Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ несовершенств кристаллического строения по профилю и интенсивности рентгеновских отражений. Учебное пособие.pdf
Из этих формул видно, что моменты и кумулянты выражаются друг
через друга. Приведенные выше формулы можно рассматривать как
определения кумулянтов.
Кумулянты обладают важным свойством: они отличны от
нуля в том и только в том случае, когда входящие в них случайные
величины статистически зависимы. Таким образом, кумулянты показывают статистическую связь между случайными событиями.
жим в н
ля
Возвращаясь к про
улевом приближении, что длины корреляции случайного по-
guieπ2
настолько малы, что элементарные акты рассеяния вдоль
блеме когерентного рассеяния, предполо-
пути рассеяния статистически независимы. Это предположение означает, что при кумулянтных разложениях моментов, возникающих
при уср
еднении уравнения (5.18), мы можем пренебречь всеми совместными кумулянтами, так что среднее от произведения превратит роизведение средних.
ся в п
Таким образом, в рассматриваемом приближении для расчета
интенсивности когерентных волн достаточно усреднить оператор
рассеяния (5.20), т. е. перейти к оператору
()
π
i rgu
⎛
ˆ
P
⎜
()
=
r , (5.21)
⎜
⎝
0
2
i
σ
π−
ei
g
()
rgu
i
2
e
σ
−
g
0
⎞
⎟
⎜
=
⎜
⎟
σ
⎝
⎠
σ
0
Ei
g
Ei
⎞⎛
g
−
⎟
⎟
0
⎠
отличающемуся от оператора рассеяния идеального кристалла толь-
нормировкой амплитуд рассеяния на
=
. коСледов
ательно,
guieEπ±
2
интенсивность когерентного рассеяния может быть вычислена по
тем же формулам, что и интенсивность идеального кристалла, но с
измененной в
Е раз структурной амплитудой. Именно таким образом
рассчитывалась интенсивность когерентного рассеяния в разд. 5.2.3.
Переходя к следующему прибли дем считать, что
жению, бу
вследствие малости корреляционных длин существенными могут
быть только корреляции между соседними точками на пути рассеяния когерентных волн. Иными словами в этом приближении можно
пренебречь кумулянтами третьего и более высоких порядков. При
этом н
езависимые акты рассеяния (с усредненными амплитудами)
могут быть разделены произвольным числом скоррелированных
парных актов рассеяния. Так как при каждом элементарном акте рассеяния происходит смена направления распространения волны (направления падающей волны на направление дифрагированной вол-
61
(
)
()()(
E
Π
Π
ны), то после каждого парного (двухкратного) рассеяния направление распространения сохраняется, но фаза меняется на противоположную, т. е. происходит ослабление амплитуды волны. Расчеты показывают, что этот эффект аналогичен эффекту фотоэлектрического
поглощения излучения, но здесь коэффициент поглощения определя-
ется по формуле
2диф
E
1. Длина корреляции τ опреде-
τσσ−=μ
−gg
ляется как интегральная ширина парной корреляционной функции:
)
i
∞
()
=τ
∫
0
dxxg ,
()
g
r
=
−+π RurRug
2
1
−
22
−
Ee
.
Итак, при учете парных корреляций в приближении малы
корреляционных длин формулы для расчета интенсивности когерентного рассеяния совпадают с формулами для расчета интенсивно-
ти рассения идеальны кристаллом, но 1) с измененными в
с м
Е раз
амплитудами рассеяния и 2) с дополнительным поглощением с ко-
эффициентом Этот результат был впервые получен Като [30].
диф
μ .
В общем случае, в котором учитываются корреляции произвольного порядка, метод кумулянтных разложений позволяет привести выражение (5.18) к уравнению Дайсона
= +
++
+
где поляризационный оператор
ˆ
может быть записан в виде суммы
ˆ
, (5.22)
компактных (не допускающих разбиения на статистически независимые части) диаграмм:
х
62
ˆ
Π
=
+
+ +
+…
+
(5.23)
В формулах (5.22) и (5.23) предполагается, что вершины, соединенные
сплошными линиями с точкой
, образуют совместный кумулянт.
В работе [3] исследованы общие свойства поляризационного
оператора (5.23) и решений уравнения Дайсона (5.22) и проведена
τ
оценка членов поляризационного оператора по параметру
, а в
Λ
работе [28] предложен способ расчета поляризационного оператора
для произвольного параметра порядка
τ
, основанный на обсуждав-
Λ
шейся выше аппроксимации корреляционных функций.
5.3.2.2. Диффузное ссеяние
При анализе диффузного рассеяния следует учитыватраь, что
вычисление интенсивности предполагает усреднение комплексно
сопряженных волн, ости необходимо
поэтому для расчета интенсивн
усреднять произведение комплексно сопряженных рядов многократного рассеяния (5.18). Для записи таких сложных объектов используются двухрядные диаграммы, нижний ряд которых описывает рассеяние комплексно сопряженной волны. Такой подход формально
позволяет получить точные выражения для усредненной интенсивности рассеяния.
Применение метода кумулянтных разложений при анализе
усредненной интенсивности позволяет выделить статистические связи между элементарными актами рассеяния. При этом могут возни-
ие и двух типов:
кать статистическ
связ
• только в пределах части верхнего или в пределах части нижнего
ряда,
• между верхним и нижним рядами.
63
Статистическое взаимодействие первого типа приводит к
формированию когерентного рассеяния
ипа (между комплексно сопряженными волнами) – к формирова-
го т
дифф
нию узного рассеяния. Так же, как и в случае когерентных
н, при кумулянтном усреднении мож
вол но выделить части диаграмм,
отвечаю
щие статистически связанным актам диффузного рассея-
, тогда как корреляция второ-
ния – компактные двухрядные диаграммы, образующие оператор
интенсивности
ˆ
=
K
+++…++
(5.24)
Члены этого ряда описывают элементарные акты диффузного
рассеяния. Важн
о отметить, что при распространении излучения от
источника до первого акта диффузного рассеяния, при переносе из-
чения между двумя последовательными актами диффузного
лу рас-
еяния, при распространении излучения от последнего акта д
с иффузного ра
ссеяния до точки наблюдения могут происходить произвольные корреляции в пределах верхнего или нижнего ряда диаграмм.
Как показано в разд. 5.3.2.1, все акты рассеяния с произвольными
корреляциями в сумме приводят к формированию когерентных волн.
Отмеченные выше корреляции физически означают, что когерентные
волны являются, с одной стороны, источниками диффузных волн, а с
другой стороны, являются «транспортным средством» для их переноса между элементарными актами диффузного рассеянии. С этим
обстоятельством связано экспериментальное проявление различного
рода «когерентных эффектов» при диффузном рассеянии рентгеновских лучей.
Учитывая вышесказанное, выражение для усредненной интенсивности можно представить в следующем виде:
+
+
+
ˆ
K
ˆ
K
K
+
ˆ
+
+…
64
(5.25)
Первое слагаемое в выражении (5.25) описывает когерентное
рассеяние, тогда как остальные – процессы однократного, двухкратного, и т. д. диффузного рассеяния. В области малых корреляционных длин наиболее существенный вклад в интенсивность диффузного рассеяния дает первая диаграмма ряда (5.24). Таким образом, при
τ
1<<
решении уравнения (5.25) в области
ˆ
K
≈
Λ
, можно считать, что
. (5.26)
Проблеме расчета интенсивности диффузного рассеяния в
области малых корреляционных длин посвящено большое число работ в современной литературе. Например, в работе [2] был подробно
исследован случай однократного диффузного рассеяния.
Анализ уравнения (5.25) применительно к задаче рассея
рентгеновских лучей был проведен в [3]. Там же была сде
статье лана
ния
оценка членов разложения оператора интенсивности (5.24) при
τ
1<
.
В работе [28] был предложен способ расчета оператора ин-
Λ
тенсив
н
ости для произвольного значения параметра порядка
τ
, ос-
Λ
нованный на упомянутой выше (см. разд. 5.3.1) аппроксимации корреляционных функций. Результаты работ [3] и [28] позволяют рассчитать
интенсивность рассеяния по формуле (5.25) для произвольной дефектности материала. Такие расчеты, однако, до сих пор не
проведены из-за сложности вычислительных процедур, так как уравнение (5.25), называемое в атистической радиофизике «лестничным у
равнением», имеет достаточно сложную структуру и не может
ст
быть решено традиционными методами интегральных преобразований.
В связи с этим представляет интерес другой подход к -
иссле
дованию многократного диффузного рассеяния, имеющий целью получение «уравнений переноса интенсивности» диффузно рассеянных
волн типа
65
(
(
T
(
)
∂
I r
0
r
∂
0
()
r
I
∂
g
r
∂
g
II
0 g
g
II
⎫
0
=σ−μ+
,
⎪
⎪
(5.27)
⎬
⎪
=σ−μ+
,0
0
⎪
⎭
с использованием оптических принципов. Эти уравнения известны в
теории структурного анализа еще с пионерских работ Дарвина.
Решение этой задачи позволит связат
п дефектов и таким обра-
ереноса с характеристиками распределения
ь параметры уравнений
зом получать данные о структурном совершенстве материалов в ходе
обычных процедур уточнения структурных факторов. Частным применением этих уравнений является получение Дарвиным уравнения
для интенсивности рассеяния для описанной в разд. 5.2.1 модели мозаичног
о кристалла.
Физически возможность перехода от волнового уравнения
(5.25) к уравнениям переноса связана с тем, что при малых корреляционных длинах корреляции в операторе интенсивности «стягивают»
точки рассеивания для комплексно сопряженных волн друг к другу,
так что можно говорить о распространении интенсивности диффузного рассеяния. Первые решения этой задачи можно найти в фундаменталь
класса коэффициенты в уравнении (5.27) равны
(μ
геновского излучения),
ных работах Като [30]. Как следует из них, для дефектов II
μ+μ=μ
0
– линейный коэффициент фотоэлектрического поглощения рент-
0
12gE . Тогда достаточно просто
2
2
)
τσ−=σ
диф
рассчитать интенсивность по уравнениям (5.27). При симметричной
дифракции в геометрии Лауэ для кристалла толщиной
)
T
σ−−
Y
онный параметр
≈
в геометрии Брегга –
Y . Примеры использо-
2exp1
T
σ
2
≈
, а при симметричн
2
0
000
)
σ+μμ+σμμ+
(
экстинкци-
ой дифракции
вания теории Като для анализа хаотически распределенных дислокаций можно найти в [27], [31]
Подробно равнений переноса выходит дале-
е рассмотрение у
.
ко за рамки предлагаемого пособия.
66
6. ПРИМЕР РУКТУРЫ
Ы АНАЛИЗА СУБСТ
6.1. Анализ по профилю линий
Ниже рассматриваются результаты анализа субструктуры порошка Nb, деформированного размол
ровой мельнице. На дифрактометре ДРОН-4 регистрировали в режиме шагового сканирования (шаг 0,05° в масштабе 2ϑ) профили линий
110 и 220. В качестве эталона использовали дисперсный порошок
(около 10 мкм) Ge (соответственно линии 220 и 422). Съемку прово-
дили в CoK
-излучении, монохроматизированном отражением от
α
кристалла графита на дифрагированном пучке. КФ физического профиля A(L) рассчитывали по программе PROFILE. Их значения для
обоих профилей приведены в табл. 6.1. Кроме того, в таблице указаны некоторые результаты расчетов (значения КФ, обусловленных
дисперсностью и МКД). Данные таблицы использованы как для анализа по двум линиям (разд. 2), так и по одной линии (разд. 3).
Данные для анализа субструктуры порошка ниобия
ом в высокоэнергетической ша-
Таблица 6.1
L, нм A
1,165 0,900 0,805 0,932 0,902 0,967
2,33 0,759 0,573 0,821 0,804 0,924
3,495 0,642 0,406 0,721 0,706 0,891
4,66 0,533 0,283 0,616 0,603 0,865
5,825 0,439 0,191 0,522 0,511 0,841
6,99 0,355 0,127 0,431 0,422 0,824
8,155 0,284 0,083 0,351 0,343 0,809
9,32 0,224 0,055 0,280 0,274 0,799
10,485 0,176 0,037 0,222 0,217 0,792
11,65 0,136 0,025 0,173 0,169 0,786
12,815 0,106 0,017 0,136 0,133 0,781
13,98 0,082 0,012 0,105 0,103 0,778
15,145 0,063 0,008 0,081 0,079 0,777
16,31 0,051 0,005 0,066 0,065 0,772
17,475 0,040 - 0,053 0,052 0,755
18,64 0,032 - 0,043 0,042 0,750
19,805 0,026 - 0,035 0,034 0,750
20,97 0,022 - 0,029 0,028 0,750
22,135 0,019 - 0,025 0,024 0,750
(L) A
110
(L) AD(L) A
220
Dиспр
(L) A
110 МКД
(L)
67
Длина усреднения L = t⋅d , а КФ вычисляли с постоянным
шагом по
110
номеру КФ t = 5.
Анализ по паре линий 110 – 220
КФ A
(L) и A
D
(L), приведенные в табл. 6.1, рассчитывали
МКД
по формулам (2.15).
В результате так называемого «hook (крюк)-эффекта» [8] ли-
нейная зависимость A
приводит к занижению значения A
нию величины остальных A
(L) в области малых L нарушается, рис. 10, что
D
(0), а следовательно, к завыше-
D
(L), так как они нормируются на AD(0).
D
Для внесения поправки на «hook-эффект» выделим линейную часть
зависимости A
(L) в области малых L (штриховая прямая на рис. 10),
D
которую продолжим до L = 0. Таким образом найдем истинное значение A′
(L = 1,165 нм). Для него перенормируем значение, взятое с штри-
A
D
ховой прямой. Так исправленные значения A
приведены в табл. 6.1. По зависимости A
(0) = 1,021, на которое и перенормируем все AD(L), кроме
D
(L), A
D
(L) определяем из
Dиспр
(L), также
Dиспр
фор-
мулы (2.13) значение T = 11,7 нм.
Рис исимо L
. 10. Зав сть AD от
а рис казана ормиро фун
Н . 11 по н ванная кция распределения
оков по ерам p ая по уле (2 данны
бл разм
л. 6.1 для
таб A
68
Dиспр
(L), рассчитанн форм .13) и м
D
(L):
′
где pD(L) =
−
=
′
D
)(
p
D
∑
L
)(
LLA
испр
)(
D
TLp
⋅=
+Δ−
2
)( LΔ
, (6.1)
′
LpL)(
D
−Δ+
DD
)(2)( LALLA
исприспр
, (6.2)
−=Δ
Рис. 11. Функция распределения блоков по размерам pD(L)
Расчет функции распределения блоков по (6.1) обеспечивает
выполнение нормировки
Формула (2.15) для пары линий 110 – 220 дает:
2
L
2
110
=ε
)(
⋅
2
π
2
LLLLL
.
iiii
+− 11
∞
∑
D
0
L
=
−
220110
−
220110
.
1)(
=
Lp
2
110
π
−
МКД
⋅
2
LALAd
)()(
LALA
)()(4
d
1
=⋅
2
L
2
LA
)(1
110
2
L
. (6.3)
2
)(
Зависимость в
формуле (6.3), от длины усреднения
еличин МКД (
L, показана на рис. 12.
Lε ), рассчитанных по
69
=
Рис. 12. Зависимость 〈ε(L)〉 от длины усреднения L
Для определения плотности дислокаций ρ и L0 строим по данным
табл. 6.1 с помощью уравнения (2.22) зависимость
Аппроксимация этой зависимости прямой в интервале ln
Ψ
(L) от lnL, рис. 13.
МКД
L, указанном
вертикальными штриховыми линиями (см. рис. 5), позволяют найти
–3
B = ρ⋅c = 2,66⋅10
πb2f/d
2
= 0,377 0( 2/3ab = ; 2/
110
11
см–2 при относительной погрешности около 10 %.
c =
ρ = 7,0⋅10
нм
–2
и L = 23,5 нм. Учитывая, что (стр. 28)
ad = ; 08,0
110
f ), получим
Рис. 13. График для определения ρ и L
70
0