при котором движущийся объект не вырабатывает управляющих воздействий. Дифференциальные
уравнения движения такой системы можно записать в форме
уравнений Лагранжа второго рода
помощью инструментальных методов исследования
dT T
dt
mm
где T – кинетическая энергия;
(m = 1,...,N);
– обобщенные скорости (m=1,..., N); Fm – обоб-
m
194
,
(6.5)
F
m
– обобщенные координаты
m
щенные силы; N – число степеней свободы. В качестве обобщенных координат приняты углы наклона звеньев биосистемы к оси
Ох декартовой системы координат.
Кинетическая энергия рассматриваемой биомеханической
системы определяется из формульного выражения, которое в принятых обозначениях запишем в виде
NNN
1
TA A
2
iiji
2
2cos()
ii i ij i j j i
111
Подставим (6.6) в (6.5). Дифференцируя в (6.5) по времени
обобщенные координаты и обобщенные скорости, получим формульное представление дифференциального оператора Лагранжа
NN
cos( ) sin( )
AA
ij j j i ij j j i
11
jj
2
Здесь i – номер уравнения системы, который так же как и в (6.6),
изменяется от 1 до N, где N – количество звеньев биомеханической
системы.
Введем обозначение
N
(6.8)
YPLPS
ikiii
1
ki
и запишем правую часть уравнений движения (6.5) в виде
N
FY
i
ii
1
i
. (6.9)
cos
Таким образом, дифференциальные уравнения естественного
движения N-звенной биомеханической модели в компактной записи имеют вид
NN
cos( ) sin( ) cos 0.
AAY
ij j j i ij j j i i i
11
jj
2
. (6.6)
. (6.7)
(6.10)
Здесь N – количество звеньев моделируемой системы.
195
Из (6.10) видно, что количество уравнений, определяющих
движение биомеханической системы, равно количеству ее степеней свободы или числу звеньев модели, а численное значение буквенного индекса i соответствует номеру уравнения в системе
уравнений.
Уравнения движения биомеханической системы, записанные в
форме (6.10), остаются верны для модели с любым числом звеньев
и любым числом
такова, что делает их удобными для автоматизированного формирования на компьютере.
Уравнения движения биомеханической системы, записанные в
форме (6.10), являются уравнениями естественного движения, т.е.
такими, в которые в качестве неизвестных функций времени включены обобщенные координаты. При этом подразумевается, что
движущийся объект не вырабатывает управляющих воздействий.
Иначе
говоря, естественное движение можно рассматривать как
неуправляемое движение, не преследующее достижение цели.
Движения человека являются целенаправленными, и в этой
своей части они существенным образом отличаются от естественных движений. Целенаправленные движения формируются при
помощи особых сил, называемых управляемыми. С этой точки
зрения человек – самоуправляемая система, использующая для
управления движением вырабатываемые
ные силы.
В математической форме учет управляющих воздействий мышечных сил на биомеханику движения заключается во введении в
правую часть уравнений естественного движения управляющих
моментов мышечных сил в суставах M
уравнения системы (6.10) в виде алгебраической суммы слагаемых
M
– M
i
i+1
, где
обобщенных координат. Структура уравнений
внутри системы мышеч-
, записываемых для i-го
i
≠ 0, если i<N, и M
M
i+1
= 0, если i = N. (6.11)
i+1
С учетом (6.13) приведем развернутую запись уравнений целенаправленных движений человека для трехзвенной биомеханической модели в соответствии с системой уравнений (6.10):
196
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
11 1 1 1 12 2 2 1 13 3 3 1
222
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
11 1 1 1 12 2 2 1 13 3 3 1
cos ;
YMM
1112
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
21 1 1 2 22 2 2 2 23 3 3 2
22 2
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
211122222223332
cos ;
YMM
2223
cos( ) cos( ) cos( )
AA A
31 1 1 3 32 2 2 3 33 3 3 3
22 2
sin( ) sin( ) sin( )
AA A
31 1 1 3 3 2 2 2 3 33 3 3 3
cos .
YM
333
В правой части уравнений движения трехзвенной биомеханической системы заключаются сведения об управляющих моментах
мышечных сил в суставах спортсмена и моменте силы трения в
месте контакта спортсмена с опорой:
М
– момент силы трения;
1
М
– управляющий момент мышечных сил, развиваемый
2
спортсменом в плечевых суставах;
М
– управляющий момент мышечных сил, развиваемый
3
спортсменом в тазобедренных суставах.
Включая (6.11) в правую часть уравнений (6.10), запишем уравнения целенаправленного движения N-звенной биомеханической
системы в компактной форме:
NN
cos( ) sin( ) cos .
AAYMM
ij j j i ij j j i i i i i
11
jj
Решить систему уравнений (6.13) можно относительно как ее
правой, так и левой частей. В первом случае необходимы данные о
траекторных положениях звеньев тела спортсмена в процессе выполнения упражнений. Их можно получить по материалам оптической регистрации движений. Тогда, используя в качестве расчетной модели уравнения (6.13), определим величину управляющих
моментов мышечных
данное движение.
2
1
(6.12)
(6.13)
сил в суставах спортсмена, формирующих
197
Как уже отмечалось, решить систему уравнений, описывающих
целенаправленные движения человека, можно и относительно ее
левой части. В частности, за исходные данные в этом случае можно принять обобщенные координаты и обобщенные скорости звеньев тела в начальный момент времени и представить в аналитическом виде или в форме заданной числовой
закон изменения управляющих моментов мышечных сил по времени на всей траектории системы. Решение исходной системы
уравнений с последующим интегрированием позволит получить на
выходе траекторию движения моделируемой биомеханической
системы. Варьируя начальные условия движения и программный
закон изменения управляющих моментов мышечных сил, получим
различные варианты техники двигательных действий.
Следовательно, уравнения (6.13) представляют
математическую модель движения рассматриваемой N-звенной
биомеханической системы, и она может быть использована как для
анализа, так и для синтеза техники упражнений, выполняемых
спортсменом.
последовательности
собой базовую
6.5. Программирование движений человека
В этом разделе введем некоторые определения и понятия, которые не рассматриваются в специальной учебной и научнометодической литературе по биомеханике физических упражнений, но понадобятся нам в дальнейшем.
Определим, построенную в форме системы дифференциальных
уравнений (6.13) математическую модель движений человека, в
качестве базовой математической модели движения биомеханической системы. Анализ
ческой модели показывает, что разрешить исходную систему
уравнений можно относительно как её левой, так и правой частей.
Это позволяет ставить и решать два класса задач биомеханики
движений спортсмена: задачу анализа и задачу синтеза движений
биомеханических систем.
структуры уравнений базовой математи-
198
Первая (прямая) задача биомеханики заключается в численном
определении внешних и внутренних сил, действующих на тело
спортсмена в процессе выполнения упражнений, т.е., в частности,
и в определении количественных значений правой части уравнений (6.13) на всей траектории движения. Практически она сводится к вычислительным процедурам численного определения управляющих моментов мышечных
зующих траекторию реального движения. Решение этой задачи
основано на применении в расчетных операциях базовой математической модели движения биомеханической системы, в которой,
в качестве исходных данных используются сведения о траекторных положениях звеньев тела исполнителей. Исходную информацию о траекторных положениях звеньев тела исполнителей можно
получить
например, после обработки материалов видеосъемки или киносъемки исследуемой группы упражнений. После считывания
обобщенных координат объекта и их численного дифференцирования по времени находится левая часть уравнений (6.13), а следовательно, и численные значения управляющих моментов мышечных сил в суставах спортсмена в дискретные моменты времени.
Дискретизация модели выполняется в соответствии с шагом оптической регистрации движений по времени. Таким образом, в данном случае базовая математическая модель биомеханической системы выполняет функцию расчетной модели анализа движений
человека.
обратной. Если при решении прямой задачи известными функциями являются обобщенные
т.е. известна траектория звеньев тела спортсмена, то при решении
обратной задачи эту траекторию необходимо определить. Известными функциями в этом случае полагаются:
ординаты и обобщенные скорости в начальный момент времени).
по материалам оптической регистрации движений,
Вторая задача противоположна первой и называется в механике
1. Начальные условия движения биосистемы (обобщенные ко-
2. Масс-инерционные характеристики звеньев модели.
3. Управляющие функции,
сил в суставах спортсмена, реали-
координаты биомеханической системы,
заданные на всей траектории системы.
199
Решение системы уравнений (6.13) и последующее численное
интегрирование позволяют получить на каждом шаге интегрирования в качестве выходных данных численные значения обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений,
а в конечном итоге – траекторию моделируемого двигательного
действия.
В зависимости от способа задания управляющих функций и
моделирующего их алгоритма управления движением, базовая
тематическая модель движения биомеханической системы трансформируется в подкласс конструктивных математических моделей
синтеза целенаправленных движений человека. Следовательно,
базовая математическая модель движения биомеханической системы совмещает в себе функции расчетной модели анализа и математической модели синтеза движений.
Варьируя начальные условия движения и динамику изменения
управляющих функций, задаваемых на всей траектории
емого движения, можно получить разнообразные формы двигательных действий, различные технические оттенки исполнения
одного и того же упражнения для конкретного исполнителя.
На основании вышесказанного можно заключить, что синтез
движений спортсмена на компьютере заключается в решении
системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику
движения биомеханической системы по заданным начальным
условиям движения, масснителя и сформированным на всей траектории движения биосистемы управляющим функциям.
Предлагаемая трактовка понятия моделирования движений человека на компьютере отчетливо дифференцирует понятия о расчетных моделях анализа движений и математических моделях
синтеза движений биомеханических систем. И здесь следует отметить один из важнейших структурных компонентов математической
модели синтеза движений биомеханических систем – управ-
ляющие функции.
Математический анализ структуры базовой математической
модели биомеханической системы показывает, что управляющие
инерционным характеристикам испол-
моделиру-
ма-
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]