5.3.1. Статистическое описание поля смещений

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ несовершенств кристаллического строения по профилю и интенсивности рентгеновских отражений. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

ляется на когерентную и диффузную составляющие. В теории дина-

мического рассеяния в кристаллах с дефектами I класса (см. разд. 1), подробно изложенной в монографии [2], интенсивность рассеяния пропорциональна статическому фактору Дебая – Валлера

guπ±−

где

u – вектор поля смещений дефектов, а знак ... – означает опера-

eeE

, (5.13)

цию усреднения по всем возможным положениям дефектов в кристалле при заданной их концентрации, типе и других макроскопически достоверных параметрах.

Для дефектов II класса, к которым относятся дислокации,

и, соответственно,

∞→M 0

[4]. Поэтому, строго говоря, коге-

рентное рассеяние в кристаллах с дислокациями должно отсутствовать. Тем не менее в кристаллах с малой плотностью дислокаций

( см

–2

10<ρ

) наблюдаются такие типично динамические эффекты,

как аномальное прохождение (эффект Бормана), маятниковые осцилляции интенсивности, экстинкция. Это происходит потому, что не-

gui

смотря на потерю дальнего порядка поля при малой плотно-

π±2

сти дислокаций ближний порядок простирается на расстояния, большие, чем длина экстинкции, так что рентгеновские лучи «не замечают» искажений кристаллической решетки.

Авторы монографии [2] формулируют условие сохранения

динамического рассеяния как условие малости изменения дисторсий

∂

атомных плоскостей на расстоянии порядка длины экстинкции

ru∂

по сравнению с

– шириной области отражения рентгеновских

лучей в совершенном кристалле. Очевидно, что далекие дислокации не могут вызывать сильных изменений дисторсий. Сделанный в работе [2] анализ показывает, что на рассеяние рентгеновских лучей могут оказывать влияние дислокации, удаленные от точки рассеяния на расстояния, не превышающие длину экстинкции. Ограничение числа эффективных дислокаций при расчете статического фактора

Дебая – Валлера приводит к его ненулевому значению Е

. Очевид-

но, при увеличении плотности дислокаций эффективный (перенормированный) статический фактор будет стремиться к нулю, так как в

Λ-окрестности точки усреднения будет находиться достаточно

IEI

большое число дислокаций. Наоборот, при малой плотности дисло-

каций Е

→ 1. В работе [2], показано, что

∗

−∗

∗

⎛ ⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

(5.14)

Таким образом, рассеяние излучения на кристаллах с хаотически распределенными дислокациями можно описывать как рассеяние на кристаллах с дефектами I класса с перенормированным статическим фактором Дебая – Валлера (5.14). Интенсивность этого рассеяния является суммой когерентной и диффузной составляющих.

Для расчета интенсивности рассеяния рентгеновских лучей от кристаллов с хаотически распределенными дислокациями авторы работы [2] использовали развитую ими ранее статистическую теорию рассеяния. При этом формула для расчета интенсивности когерентного рассеяния совпадает с соответствующим выражением для идеального кристалла, но с измененными в Е

дой рассеяния, т. е. . В геометрии «на отражение»

(см. формулу (1.5))

*дин

FEFI →

дин*ког

. Формула для расчета интенсивно-

раз структурной амплиту-

)(

сти диффузного рассеяния совпадает с формулой для диффузного

рассеяния в кинематическом приближении, т. е. . В

киндиф

IEI )1(2*−=

итоге получаем, что

2*кин*дин

EIEII

, (5.15) )

−+=

HKLHKLHKL

а параметр экстинкции

2**дин

EFEFYY

, (5.16) 1()(

где ) – коэффициент экстинкции, рассчитанный для

(

HKL

отражения HKL от совершенного кристалла, но с измененной в

раз амплитудой рассеяния.

→

*дин

FEFY

HKLHKL

−+→=

)

Теперь из уравнений (5.15), (5.16) возможно, измерив экспериментально или , определить Е

HKL

, а затем ρ по (5.14).

Выражения (5.15), (5.16) сходны с уравнениями (5.11) и (5.10). Близки и процедуры определения с их помощью плотности

HKL

1 VVE =−=

HKL

динк

дислокаций. Как предложено в работе [27], . Срав-

нив с учетом этого равенства значения или , рассчитанные

для одной и той же плотности дислокаций, можно обнаружить, что при работе по уравнениям (5.15) и (5.16) получаем большие значения, чем по уравнениям (5.10) и (5.11). Дело в том, что уравнения (5.15), (5.16) с одной стороны и (5.10), (5.11) – с другой, соответствуют двум предельным типам экстинкции, однородной и неоднородной, соответственно. Однородная экстинкция имеет место во всем кристалле, тогда интенсивность рассеяния определяется средними характеристиками всего ансамбля дефектов. Неоднородная экстинкция происходит только в отдельных областях кристалла («динамических»), и тогда интенсивность рассеяния определяется суммой интенсивностей по «динамическим» и «кинематическим» областям. Так как размер области сильных искажений в кристаллах с хаотически распределенными дислокациями по порядку величины совпадает с длиной экстинкции (выше указывалось, что радиус этой области составляет около трети длины экстинкции), то наблюдаемая в таких кристаллах экстинкция не может быть отнесена ни к тому, ни к другому типу. Поэтому естественно предположить, что экспериментальные значения интенсивности рассеяния лежат между величинами, рассчитанными для неоднородной (см. разд. 5.2.2) и однородной (см. разд. 5.2.3) экстинкции.

При дифракции в геометрии Лауэ расчет по формуле (5.15)

хорошо согласуется с экспериментальными результатами для тонких кристаллов (μt ~ 1). Для более толстых кристаллов расчетные значе- ния интенсивности выше, чем экспериментальные. Скорее всего, это связано с пренебрежением в рассматриваемой модели (так же, как в модели с выделенной кинематической областью) динамическим перерассеянием диффузного фона.

Кроме рассмотренных, имеются и другие модели экстинкции, которые являются, в большинстве, модификациями модели, рассмотренной в разд. 5.2.1. Следует, однако, иметь в виду, что только по измерениям экстинкции как интегральной характеристики дефектности (неидеальности) кристалла невозможно сделать вывод о том, какая из моделей более адекватна реальной ТКС исследуемого образца. Поэтому очевидна настоятельная необходимость завершения разработки теории динамического рассеяния рентгеновских лучей кристаллами с дефектами II класса (в частности, с дислокациями) в виде, применимом для практических целей анализа ТКС по экстинкции. Принципы одного из подходов к разработке такой теории рассматриваются ниже.

5.3. Основные принципы статистической динамической теории рассеяния

рентгеновских лучей реальными

кристаллами

Статистическая теория рассеяния рентгеновских лучей предполагает нахождение усредненной интенсивности рассеяния для той или иной схемы проведения дифракционного эксперимента. Усреднение интенсивности производится по различным возможным детальным распределениям дефектов кристаллического строения при фиксированных макроскопических средних характеристиках дефектов: их типе, концентрации, ориентации и т. д. Определение зависимости усредненной интенсивности от макроскопических средних характеристик дефектности позволяет рассматривать обратную задачу: определение характеристик дефектности по экспериментально наблюдаемой интенсивности.

Так как интенсивность пропорциональна квадрату модуля

вектора напряженности электрического поля,

– комплексно сопряженные величины), усредненная интенсив-

ность может быть представлена в виде суммы когерентной

диф

диффузной

частей

дифког

III += , (5.17)

~I (Е и

EEE =

ког

где

здесь – флуктуирующая часть напряженности поля,

Eδ

~I , EEE δδ=δ=

диф

EEE =

I ;

EEE −=δ .

Таким образом, для расчета интенсивности когерентного рассеяния необходимо вычислять усредненную напряженность электрического поля, тогда как для расчета интенсивности диффузного рассеяния – корреляцию комплексно сопряженных напряженностей электрического поля.

Для проведения усреднений, необходимых при расчете интенсивности, прежде всего необходимо найти уравнения, связывающие напряженность электрического поля с некоторой случайной реализацией типа, положения и ориентации дефектов кристаллического строения. Эта задача в статистической теории рассеяния решается

опосредованно: случайное распределение дефектов приводит к появ-

(

)

(

лению случайного поля смещения, вызывающего при рассеянии рентгеновских лучей дополнительные локальные фазовые сдвиги

gui

π±2

в точках рассеяния (знак “–“ при отражении от плоскости

()

hkl ,

“+” – при отражении от плоскости

зволя татист

ет разделить задачу на две: задачу с ического описания

случайного поля смещений или, лучше, случайного поля заданных типа, ориентации, концентрации дефектов и зад ати-

lkh . Такой подход по-

gui

π±2

для

ачу ст

стического описания процессов рассеяния в кристаллах с заданным

gui

π±2

полем

5.3.1. Статистическое описание поля смещений

Ре анализ

шение этой задачи, предполагает статистический

gui

случайн

ого поля

онных функций т

произвольной точке

π±2

и построение его многоточечных корреляци-

ипа

исследуемого

)

uuug ±+−π± ...2

, где

u – вектор смещения в

материала. Вычисление много-

точечных корреляционных функций может быть проведено в рамках той или иной статистической гипотезы. Простейшей является предположение о гауссовом распределении поля смещений

)

Ru в иссле-

дуемом материале, позволяющее явно выразить многоточечные кор-

реляционные функции через среднее

Дебая – Валлера) и парную корреляционну нкцию

guieπ±2

(статический фактор

ю фу

2 uug −π± i

e .

)

функци

Однако, наиболее интересны вычисления кор ых й, основанные на статистических моделях ТКС материала.

реляционн

Такова, например, блочная модель (см. разд. 2), в которой статистика

guieπ±2

поля микро маций в блоках мозаики, взаимной разориентации бло-

связывается с плотностями вероятности распределения

дефор

ков и их размеров.

gui

Корреляцио

Кривог гипот

лаза вычисляются на основе статистических ез о поло-

нные функции случайного поля в теории

π±2

жении дефектов (наиболее широко известен случай некоррелированного, или хаотического, распределения дефектов, рассмотрен также случай парных корреляций в расположении дефектов).

В предыдущих разделах пособия рассматривали

сь результаты

применения этих подходов для анализа кинематического рассеяния

(

для слу

чаев, где достаточно знания только парных корреляционных функций. В отличие от этого при динамическом рассеянии многоточечные корреляции являются существенными, что, безусловно, усложняет решение задачи.

guieπ±2

леким

зна-

Тем не менее, в тех случаях, когда длина экстинкции

чительно превышает длин ществе

нный вклад могут дать только корреляции низких порядков,

у корреляции случайного поля су-

поскольку точки усреднения оказываются достаточно да и, а значит, и статистически независимыми друг от друга (принцип ослабления корреляций). Это приводит к возможности выражения многоточечных корреляционных функций через корреляционные функции низких порядков.

В другом предельном случае больших длин корреляции точки усреднения оказыва

при вычислении корреляционных функций

ются достаточно близки друг к другу, так что

)

uuug ±+−π± ...2

измене-

ния фаз в соседних точках компенсируют друг дру а При бесконечно больших длинах корреляции корреляц и будут

ионные функци

г .

стремиться либо к величине статического фактора Дебая – Валлера

gui

π±2

их ч ле. Это отражает тот хорошо известный экспериментальный факт, чт

при нечетном числе точек усреднения, либо к 1 при четном

ис

о при уменьшении дефектности материала интенсивность рассеяния стремится к значению, рассчитанному по динамической теории для совершенного кристалла. Действительно, формирование дифрагированной волны предполагает нечетное число актов рассеяния. При вычислении интенсивности определяется среднее от произведения напряженностей

Е двух комплексно сопряженных волн. Та-

ким образом, суммарное число актов рассеяния оказывается четным. Так как при больших длинах корреляции все корреляционные функции с четным числом точек усреднения обращаются в 1, результат расчета интенсивности не будет отличаться от результата расчета для совершенного кристалла.

Промежуточные случаи, безусловно, более интересны для исследователей, но и боле ло в то

м, что по мере приближения длины корреляции к длине экс-

е сложны для теоретического анализа. Де-

тинкции для корректного описания случайного поля требуется все больше данных о многоточечных корреляциях, так что статистическое описание становится весьма трудоемко и громоздко. Для упрощения решения этой задачи в работе [28] было предложено исполь-

зовать вместо истинных многоточечных корреляционных функций сконструированные на основе парной корреляционной функции апроксимации, в основном передающие характер изменения корреляционных функций и верные в предельных случаях малых и больших корреляционных длин. Следует ожидать, что результаты расчетов интенсивности с апроксимациями корреляционных функций будут близки к истинным.

5.3.2. Статистическое описание рассеяния

Пере сеяния. Ее

йдем теперь к задаче описания процессов рас

решение пре частей интенси

поля

дполагает нахождение когерентной и диффузной

вности в зависимости от параметров беспорядка случайного

guieπ±2

. Точное решение этой задачи возможно или методами

теории многократного рассеяния [3], позволяющими формально точ-

йти р

но на ешения волновых уравнений для произвольного поля

gui

π±2

, а затем провести операции усреднения, или с помощью мето-

дов функционального анализа [29]. Ниже будут рассматриваться только

приложения теории многократного рассеяния.

В основе этой теории лежит представление рассеяния в виде суммы всех возможных актов рассеяния. Акты рассеяния друг от

друга кратностью рассеяния, т. е. волна может:

отличаются

• пройти от источника до точки наблюдения без рассеяния (рас-

пространение волны, или

•

пройти от источника до какой-либо точки в кристалле (точки рассеяния), в этой точке рассеяться и пройти к точке

(

однократное рассеяние);

•

пройти от источника до точки рассеяния, рассеяться и пройти к другой точке рассеяния, с блюдения (

•

и т. д. (

двухкратное рассеяние);

n-кратное рассеяние).

Интерференция всех возможных рас ю амплитуду рассеяния. Важно от-

пространения волн дает полну

метить,

что точки рассеяния не локализованы, а распределены в объеме рассеивающего объекта, поэтому амплитуда ния предполагает ложениям

n точек рассеяния в объеме материала.

n-кратное интегрирование по всем возможным по-

ноль-кратное рассеяние),

наблюдения

нова рассеяться и пройти к точке на-

процессов прохождения и

n-кратного рассея-

Для наглядного представления актов рассеяния целесообраз-

но использовать графическую технику. Обозначив

тонкой сплошной

линией амплитуду рассеянной волны, темным квадратом – точку

рассеян ия и штриховой линией – функцию, описывающую распространение волн, с учетом вышеизложенного запишем выражение

ноль-кратное рассеяние

однократное рассеяние

+…

В уравнении (5.18) точка

к ожение

ξ определяет положение источника, точки x

очек рассеяния.

двухкратное рассеяние

трехкратное рассеяние

n-кратное рассеяние

(5.18)

r является точкой наблюдения, точ-

задают пол

Выражение (5.18) носит достаточно общий характер. При рассмотрении проблемы рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах следует учит электро

магнитное поле имеет блоховскую (или квази-блоховскую)

ывать, что вследствие трансляционной симметрии

структуру и содержит набор амплитуд, соответствующих как проходящей, так и отраженным на кристаллографических плоскостях волнам. Поэтому, как амплитуда рассеяния, так и функции распространения и рассеяния должны содержать все блоховские компоненты поля. Это достигается с помощью матричных представлений: элементы матрицы содержат блоховские компоненты волнового поля. Аналогичным образом учитываются поляризационные состояния рентгеновских волн.

Существенно, что при заданной ориентации кристалла только ограниченное число блоховских волн может иметь заметную амплитуду. Это обстоятель вающих

распространение и рассеяние блоховских волн. Как правило,

ство ограничивает размерность матриц, описы-

для волн рентгеновского диапазона используется двухволновое приближение, т. е. предполагается такая ориентация кристалла, при которой только одно семейство кристаллографических плоскостей находится в отражающем положении. Тогда значимыми могут быть только амплитуды падающей и одной дифрагированной волны, так

что для описания волнового поля оказывается достаточно матриц

(

)

(

)

размерностью 4 щей и дифрагированной волнам, и для каждой волны есть два поперечных состояния поляризации). Кроме того, в двухволновом приближении (при стандартном выборе состояний поляризации для падающей и дифрагированной волн) при рассеянии невозможно изменение поляризации. Поэтому размерность матриц может быть уменьшена до размера 2

×4 (четыре возможных состояния отвечают падаю-

×2.

Функция рентгеновских волн от точки гут выступать источник, точка наблюдения (регистрации), или какието пром е точки рассеяния в кр странении волны не происходит ее перехода из падающей в дифрагированную и наоборот, то матричное представление этой функции должно содержать только диагональные компоненты, отвечающие распространению падающей и дифрагированной волн. Таким образом, используя косоугольную систему координат с единичными векторами {

рованной (

дующее представление для функции распространения:

ежуточны исталле. Так как при распро-

, eg, ey}, направленными вдоль падающей (

e ) волн и нормально к ним (ye ), можно записать сле-

ξ до точки r. В качестве этих точек мо-

()

e .

⎛ ⎜

=ξ−

⎜ ⎝

()

G ξ−δ

r , (5.19)

- я волна

δ-функции в формуле (5.19) учитывают, что падающа

ра ванная –

спространяется только вдоль направления а дифрагиро

вдоль

ξ−δξ−θ

описывает распространение

e ) и дифраги-

()

θξ−δ

−

e ,

⎞ ⎟

()

⎟

⎠

Оператор дифрагированну

дифрагированной волны в падающую на плоскости матрица оператора рассеяния содержит только антидиагональные

компоненты. Важно отметить, что в совершенном кристалле амплитуды рассеяния одинаковы в любой точке рассеяния ( огут быть

ю на плоскости (

описывает рассеяние как падающей волны в

hkl), так и обратное рассеяние – из

lkh , поэтому

они м

(

рассчитаны по формуле

идеальном кристалле они ваны медленно меняющимся по-

()

rgui

π2

лем . Выражение для оператора рассеяния имеет следующий

=σ

±g

яч

модулиро

), тогда как при рассеянии в не-

вид:

)

π2

rgu

()

−

()

⎜ ⎜ ⎝

π−

2 rgu

⎞⎛ ⎟

. (5.20)

⎟

⎠

5.3.2.1. Когерентное рассеяние

По определ олем называется

усредненное волно уды необходимо провест

и усреднение выражения (5.18) по всем дефектам. Так как в

этом выражении только оператор рассеяния

ению когерентным волновым п

вое поле. Для расчета его амплит

)

зависит от положения дефектов в решетке, то операция усреднения будет затрагивать

только операторы

)

. Такой подход форма решает задачу вы-

льно

числения амплитуд когерентного рассеяния, однако для практического расчета необходимо:

• вычислить многоточечные средние (см. выше),

• произвести суммирован

(5.18), поскольку в условиях динамического рас

ие членов ряда многократного рассеяния

сеяния все члены

этого ряда одинаково важны.

В общем виде поставленная задача решается с помощью

тод Этот метод основан на том, что

а кумулянтных разложений

среднее

значение произведения случайных величин (статистический момент этой случайной величины) можно записать в виде суммы произведений всех возможных кумулянтов

следующих примерах (кумулянты обозначены

φ=φ

;

φφ+φφ=φφ

212121

ccc

....

так, как это показано в

... ):

;

φφφ+φφφ+φφφ+φφφ+φφφ=φφφ

321231132321321321

cccccccccc

ме-

Кумулянт – одна из числовых характеристик распределения вероятностей слу-

чайной величины.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]