2.4. Спектры периодических последовательностей прямоугольных импульсов

В электронной аппаратуре различного применения широко используются периодические последовательности прямоугольных импульсов. При этом соотношения длительности импульса τ и периода колебания T могут сильно отличаться. Например, колебания, которые вырабатывают тактовые генераторы, задающие «темп» работы компьютеров, характеризуются соизмеримыми значениями τ и T, а импульсы, применяемые в радиолокации, могут быть в сотни раз короче периода. Отношение T/τ называют скважностью импульса, а обратную величину (τ/T) — коэффициентом заполнения.

Рис. 6. Последовательность прямоугольных импульсов (а) и коэффициенты ряда Фурье (б)

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов, имеющих амплитуду А, длительность τ и следующих с периодом T (рис. 6, а). Выберем начало отсчета времени так, как показано на рисунке, то есть, чтобы импульс был симметричен относительно нулевой отметки, и вычислим коэффициенты ряда Фурье (1). Поскольку функция s(t) при таком положении осей оказывается четной, все b_n равны нулю, а для a_n получаем:

. (5)

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов принимает вид:

(6)

Значения коэффициентов ряда Фурье, вычисленные по формулам (5), изображены на спектральной диаграмме, показанной на рис. 6, б.

Коэффициенты a_n можно связать с функцией . Действительно, они будут пропорциональны (с множителем ) значениям функции при аргументах, соответствующих частотам гармоник. Это видно, если выражение (5) переписать так:

(7)

Таким образом, функция типа является огибающей для коэффициентов Фурье-разложения последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 6, б). Положение нулей огибающей на частотной оси f можно найти из условия или, где . Первый раз огибающая обращается в нуль при частотеf = 1/τ (или ω = 2π/τ). Далее нули огибающей повторяются при f = 2/τ, 3/τ, и т. д. Эти частоты могут совпасть (при целочисленных скважностях ) с частотами каких-либо гармоник спектра, и данные частотные составляющие из ряда Фурье исчезнут. Если скважность — целое число, периодT точно кратен длительности импульсов. Тогда между двумя нулями огибающей разместятся гармоники спектра в количестве q - 1.

Каким образом связаны параметры импульсов во временном и частотном представлениях иллюстрирует табл. 2. С увеличением периода T гармоники на спектральной диаграмме сближаются (спектр становится «гуще»). Однако изменение только периода не приводит к изменению формы огибающей амплитудного спектра. Эволюция огибающей (сдвиг ее нулей) зависит от длительности импульсов. Здесь показана эволюция амплитудных спектральных диаграмм для последовательностей прямоугольных импульсов, у которых изменяются длительности импульсов и периоды. По осям ординат спектральных диаграмм отложены относительные значения амплитуд гармоник: Они рассчитаны по формулам:

(8)

Таблица 2. Осциллограммы и спектрограммы последовательностей прямоугольных импульсов

2.5. Спектры хаотических (шумовых) колебаний

Хаотическое колебание s(t) — это случайный процесс. Каждая его реализация в неизменных условиях не повторяется, является уникальной. В электронике хаотические колебания связаны с шумами — колебаниями токов и напряжений, изменяющихся случайным образом вследствие беспорядочного движения носителей зарядов. В данном контексте хаотические и шумовые колебания считаются синонимами.

Рис. 7.Структурная схема измерения среднего квадрата шумового напряжения

Шумовое колебание можно описать в частотном представлении: ему сопоставляют некую спектральную характеристику, причем для случайного процесса она непрерывна. Теоретические основы спектрального разложения хаотических колебаний изложены в [2]. Не погружаясь в строгую теорию, объясним методику экспериментального исследования статистических параметров шумового напряжения s(t) по схеме, показанной на рис. 8.

Рис. 8. Схема измерения спектральной плотности интенсивности шумового напряжения

Пропустим шумовое напряжение s(t) через фильтр, выделяющий энергию колебаний в узкой полосе вблизи частоты f. При соблюдении условия << f колебание на выходе фильтра будет напоминать синусоиду с частотой f. Однако амплитуда и фаза этой синусоиды подвержены хаотическим изменениям. С уменьшением полосы пропускания фильтра форма выходного колебания все более приближается к синусоиде. Амплитуда ее уменьшается, но отношение среднего квадрата напряжения, прошедшего через фильтр (), к ширине полосы остается конечным и при последовательном уменьшении полосы стремится к определенному пределу W(f):

(9)

Предельную величину W(f) называют спектральной плотностью интенсивности процесса s(t). Она равна средней интенсивности гармонических составляющих, приходящихся на единичный интервал оси частот. При измерении W(f) используют узкополосный перестраиваемый фильтр, который можно настроить на любую частоту в заданном диапазоне измерений. Шумовое напряжение, прошедшее сквозь фильтр, подвергают квадратичному детектированию и усредняют (интегрируют). В результате получают средний квадрат: . Далее по известной полосе фильтра вычисляют W(f). Полную интенсивность процесса — средний квадрат — находят интегрированием спектральных составляющих шума по всем частотам:

(10)

Для подготовки к работе следует изучить в полном объеме данное пособие. Более подробные сведения по теме лабораторной работы можно найти в главе «Частотные спектры электрических колебаний, спектральный анализ» книги [1].