Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

Определение. Если i (t) не только устойчиво, но и удовлетво-

устойчивым.

Замечание. Из асимптотической устойчивости не следует устойчивость решения.

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛДУ)

– соответствующая однородная система.

Определение. СЛДУ (3) называется устойчивой (или вполне не-

устойчивой), если все решения этой системы y(t) соответственно

устойчивы (неустойчивы) по Ляпунову при t .

Замечание. Необходимо отметить, что решения СЛДУ либо все устойчивы, либо все неустойчивы.

Теорема. ДляустойчивостиСЛДУ(3) прилюбойправойчасти f (t)

необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение соответствующей однородной системы (4).

62

– решение однородной системы (4).

Любое решение однородной системы всегда можно представить

т. е. тривиальное решение однородной системы (4) устойчиво по Ляпунову при t .

Замечание. Из доказательства следует, что устойчивость тривиального решения системы (4) вытекает из устойчивости хотя бы одного решения линейной неоднородной системы (3) при любой правой части f (t), которая может быть даже тождественно равна нулю.

Пусть х0 0 – тривиальное решение однородной системы (4). И пусть х0 устойчиво по Ляпунову при t , тогда, если x(t) – про-

вольные решения системы (3), тогда из y(t0 ) (t0 ) будет следовать, что y(t) (t) t0 t . Последние два неравенства означают, что (t) будут устойчивыми по Ляпунову при t .

Следствие. СЛДУ устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решениеэтойсистемы, ивполненеустойчива, еслинеустойчивоеенекоторое решение.

Определение. СЛДУ (3) называется равномерно устойчивой, если все решения этой системы равномерно устойчивы при t .

Теорема. СЛДУ (3) равномерно устойчива тогда и только тогда, когда тривиальное решение соответствующей ей однородной системы (4) равномерно устойчиво при t .

Определение. СЛДУ (3) называется асимптотически устойчивой,

если все ее решения асимптотически устойчивы.

63

Теорема. Система (3) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когдатривиальноерешениесоответствующейсистемы(4) асимптотически устойчиво при t .

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана однородная СЛДУ (4). Если матрица A(t) непрерывна,

то устойчивость системы (4) эквивалентна ограниченности всех решений СЛДУ (4).

Теорема. Однородная СЛДУ (4) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение y(t) ограничено на полуоси

t t0 , .

Теорема. Однородная СЛДУ (4) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения y(t) 0 при t .

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ

Пусть

где А – квадратная матрица (n × n) с постоянными коэффициентами. Будем искать решение СЛДУ (8) в виде

64

Пусть 1, 2 , ..., m – собственные значения матрицы А, m n и e1, e2 , ..., em – собственные векторы, соответствующие собственным значениям. Тогда матрицу А можно представить в виде

A S diag J1( 1), J2 ( 2 ), ..., Jm ( m ) S 1 ,

где S – ортогональная матрица; Ji – соответствующие клетки Жор-

дана [3].

Тогда решение системы (8) имеет вид

диагональю.

Теорема. Линейная однородная система дифференциальных уравнений (8) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют неположительные ве-

щественные части: Re j 0, j 1, n , причем собственным значениям,

имеющимнулевуювещественнуючасть, соответствуюттолькопростые элементарные делители, т. е. единичная жорданова клетка.

(р – кратность собственных значений), причем j 0 и k i k ,

k 1, q (q – кратность собственных значений). То есть максимальное

число клеток Жордана матрицы А: m = p + q. Решение (8) можно представить в виде

65

Ck – ограниченныеконстанты. Такимобразом, | y(t) | M , гдеМ– кон-

станта, т. е. решение ограниченное и, следовательно, устойчивое, а значит, и СЛДУ (8) устойчива.

ПустьСЛДУ (8) устойчива. Покажем, что всесобственные значения матрицы А имеют неположительные вещественные части.

Докажем от противного. Пусть существует такое собственное зна-

ченно, что противоречит условию теоремы об устойчивости. Значит, наше предположение неверно и Re s 0.

Покажем, что каждому собственному значению с нулевой действительной частью соответствует простой элементарный делитель. Предположим, что матрица А приведена к жордановой нормальной форме,

66

t (15) стремится к бесконечности, что невозможно для устойчивогорешения. Значит, собственныезначения, укоторыхдействительная часть равна нулю, имеют только простые элементарные делители.

Замечание. Устойчивая линейная однородная система ДУ с постоянной матрицей А равномерно устойчива относительно начального мо-

мента t0 .

Теорема. ЛинейнаяоднороднаясистемаДУ(8) спостояннойматрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части.

ТОЧКИ ПОКОЯ

торую траекторию в n-мерном пространстве, зависящую от параметра t (времени), то решение системы, состоящее из констант, будет точкой покоя этой системы. Естественно, что тривиальное решение (x0 0) –

точка покоя данной системы.

67

ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ

Пусть дана однородная система ДУ с постоянной матрицей, и соответственно вид решений ДУ будет определяться видом собственных значений матрицы. Рассмотрим типы точек покоя на примере двумерного пространства:

1.   1 0; 2 0 – тогда точка покоя будет устойчивым узлом, поскольку все точки траектории, находящиеся в начальный момент t0

в любой -окрестности начала координат, при достаточно большом t стремятся к точкам, принадлежащим сколь угодно малой -окрестности начала координат.

2.   1 0; 2 0 – неустойчивый узел.

68

3.   1 0; 2 0 – тогда точка покоя называется седлом.

II.  Собственные значения – комплексно-сопряженные:

1,2 p iq.

1.   p 0; q 0 – тогда точка покоя называется устойчивым фоку-

сом.

2.   p 0; q 0 – неустойчивый фокус.

69

3.   p 0; 1,2 iq – точка устойчива – центр.

жаться к точке покоя или хотя бы не удаляться от начала координат, то исследуемая точка покоя будет устойчивой.

i 1

70