Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

3.  Левая часть уравнения (1) есть производная некоторого дифференциального выражения (n – 1)-го порядка.

F(x, y, y , , y(n) ) dxd (x, y, y , , y(n 1) ) .

Тогда первый интеграл этого уравнения имеет вид

(x, y, y , , y(n 1) ) C.

Иногда левую часть уравнения (1) привести к такому виду можно, домножив ее на некоторую функцию (x, y, y , , y(n 1) ) . Введение та-

кого множителя приводит к появлению лишних решений, обращающих множитель в нуль [1]. Если множитель разрывен, то возможна потеря решения.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида

бых начальных значений вида y(x0) y0, y (x0) y1,0, ..., y(n 1) (x0)

yn 1,0 , где x0 (a, b) , выполненыусловиятеоремыосуществовании

иединственности для СНДУ, что гарантирует существование единственного решения ДУ (3). Линейность и однородность уравнения (3)

42

сохраняется при любом преобразовании x (t) , где – произвольная n раз дифференцируемая функция. Причем (t) 0 t. Линейность

и однородность ДУ (3) сохраняется при линейном и однородном преобразовании неизвестной функции y(x) y(x) (x)z(x) .

Определитель Вронского для L[ y] будет иметь вид

где yi – линейно независимые решения ДУ (3).

Теорема1. Еслилинейнонезависимыефункции y1, y2 , , yn – это

не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a, b] (доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений).

Теорема2. Общимрешениемлинейногооднородногоуравнения(3)

висимые на отрезке [a, b] частные решения (3) (доказывается анало-

гично случаю системы линейных дифференциальных уравнений).

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений ДУ (3) равно его порядку.

Зная одно нетривиальное частное решение уравнения (3) y1(x) 0 , можносделатьподстановку y y1(x)∫U (x)dx ипонизитьпорядокурав-

нения, сохранив его линейность и неоднородность. Обычно эту подстановку разбивают на две: y y1(x)z(x), z (x) U (x) . Поскольку такая

43

подстановка – линейна и однородна, она сохраняет линейность и однородность (3), а значит, (3) может быть приведена к виду

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Определение. ДУ вида

где ai – постоянныекоэффициенты, называютсялинейнымидифферен-

циальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Решение ДУ (4) будем искать в виде y(x) exp(kx) . Подставляя решение в урав-

нение (4), получаем характеристическое уравнение

C2 exp(k2 x) Cn exp(kn x) , где Ci – произвольные постоянные; ki – корни уравнения (5); yi (x) exp(ki x) – частные решения ДУ (4).

44

нение сводится к ДУ (4) заменой x expt, частные решения можно искать в виде y(x) xk .

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДУ N-ГО ПОРЯДКА. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ

Пусть дано линейное неоднородное уравнение n-го порядка

удовлетворять уравнению (6), но так как всего неизвестных функций n, то дополнительные (n – 1) условия, которым будут удовлетворять функции Ci (x) , можно выбрать произвольно [3]. Выберем эти допол-

нительные условия следующим образом: производные функции y(x) должны иметь такой же вид, какой они имели бы при постоянных Ci .

остальные ограничения:

n

∑Ci (x) yi (x) 0 ,

i 1 n

∑Ci (x) yi (x) 0 ,

i 1

45

...

n C (x) y(n 2) (x) 0

∑ i i , i 1

n C (x) y(n 1) (x) f (x)

∑ i i . i 1

Система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных функций Ci (x) имеет единственное решение.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка методом вариации постоянной.

C2 (x)ex . В соответствии с идеей метода вариации постоянной [1] получаем условия для определения неизвестных функций Ci (x), i 1, 2 :

46

2)  x2 y 3xy 5y 3x2 .

Это уравнение Эйлера [3], сделаем замену x et , тогда ДУ примет вид y 4 y 5y 3e2t . Будем искать решение соответствующего одно-

ствительном операторе[1] частныерешенияоднородногоДУопределя-

Решить неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка методом вариации постоянных:

1)   y 2 y 3y exp 4x ;

2)   y y sin1 x ;

3)   y y 2exp x x2 ; 4)   y 2y y expx x ; 5)   y 3y 2 y sin x ; 6)   y y 2sec3 x ;

7)   y 5y 4 y 4x2 exp 2x ; 8)   y 4 y 4 y x exp 2x ;

9)   y 3y 4 y exp( 4x) x exp( x) ;

47

10)   y 2 y y 6x exp x ; 11)   y 2 y 3y x2 exp x ;

12)   y 4 y 8 y exp 2x sin 2x ; 13)   y 4 y 4 y x exp 2x ;

14)   y 9 y exp3x cos x ; 15)   y y xsin x ;

16)   y 5y 3x2 sin 5x ; 17)   y y 4xexp x ;

18)   y y 2 y 3x exp x ;

22)   y 2 y y 2xex ex sin 2x ; 23)   y y 4sin x ;

24)  x2 y xy y 8x3 ; 25)  x2 y 3xy 5y 3x2 .

48

Замечание. Второе линейно независимое решение (1) тоже имеет вид(3) илиможетбытьпредставленоввидепроизведенияобобщенного степенного ряда и ln(x x0 ) .

Замечание. В конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1). При подстановке решения в уравнение (1) мы должны получить тождество, котороепозволитопределитькоэффициенты an или an и . Далее

полученный ряд исследуется на сходимость и вычисляется его сумма, которая и будет частным решением (1). Линейная комбинация частных решений в виде бесконечных рядов – общее решение (1).

Перепишем (1) в виде

Замечание. С помощью замены переменных можно свести процесс поиска решения в окрестности точки x x0 к поиску решения в окрест-

ности точки x = 0. В дальнейшем будем, не нарушая общности, считать, что решение ищется в точке x = 0. Это решение имеет вид

Решение (5) подставим в уравнение (4), приведем подобные и приравняем коэффициенты приодинаковыхстепеняхx. Такимобразом, получим рекуррентные соотношения, позволяющие определить коэффициенты an . Первые одно или два уравнения позволяют вычислить .

Эти соотношения называются определяющими.

ТеоремаФукса. Пустьданодифференциальноеуравнение(4) такое, чтофункции f1, f2 имеютполюсывточке x x0 . Тогдарешенияэтого уравнения можно искать в виде обобщенного степенного ряда (3) при

50