Статистика. Учебное пособие-2

1) средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин: Если хi = yi+zi, то

значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону:

5) пятое свойство средней показывает нам, что она не зависит от размеров весов, но зависит от соотношения между ними. В качестве весов могут быть взяты не только относительные, но и абсолютные величины. Если все частоты

81

ряда разделить или умножить на одно и тоже числоd, т средняя не изменится.

среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f. Допустим, известны индивидуальные значения признаках и произведениях/, а частоты неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение = х/; откуда:

f = m . x

Далее преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по существующим даннымх и m исчислить среднюю. Выразив в формуле средней арифметической/ через х и m, получим:

Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначаетсях гарм. взв. Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f, а известно произведение fх = z. Когда произведенияfх одинаковы или равны единицы (m = 1), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

82

где х – отдельные варианты; n – число.

Средняя геометрическая. Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

K = K1 × K2 ×KKn .

Средняя квадратическая взвешенная равна:

åx 2 f

x= å f .

15.Средняя арифметическая и ее свойства

Под средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных

83

интервальный вариационный ряд: 1) найти серединные значения

каждого из интервалов. x = åxi Ni .

åNi

Вычислительные свойства средней арифметической:

1) если все значения признака уменьшить(увеличить) на одну и ту же величинуА, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А;

2)если все значения признака разделить(умножить) на какое-либо постоянное числоА, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в А раз;

3)если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное числоА, то средняя арифметическая не изменится.

Сущностные свойства средней арифметической:

1)средняя арифметическая постоянной величины = этой постоянной величине;

84

2) сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифметической равна нулю: å(xi - x) fi = 0 .

где m1 – частота или вес, показывает сколько раз встречается

каждое i-е значение признака.

Если частота выражения в процентах, то

x = åxi fi ,

å fi

где fi – удельные веса, å fi = 100 % .

Свойства средней арифметической.

1. Алгебраическая сумма отклонений всех вариант от их средней арифметической равна нулю:

å(xi - x)mi = 0 .

85

å( xi - x )mi = å xi mi - å xmi = å ximi - xåmi = 0.

2.Сумма квадратов отклонений всех вариант от их средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений

вариант от любого другого числа a ¹ x :

å(xi - x )2тi <å(xi -a)2mi .

Рассмотрим правую часть

å( xi - a )2 mi =(( xi - x ) + ( x - a ))2 mi å( xi - x )2 mi + 2å( xi - x )( x - a )mi +

144424443

+å( x - a )2 mi = å( xi - x )2 mi + å( x - a )2 mi .

В правой части два положительных слагаемых, которые будут

минимальности средней арифметической.

3.Средняя арифметическая алгебраической суммы

+ å zimi = x + y +K+ z .

åmi

4.Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и

то же число а, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на а:

yi = xi - a , то y = x - a .

86

y = å yimi = å( xi - a )mi = å xi mi - åami = å ximi -

- aåmi = x - a.

åmi

5.Если все варианты увеличить или уменьшить в одно и

то же число раз b, то и средняя увеличится или уменьшится в b раз:

6. Если все веса средней арифметической уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится:

Относительная величина структуры:

87

16. Структурные средние величины. Мода и медиана

встречается чаще всего(является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение(наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (Me) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие. Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения. Свойство

88

медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних. Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; fme – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или

17.Показатели вариации

17.1.Понятие вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией

разному сочетаются в каждом отдельном случае. Колебания отдельных значений характеризуют показатели вариации.

89

Термин «вариация» произошел от .латvariatio – «изменение, колеблемость, различие». Под вариацией понимают количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Систематическая вариация помогает оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.

Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета. Для характеристики колеблемости признака используется ряд показателей, такие как размах вариации, определяемый как разность между наибольшим(хмах) и наименьшим (хmin) значениями вариантов:

определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней без учета знака этих отклонений:

D = å x - x1 . n

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (2 – средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат (х – х1)2 :

90