Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

_________________________________________________________________________

Н. Б. ИТКИНА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2023

нием дифференциального уравнения и имеет вид y (x, C), где С –

произвольные постоянные. Выбрав некоторое значение С, получим

частное решение дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения, содержащего квадратуры, т. е. неопределенные интегралы, которые могут быть вычислены аналитически или численно.

Решениевсегдаможетбытьпровереноподстановкойвдифференциальное уравнение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

В этом случае дифференциальное уравнение определяет переменную y как однозначную функцию переменных x, y :

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Дифференциальные уравнения вида

называются уравнениями с разделенными переменными. Функ-

ции f1 и f2 – непрерывные функции. Пусть y(x) есть решение уравнения(3). Тогдаеслиподставить y(x) в(3), тополучимтождество, проинтегрировав которое определим решение:

Интегральному соотношению (4) удовлетворяет каждое решение дифференциального уравнения (3). В свою очередь, решение (4) будет удовлетворять уравнению (3).

Уравнение Ф(x, y) 0, определяющее решение y(x), называется

общим интегралом этого уравнения. Частное решение можно полу-

чить, задав значение y в точке x0 .

4

Пример. 1. ex2 dx lndyy , ∫ex2 dx ∫ lndyy C – общийинтеграл, урав-

нение не интегрируется в квадратурах.

2. xdx ydy 0 xdx ydy,

∫ xdx ∫ ydy C x2 y2 C, 2 2

x2 y2 C.

Уравнение вида 1(x) 1( y)dx 2 (x) 2 ( y)dy, в котором коэффи-

циенты при дифференциалах представлены в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента (x или y),

называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Эти уравнения путем деления на функции 2 (x) и 1( y) при-

водятся к виду уравнений с разделенными переменными:

1(x) dx 2 ( y) dy. Следует отметить, что деление уравнения на про-

2 (x) 1( y)

изведение функций 2 (x) 1( y) может привести к потере частных решений, обращающих в ноль 2 (x) 1( y), а если функции 2 (x) и 1( y) разрывные, то возможно появление лишних решений, обращающих в

1

ноль множитель 2 (x) 1( y) .

Пример. dydx xy , dyy dxx , интегрируя, получаем

ln | y | ln | x | C, С > 0.

Потенцируя, получаем | y | C | x | . Если полагать решение гладким, то оно будет эквивалентно уравнению y Cx , C 0 . Однако при де-

лении на y было потеряно решение y = 0, поэтому можно считать, что С принимает и нулевое значение. Тогда общее решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде y Cx для любой

произвольной постоянной С.

5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

имеют вид

1(x) 1( y)dx 2 (x) 2 ( y)dy.

Эти уравнения приводятся к виду уравнений с разделенными переменными:

1(x) dx 2 ( y) dy.

2 (x) 1( y)

Проинтегрировав соотношение, получаем общее решение дифференци-

вольная постоянная.

2.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:

dydx f (ax by c),

где a, b, c – константы.

Сделав замену переменных z ax by с, получим ДУ с разделяю-

щимися переменными: dxdz a bf (z) . 3.  Однородные дифференциальные уравнения:

6

Замена переменных: перенос начала координат в точку пересечения

ДУ приводится к уравнению типа 2.

5.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: dydx p(x) y f (x) .

Уравнения такого вида решаются методом вариации постоянной: 1)  решение однородного линейного ДУ первого порядка:

неоднородного ДУ. Подставляя решение в исходное неоднородное ДУ, получаем уравнение для определения функции C(x) :

7

Замена переменных z y1 n приводит уравнение Бернулли к виду ли-

нейного уравнения первого порядка. 7.  Уравнение Риккати:

dydx p(x) y q(x) y2 f (x) .

Уравненияэтоготипавобщемвиденеинтегрируются, ноеслиизвестно хотя бы одно частное решение уравнения, то заменой y(x) y1(x) z(x) ,

( y1(x) – частное решение, z(x) – новая неизвестная функция) уравне-

ние Риккати приводится к виду уравнения Бернулли. 8.  Уравнения в полных дифференциалах:

M (x, y)dx N(x, y)dy 0,

где My Nx . Тогда уравнение представляет собой полный дифферен-

циал некоторой функции U (x, y) : dU (x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy. Решение этого уравнения имеет вид U (x, y(x)) C, где C – произвольная постоянная. Будем искать решение ДУ в полных дифференциалах в виде U (x, y) ∫ M (x, y)dx C( y) .

шения определяется вид функции C( y) .

ЗАДАЧА КОШИ

Определение. Дифференциальное уравнение y f (x, y) с дополнительным условием y(x0 ) y0 называется задачей Коши или началь-

ной задачей, дополнительное условие – начальным условием или условием Коши.

Теорема о существовании и единственности решения задачи

влетворяет условию Липшица по переменной y: f (x, y1) f (x, y2 )

8

Доказательство. Существование и единственность решения задачи Коши эквивалентно существованию и единственности решения интегрального уравнения:

x

y(x) y(x0 ) ∫ f ( , y( ))d .

x0

Построим отображение:

x

g( y(x)) y(x0 ) ∫ f ( , y( ))d .

x0

По теореме о неподвижной точке решение интегрального уравнения существуетиединственно, еслиотображение g(y) будетсжимающим[1].

Проверим выполнение условия:

x

(g( y1), g( y2 )) max ∫ K ( y1, y2 )d Ka ( y1, y2 ) .

x R x0

При выполнении условия Ka 1 отображение будет сжимающим.

По построению решение интегрального уравнения должно принад-

x

лежать прямоугольнику R: y(x) y(x0 ) ∫ f ( , y( ))d Ma b, т. е. x0

стороны прямоугольника связаны соотношением

a Mb .

9

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

Определение. Дифференциальные уравнения вида

называют уравнениями, не разрешенными относительно производной.

Уравнение (5) можно проинтегрировать, введя параметризацию:

шенное относительно производной. Особый интерес представляют два частных случая уравнений, не разрешенных относительно производ-

10