Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

Теоремаосуществовании иединственностирешениядифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной.

Пусть в некотором параллелепипеде с центром в точке (x0 , y0 , p0 )

Определение. Множествоточекповерхности впространстве(x, y, p), в которых нарушаются условия (6) теоремы, определяют кривые, называющиеся дискриминантными. Ветви этой кривой могут быть решениями уравнения (5). Ветви дискриминантной кривой называются осо-

быми решениями уравнения (5).

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.   y (4x y 3)2 . 2.  2xy y ln( y ) . 3.  (2x2 y ln y x) y y.

4.   y(xy y ) x( y )2 (1 x) .

6.  Определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности реше-

ния задачи Коши, особые решения: y 1 . x2

11

Решение

1.  Уравнение y (4x y 3)2 – этоДУ, приводящеесякуравнению

2.  Уравнение 2xy y ln ( y ) – уравнение Клеро. Перепишем ДУ ввиде y ln ( y ) 2xy , продифференцируемпо x исделаем замену пе-

в исходное уравнение и получим соотношение для определения неиз-

12

3.  Уравнение (2x2 y ln y x) y y – уравнение, нелинейноеотноси-

нение первого порядка. Решаем методом вариации постоянной. Реше-

ниеоднородногоДУ y dydz z имеетвид z( y) Cy. Тогдарешениенеод-

нородногоДУ z( y) C( y) y. ПодставляярешениевнеоднородноеДУ, по-

пускающее понижение порядка. Проверим выполнение условий однородности [3]: при замене y ky, y ky , y ky уравнение примет

вид ky(kxy ky ) k2 x( y )2 (1 x) , где k – постоянная величина. Уравнение однородно, значит, замена y(x) exp ∫ z(x)dx понижает по-

рядок уравнения на единицу. Вычислим y (x) z (x)exp ∫ z(x)dx ,

13

y (x) z (x) z2 (x) exp ∫ z(x)dx иподставимэтивыражениявисход-

ное уравнение. После приведения подобных получаем ДУ xz z 0 .

частное решение в виде правой части: y1(x) ax . Подстановка в ДУ позволяет определить параметр а: a2 a 14 0 , т. е. a 12 . Тогда частное решение: y1(x) 21x . Общее решение ищем в виде y(x) z(x) y1(x) z 21x . Подставляя решение в уравнение Риккати,

получаем z z2 xz 0 – это уравнение Бернулли. Используя прием из пункта 3, решаем уравнение Бернулли. Общее решение имеет вид

кривая имеет горизонтальную асимптоту y 0 . Условия теоремы суще-

ствования и единственности выполнены на всей действительной прямой,

14

Определить тип дифференциальных уравнений и решить:

1)   y2 y x2 sin3 x y3 ctg x ; 2)  (1 x2 y)dx x2 ( y x)dy 0 ; 3)  ( y )4 4y(xy 2 y)2 ;

4)   y (3 ( y )2 y) ( y )4 ;

9)   y x3 y 3y ;

10)  (2x 3y 1)dx (4x 6y 5)dy 0 ;

13)   yy y2 ctg x cos x ;

14)  (cos x xsin x)ydx (xcos x 2y)dy 0 ; 15)  x2 ( y )2 2(xy 2) y y2 0 ;

16)  x2 ( y2 y ( y )3 ) 2 y2 y 3xy( y )2 ; 17)   y y xy3 ;

18)  (sin x y)dy ( y cos x x2 )dx 0 ; 19)   y2 x2 ( y )5 xy(( y )2 ( y )3) ; 20)   y2 y ( y )3 ;

15

21)   y x y (x2 1) xy ;

22)  (x3 2xy2 )dx 3x2 ydy xdy ydx ;

34)  x2 yy 1 (1 y)xy ; 35)  (1 x2 ) y 2xy2 xy ; 36)  2 y x ln y ;

37)   yy ( y )2 2xy2 ; 38)  2xy y sin y ;

16

39)   y (3 y( y )2 ) ( y )4 ; 40)  x yy 2xy ln x 1 0 ;

41)  (exp y 2xy)dx (exp y x)xdy 0 ;

50)  (2x exp y y4 ) y y exp y .

17

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определение. Система дифференциальных уравнений называется линейной (СЛДУ), если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных:

торешениебудетединственнымприусловии, чтовектор-функцияF непрерывна на Г и коэффициенты матрицы А: aij (x) – тоже непрерывные

функции.

Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

1)  если Y – решение однородной системы (9), то CY (C const) бу-

дет тоже решением уравнения (9).

2)  если Y1, Y2 являютсярешением(9), то Y1 Y2 – тожерешение(9).

19

Определитель системы (10) называется определителем Вронского

для решений Y1, Y2 , , Yn .

Теорема1. ЕслиопределительВронскогодлялинейнойоднородной системы ДУ (9) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами

Доказательство. Так как aij (x) непрерывны, то система (9) удовле-

творяет условию теоремы о существовании и единственности решения СЛДУ, следовательно, начальное условие Y (x0 ) 0 определяет един-

ственное решение системы (9). Определитель Вронского в точке x0 равен нулю, тогда существует такая нетривиальная система Сi , для кото-

ройвыполняется C1Y1(x0 ) C2Y2 (x0 ) CnYn (x0 ) 0. Соответствующая линейная комбинация для другой точки x будет иметь вид

n

∑CiYi (x) Y (x) , причем Y (x) – непрерывная вектор-функция, удовле-

i 1

20