2.2. Квантование сигналов

Положим, что дискретный сигнал , полученный из непрерывного сигнала, может принимать любые значения из диапазона.Квантование сигнала заключается в замене каждого отсчёта значением из некоторого конечного множества, где– возможныеуровни квантования, в соответствии с некоторым правилом Q: [1]. Полученный сигналназываетсяцифровым.

Разобьем отрезок на N в общем случае неравных частей (по числу уровней квантования) точками, называемымипорогами квантования, где и. В этом случае правило квантованияQ будет иметь следующий вид: если, то принять. Обычно, гдеn – число бит для представления одного отсчёта сигнала.

Отсчёты дискретного сигнала удобно рассматривать как реализацию некоторой случайной величины непрерывного типа, при этом процесс квантования представляет собой процесс преобразования случайной величины непрерывного типа в случайную величину дискретного типа:. Выбор правила квантованияопределяется техническими возможностями реализации квантователя, а также наличием информации о законе распределения.

Для оценки ошибки квантования используется либо величина

(2)

где обозначение используется для математического ожидания, а горизонтальная черта означает операцию усреднения; либоотношение сигнал-шум (signal-to-noise ratio, SNR):

(3)

где и– среднеквадратичные значения (root mean square, RMS) сигнала и шума соответственно, а под шумом понимается сигнал ошибки. Вычисление среднеквадратичного значения производится по формуле

(4)

Отношение сигнал-шум выражается в децибелах (дБ). SNR тем выше, чем меньше амплитуда шума по отношению к амплитуде сигнала.

Равномерное квантование

Равномерное квантование удобно использовать в случае, когда о величине известно лишь то, что она попадает в некоторый диапазон, либо необходимо реализовать простейший вариант квантователя [1].

При равномерном квантовании диапазон разбивается наравных интервалов длины:,. В качестве уровней квантованиявыбираются середины интервалов:. Правило квантования при этом имеет следующий вид: если, то.

Если интервал равномерного квантования достаточно мал, можно считать, что ошибка квантованияподчиняется равномерному закону распределения на отрезке . В этом случае , а дисперсия ошибки равна [1]:

(5)

Оптимальное квантование

В случае, когда известна функция плотности распределения вероятностей случайной величины, причемприипри, ошибка квантования (2) принимает вид [1]:

. (6)

Для нахождения оптимального правила квантования необходимо решить задачу минимизации функции (6) по переменным ,. Данная задача сводится к решению системы уравнений:

(7)

Решение системы (7), которое в общем случае находится численными методами, определяет квантователь Ллойда-Макса и дает минимальное значение ошибки (6).

3. ЗАДАНИЕ

1. Построение временной и спектральной характеристик дискретного сигнала. Анализ влияния частоты дискретизации на спектр дискретного сигнала.

2. Квантование непрерывного и дискретного сигналов. Анализ влияния изменения шага квантования на временные характеристики непрерывного и дискретного квантованных сигналов. Оценка ошибки квантования экспериментальным и теоретическим путем.

3. Моделирование сигнала с неравномерным шагом квантования.

4. ХОД РАБОТЫ

1. Синтезировать сигнал x(t), представляющий из себя сумму нескольких синусоид с разными частотами.

Синтезировать его спектр.

Определить допустимые значения частоты дискретизации для сигнала x(t) . Синтезировать дискретный сигнал и его спектр.

Калибруя частоту дискретизации, проанализировать спектр дискретного сигнала.

Подобрать оптимальную частоту дискретизации для восстановления исходного сигнала по спектру дискретного.

2. Синтезировать сигнал x(t), представляющий из себя сумму нескольких синусоид с разными частотами.

Задав частоту дискретизации синтезировать дискретный сигнал.

Задать равномерный шаг квантования и синтезировать квантованные сигналы от непрерывного и дискретного.

Изменяя шаг квантования, проследить изменения в графиках сигналов.

Оценить ошибку квантования экспериментальным и теоретическим путем при произвольном шаге квантования. Сравнить их. Подобрать оптимальный шаг квантования для минимизации разности оценок.

3. Синтезировать сигнал с неравномерным шагом квантования, используя данные предыдущих заданий. Проанализировать графики.

Пример программы, выполненной в среде Matlab, приведен в Приложении 2.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулировать теорему Котельникова.

2. Что такое спектр дискретного сигнала?

3. Как связаны спектры аналогового сигнала и соответствующего дискретного сигнала?

4. Чему равен период спектра дискретного сигнала?

5. Схематично изобразить спектр дискретного сигнала с частотой дискретизации .

6. В чем заключается эффект наложения частот? Привести пример эффекта наложения частот.

7. В чем заключается процесс квантования?

8. Какие величины используются для оценки ошибки квантования? От чего зависит ошибка квантования?

9. Что такое равномерное квантование? В каких случаях его применяют?

10. Что такое оптимальное квантование Ллойда-Макса?

11. Чем нужно руководствоваться при выборе метода квантования?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3