Статистика. Учебное пособие-2
.pdf
.
Это функция двух переменныхa0, a1 (все ti и Уi известны), которая при определенных a0, a1 достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функцийn переменных, получают значения коэффициентов a0, a1.
Для прямой:
,
,
где n - число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда Уi.
Если вместо абсолютного времениti выбрать условное
время |
таким |
образом, чтобы |
, то |
записанные |
|||
выражения для определения a0, a1упрощаются: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
Определение в рядах внутригодовой динамики. Многие |
|||||||
процессы |
хозяйственной |
деятельности, торговли, сельского |
|||||
хозяйства |
|
и |
других |
сфер |
человеческой |
деятельности |
|
подвержены |
|
сезонным |
изменениям, например, продажа |
||||
мороженого, |
потребление |
электроэнергии, |
производство |
||||
молока, сахара, продажа сельхозпродукции и др. |
|
|
|||||
Для анализа рядов динамики, подверженных сезонным изменениям, используются специальные методы, позволяющие установить и описать особенности изменения уровней .ряда
Прежде, |
чем |
использовать |
методы |
изучения |
сезонности, |
необходимо подготовить данные, приведённые в сопоставимый |
|||||
вид, за несколько лет наблюдения по месяцам или кварталам. |
|||||
Изменения сезонных колебаний производится с |
помощью |
||||
индексов |
сезонности. В зависимости от |
существующих |
в ряду |
||
121
динамики |
тенденций |
|
используются |
различные |
правила |
|||||||
построения индексов. Индекс сезонности: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
– |
средний уровень ряда, полученный в результате |
||||||||||
осреднения |
уровней ряда за одноимённые периоды времени |
|||||||||||
(например, |
средний |
уровень |
января |
за |
все |
годы |
наблюдения); |
|||||
|
– общий средний уровень ряда за всё время наблюдения. |
|
||||||||||
|
Вывод о наличии или отсутствия в ряду динамики ярко |
|||||||||||
выраженной тенденции может производиться, например, при |
|
|||||||||||
помощи метода укрупнения интервалов. |
|
|
|
|
||||||||
|
Прогнозирование (экстраполяция) – это |
определение |
||||||||||
будущих размеров экономического явления. |
|
|
|
|||||||||
|
Интерполяция – |
это |
определение |
недостающих |
||||||||
показателей уровней ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Наиболее простым методом прогнозирования является |
|||||||||||
расчет средних характеристик роста(средний абсолютный |
||||||||||||
прирост, средний темп роста и |
.)т.ди перенесение их |
на |
||||||||||
будущие |
даты. Прогнозирование на |
основе аналитического |
||||||||||
выравнивания является наиболее распространенным методом. |
||||||||||||
Под взаимосвязанными понимаются |
такие |
ряды |
динамики, в |
|
||||||||
которых уровни одного ряда в какой-то степени определяют |
||||||||||||
уровни |
другого. |
Например, |
ряд, |
отражающий |
внесение |
|||||||
удобрений на 1 га, связан с временным рядом урожайности, ряд |
|
|||||||||||
уровней средней выработки– с рядом динамики средней |
||||||||||||
заработной |
платы, |
ряд |
среднегодового |
поголовья молочного |
||||||||
стада – с годовыми уровнями надоев молока и т. д.
В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух и более рядов их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста.
Коэффициенты опережения по темпам –ростаэто отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста(также цепным или
122
базисным) |
другого |
ряда. |
Аналогично |
находятся |
и |
коэффициенты опережения по темпам прироста. |
|
|
|||
Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую |
|
||||
сложность |
при изучении |
временных |
последовательностей. |
||
Нередко совпадение общих тенденций развития бывает вызвано не взаимной связью, а прочими неучитываемыми факторами.
Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций, а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда. Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений)
на |
автокорреляцию |
и |
установление |
взаимосвязи |
между |
|
признаками. |
|
|
|
|
|
|
|
Под |
автокорреляцией |
понимается |
|
зависимость |
|
последующих |
уровней |
ряда |
от предыдущих. Проверка |
на |
||
наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина– Уотсона:
,
где εt – отклонение фактического уровня ряда в точкеt от теоретического (выравненного) значения.
При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция, при К = 2 автокорреляция отсутствует, при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция.
22. Анализ сезонных колебаний
При анализе колеблемости динамических рядов наряду с выделением случайных колебаний, возникает задача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических (сезонных) колебаний необходимо с целью исключения их влияния на общую динамику для выявления -чи стой (случайной) колеблемости.
К сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или менее устойчиво
123
повторяющиеся из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен года. К
сезонным |
явлениям относят, например, |
потребление |
элект- |
||||||
роэнергии; неравномерность производственной деятельности в |
|||||||||
отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой |
|||||||||
сельскохозяйственного |
|
|
сырья, перевозки |
пассажирским |
|||||
транспортом; спрос на многие виды продукции и услуги. |
|
||||||||
Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой |
|||||||||
ущерб национальной экономике, связанной с неравномерным |
|||||||||
использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной |
|||||||||
загрузкой |
транспорта, |
необходимостью |
создания |
резервов |
|||||
мощностей |
и .т.дКомплексное |
регулирование |
сезонных |
||||||
изменений по отдельным отраслям должно основываться на |
|||||||||
исследовании сезонных отклонений. |
|
|
|
|
|||||
Многие |
временные |
ряды |
имеют |
ярко |
выраженные |
||||
сезонные |
|
компоненты, |
повторяющиеся |
с |
определенной |
||||
периодичностью. Эта периодичность имеет место каждый год. |
|||||||||
Если |
в |
анализируемой |
временной |
последовательности |
|||||
наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции(в большую |
|||||||||
или в меньшую сторону), то можно предположить наличие в |
|||||||||
ряду |
динамики |
некоторых(одного |
или |
|
нескольких) |
||||
колебательных процессов. |
|
|
|
|
|
|
|||
Это |
|
особенно |
|
заметно, когда |
изучаемые |
явления |
|||
имеют сезонный характер, |
– возрастание или убывание уровней |
||||||||
повторяется регулярно с интервалом в один (годнапример, производство молока и мяса по месяцам ,годапотребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.). Задачи, которые необходимо решить в ходе исследования сезонности:
-выявить наличие сезонности;
-численно выразить сезонные колебания;
-выделить факторы, вызывающие сезонные колебания;
-оценить последствия сезонных колебаний;
-провести математическое моделирование сезонности.
Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые из них:
124
-метод абсолютных разностей;
-метод относительных разностей;
-построение индексов сезонности.
Первые два способа предполагают нахождение разностей фак- |
|
||||||||||
тических уровней и уровней, найденных при выявлении основ- |
|
|
|||||||||
ной тенденции развития (тренда). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяя |
способ |
абсолютных |
разностей, оперируют |
|
|
||||||
непосредственно |
|
размерами |
этих |
разностей, |
при |
|
|||||
использовании метода |
относительных |
разностей, определяют |
|
|
|||||||
отношение |
абсолютных |
размеров |
указанных |
разностей |
к |
||||||
выровненному уровню. При выявлении основной тенденции |
|
||||||||||
используют |
|
|
либо |
|
метод |
|
скользящей , |
|
с |
||
либо аналитическое |
выравнивание. В |
некоторых |
случаях |
|
в |
|
|||||
стационарных |
рядах |
можно |
пользоваться |
|
разностью |
||||||
фактических уровней и средним месячным уровнем за. год |
|
||||||||||
Использование данных за несколько лет связано с тем |
|
|
|||||||||
обстоятельством, |
что |
в |
отклонениях по |
отдельным |
|
годам |
|
||||
сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы |
|
|
|||||||||
элиминировать |
случайные |
|
колебания, берут средние |
|
|||||||
отклонения за несколько лет. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для выделения сезонной волны надо определить средний |
|
||||||||||
уровень за |
каждый месяц |
по 3-5-летним данным |
и общую |
|
|
||||||
среднюю |
за |
|
весь |
|
рассматриваемый . |
Общаяпериод |
|
|
|||
средняя получается делением суммы уровней за все 3-5 лет на |
|
|
|||||||||
36 или 60 (общее |
число |
месяцев). Затем |
определяется |
|
|||||||
абсолютное |
отклонение |
средних |
месячных |
показателей |
от |
|
|||||
общей средней. Метод абсолютных разностей заключается в расчете месячных средних и общей средней с последующим их сравнением:
где yt — средний месячный уровень показателя за три и более лет, yc — среднемесячное значение показателя за все годы.
Если сезонность оценивается по данным 3за года (36 месяцев), если за 5 лет (60 месяцев):
125
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
где yi — значение уровня динамического ряда. Величина и знак |
|
|||||||
значений |
абсолютных |
отклонений |
определяют |
наличие |
||||
сезонности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
качестве |
показателя, характеризующего |
сезонную |
|
||||
неравномерность, |
используется |
показатель |
относительного |
|||||
отклонения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
|
относительных |
|
разностей |
явля |
|||
развитием метода |
абсолютных разностей. Для нахождения |
|
||||||
относительных разностей абсолютные отклонения делят |
на |
|||||||
общую |
среднюю |
и выражают |
в процентах. По |
величине |
и |
|
||
знакам значений относительных отклонений можно судить о величине и силе влияния сезонного фактора:
.
Вместо относительных разностей за каждый месяц может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как отношение среднего уровня соответствующего месяца к общей средней. Индекс сезонности рассчитывается:
.
где yt — средний уровень показателя соответствующего месяца за 3 и более лет; yc — среднемесячное (по году) значение показателя за все годы (общая средняя).
Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100 %. Если индекс сезонности превышает 100 %
– это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда и наоборот. Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда. Выделение сезонной волны можно выполнить на основе
построения |
аналитической |
модели |
проявления |
сезонных |
|
колебаний. Построение |
аналитической |
модели |
выявляет |
||
126
основной закон колеблемости данного временного ряда в связи с переходом от месяца к месяцу и дает лишь среднюю характеристику внутригодичных колебаний.
23. Сглаживание временного ряда
Одной из важнейших задач исследования временного ряда
является |
выявление основной |
тенденции изучаемого процесса, |
||||
выраженной неслучайной составляющей (тренда, либо тренда с |
||||||
циклической или/и сезонной компонентой). |
|
|||||
Для |
решения этой |
задачи необходимо выбрать модель |
||||
(вид функции). |
Наиболее |
часто |
используются |
следующие |
||
функции: линейная, полиномиальная, экспоненциальная, |
||||||
логистическая, |
Гомперца. |
Из |
двух |
функций |
предпочтение, |
|
обычно, отдается той, для которой сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных– минимальна. Однако этот принцип нельзя доводить до абсурда, т.к. для любого ряда из точек можно подобрать полином i-й степени, проходящий через все точки. В этом случае сумма квадратов отклонений будет
равна |
нулю, |
однако при |
этом |
бессмысленно |
говорить о |
||||
выделении основной тенденции, учитывая случайный характер |
|||||||||
эмпирических данных (точек). На практике, при прочих равных |
|||||||||
условиях |
предпочтительно |
использовать |
|
более |
простые |
||||
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения временного ряда или рассматриваются как |
||||||||
зависимая |
переменная, |
а |
время |
как |
объясняющая, где |
||||
возмущения, |
представляющие |
независимые |
|
и |
одинаково |
||||
распределенные случайные величины, распределение которых |
|||||||||
предполагается нормальным. Как и в регрессионном анализе, |
|||||||||
для |
определения |
коэффициентов(параметров) |
|
модели |
|||||
воспользуемся методом |
наименьших |
квадратов. Представим |
|||||||
функцию в виде линейной комбинации базисных функций, |
|||||||||
являющихся линейно независимыми степенными функциями. |
|
||||||||
|
Другим методом выравнивания (сглаживания) временного |
||||||||
ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод |
|||||||||
скользящего среднего. Метод основан на переходе от исходных |
|||||||||
эмпирических |
данных |
к средним |
значениям |
|
на |
интервале |
|||
127
времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени"скользит" вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда около своего среднего(сглаженного) значения характеризуется дисперсией, то разброс средних из
членов временного ряда около того же значения будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторым весом), медиана и др.
|
Прогнозирование временных рядов. Одна из важнейших |
||||||
задач |
анализа |
|
временного(динамического) |
ряда |
состоит |
||
в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. |
|||||||
При |
этом |
исходят |
из , чтотого |
тенденция |
развития, |
||
установленная |
в |
прошлом, может |
быть |
распространена |
|||
(экстраполирована) на будущий период.
Задача ставится так: имеется временной (динамический)
ряд, необходимо дать прогноз уровня этого ряда на момент
времени. Если рассматривать временной ряд как регрессионную |
|
||||||||||||
модель изучаемого признака по переменной"время", то к нему |
|
||||||||||||
могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. |
|
||||||||||||
Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок |
|
||||||||||||
регрессионного |
анализа |
состоит |
|
в , чтотом |
возмущения |
|
|||||||
представляют |
собой |
|
независимые |
|
случайные величины |
с |
|||||||
математическим ожиданием (средним значением) равным нулю. |
|
||||||||||||
А |
при |
работе |
с |
временными |
рядами |
такое |
допущение |
||||||
оказывается в большинстве случаев неверным. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Действительно, |
если |
вид |
|
функции |
тренда |
выбран |
||||||
неудачно, то вряд ли можно говорить о том, что отклонения от |
|
||||||||||||
нее (возмущения), являются |
независимыми. |
В |
этом случае |
|
|||||||||
наблюдается |
|
заметная |
концентрация |
|
положительных |
и |
|||||||
отрицательных |
возмущений, |
и |
можно |
предполагать |
их |
||||||||
взаимосвязь. |
Если последовательные |
|
значения коррелируют |
|
|||||||||
между |
|
собой, |
то |
|
|
говорят |
|
об |
автокорреляции |
||||
возмущений (остатков, ошибок). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Метод наименьших квадратов, вообще говоря, и в случае |
|
|||||||||||
автокорреляции |
|
возмущений |
|
|
дает |
|
несмещенные |
||||||
128
состоятельные оценки параметров, однако их интервальные |
|
||||||||
оценки могут содержать грубые ошибки. В случае выявления |
|
||||||||
автокорреляции |
возмущений |
целесообразно |
вернуться |
к |
|||||
проблеме спецификации уравнений регрессии (выбора функции |
|
||||||||
тренда), пересмотреть набор включенных в него переменных. |
|
||||||||
|
Наиболее простым и достаточно надежным критерием |
|
|||||||
определения |
автокорреляции |
возмущений |
является критерий |
|
|||||
Дарбина – Уотсона. С помощью этого критерия проверяется |
|
||||||||
гипотеза об отсутствии автокорреляции между соседними |
|
||||||||
остаточными членами ряда и (для лага), где выборочная оценка. |
|
||||||||
|
Авторегрессионная модель. Для конкретного временного |
|
|||||||
ряда |
далеко |
не всегда удается подобрать адекватную модель |
|
||||||
вида, |
для |
которой ряд возмущений |
будет |
удовлетворять |
|||||
основным предпосылкам регрессионного анализа, в частности, |
|
||||||||
не будет автокоррелирован. В этом случае целесообразно |
|
||||||||
попытаться |
использовать |
другие |
, моделинапример, |
|
|||||
авторегрессионные, |
учитывающие |
влияние |
предыдущих |
|
|||||
уровней |
фактора. |
Авторегрессионная |
модельp-го |
порядка |
|
||||
описывает изучаемый процесс в момент в зависимости от его |
|
||||||||
значений в предыдущие моменты. Если исследуемый процесс в |
|
||||||||
момент определяется лишь его значениями в предшествующий |
|
||||||||
период, |
то |
рассматривают |
авторегрессионную |
модель1-го |
|
||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.Индексы
24.1.Понятие об индексах
Особым видом относительных величин являются индексы.
Индекс (Index) |
означает |
указатель, показатель. Особенности |
|||
индексов в том, что: |
|
|
|
|
|
1) с помощью индексов одним числом можно выразить |
|||||
соотношение |
разнородных явлений, показатели которых не |
||||
могут быть непосредственно суммируемыми. Посредством |
|||||
индекса можно установить процент выполнения |
плана по |
||||
каждому отдельному виду продукции, а также средний процент |
|||||
выполнения |
плана |
по |
всей |
продукции |
коммерческого |
предприятия, который выпускает различные виды продукции;
129
2) с помощью индексов можно характеризовать степень |
|
||||||||||||||
выполнения плана и степень изменения явлений во времени и |
|
||||||||||||||
соотношение величин явлений в пространстве; посредством |
|
||||||||||||||
экономических индексов можно выразить задание по плану. |
|
|
|||||||||||||
В |
статистикеиндекс – |
|
это |
относительная |
величина, |
|
|||||||||
характеризующая |
изменения |
|
во времени и в пространстве |
|
|||||||||||
уровня |
изучаемого |
общественного |
явления(процесса), или |
|
|||||||||||
степень выполнения плана. По степени охвата различают два |
|
||||||||||||||
вида индексов: индивидуальные и общие. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24.2. Веса агрегатных индексов цен и физического |
|
|
|||||||||||||
объема продукции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Агрегатная формула индекса товарооборота показывает, |
|
||||||||||||||
что его величина зависит от двух явлений, от двух переменных |
|
||||||||||||||
величин: |
физического |
объема |
|
товарооборота, т. е. количества |
|
||||||||||
проданных товаров, и цены за каждую единицу реализованных |
|
||||||||||||||
товаров. |
Чтобы |
|
выявить |
|
влияние |
|
каждой |
переменной |
в |
||||||
отдельности, следует влияние одной из них исключить, . е. |
|
||||||||||||||
принять |
ее |
условно |
в |
|
качестве |
постоя, неизменной |
|
||||||||
величины на уровне отчетного или базисного периода. Вопрос о |
|
||||||||||||||
том, какой период принять в качестве постоянной величины, |
|
||||||||||||||
рассмотрим на примере индекса цен и индекса физического |
|
||||||||||||||
объема товарооборота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Агрегатный индекс цен. Общее изменение цен можно |
|
||||||||||||||
определить, если считать постоянной величиной количество |
|
||||||||||||||
реализованных товаров за отчетный или базисный период. Если |
|
||||||||||||||
для получения индекса цен принимать в качестве весов данные |
|
||||||||||||||
о количестве |
реализованных |
товаров |
за |
отчетный |
,период |
|
|||||||||
можно получить следующую формулу агрегатного индекса цен: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
I |
|
= |
å p1q1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
å p0 q1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где p1 и р0 – единицы |
реализованных |
товаров |
в |
отчетном и |
|
||||||||||
базисном |
периодах; |
q1 – |
количество реализованных |
товаров |
в |
|
|||||||||
отчетном периоде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130