Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

творяющая однородным начальным условиям и, значит, равная нулю в некоторой окрестности точки x0 . Следовательно, решение СЛДУ –

тривиальное решение, т. е. Yi линейно зависимы и определитель Вронского равен нулю в любой точке отрезка [a, b].

Определение. Совокупность решений Y1, Y2 , , Yn системы (9)

называется фундаментальнойсистемойрешенийна [a, b], еслиопре-

делитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке [a, b].

Определение. Если для однородной системы ДУ (9) начальные условия определены следующим образом: Y (x0 ) E, то система реше-

ний Y1, Y2 , , Yn называется нормальной фундаментальной систе-

мой решений.

Замечание. Если Y1, Y2 , , Yn – фундаментальная система или нормальная фундаментальная система, то линейная комбинация

n

∑CiYi (x) – общее решение (9).

i 1

n

Теорема 2. Линейная комбинация ∑CiYi (x) линейно независимых

i 1

решений Yi , i 1, ..., n, однороднойсистемыДУ(9) снепрерывнымина отрезке [a, b] коэффициентами aij (x) будет общим решением (9) на

этом же отрезке.

Доказательство. Так как коэффициенты aij (x) непрерывны на

[a, b], то система удовлетворяет условиям теоремы о существовании и

единственности. Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что подбором постоянных Сi можно удовлетворить не-

которому произвольно выбранному начальному условию (7), т. е.

n

можно удовлетворить векторному уравнению∑ CiYi (x0 ) Y0 . Так как

i 1

n

∑CiYi (x) – общее решение (9), то система разрешима относительно Сi ,

i 1

посколькувсе Yi линейнонезависимыи W (x0 ) 0. Однозначноопределяем Сi ; так как Сi линейно независимы, то W (x) 0 x [a, b] .

21

Теорема 3. Если Y – решение неоднородной системы ДУ (8), а Y –

решение однородной системы ДУ (9), то Y + Y будет решением неоднородной системы (8).

Доказательство. По свойствам линейного оператора

L[Y Y ] L[Y ] L[Y ] F.

Теорема 4. Общее решение неоднородной системы ДУ (8) на отрезке [a, b] с непрерывными на этом отрезке коэффициентами aij (x)

и правыми частями fi (x) равно сумме общего решения соответствую-

щей однородной системы (9) и частного решения Y неоднородной системы (8).

Доказательство. Так как условия теоремы о существовании и един-

n

ственности выполнены, то остается доказать, что Y (x) ∑CiYi Y бу-

i 1

дет удовлетворять произвольно заданным значениям (7), т. е.

i 1

Для системы (11) всегда можно определитьзначения Сi . Это можно сделать, так как Yi , i = 1, …, n, – фундаментальная система решений.

m

Теорема 5 (принцип суперпозиции). Решение СЛДУ L[Y ] ∑ Fi

Замечание. Принцип суперпозиций можно распространить на случай m при условии, что ряд, составленный из Yi , равномерно схо-

дится.

22

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений (ОСДУ)

где A – матрица с постоянными коэффициентами (n n); Y – неизвест-

ная вектор-функция (n). Общее решение системы (12) имеет вид Y (x) exp(Ax)C, где C – вектор произвольных постоянных [3].

Согласно теореме о приведении матрицы к квазидиагональному

виду [3] матрица A может быть представлена в виде A SJS 1 , где J – жордановаформаматрицыA; S – матрица, составленнаяизсобственных и присоединенных векторов матрицы A. Тогда систему (12) можно за-

ременных Z S 1Y и запишем ОЛСДУ покомпонентно для случая, когда J – одна жорданова клетка размерностью (n n) :

dzdx1 z1 z2 ; dzdx2 z2 z3 ;

.... ....

dzn 1 zn 1 zn ; dx

Тогда общее решение ОЛСДУ: Y (x) SZ(x) .

23

Если все собственные значения матрицы A действительны и раз-

ЕслиматрицаA вещественнаяисреди еесобственных значенийесть комплексно-сопряженные, то частными решениями ОЛСДУ будут не только решения Yj (x) ej exp(( p iq)x) , но и решения вида

Y1 j (x) Re{ej exp(( p iq)x)} и Y2 j (x) Im{ej exp(( p iq)x)} [1].

НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННЫХ

Рассмотрим неоднородную линейную систему ДУ (НЛСДУ):

даментальнаясистемарешенийоднороднойсистемыДУ(12). Будемискать решение неоднородной системы (13) в виде Y (x) Y (x)C(x) , где C(x) – неизвестная вектор-функция. Подставляя решение в си-

Тогда общее решение неоднородной системы ДУ будет иметь вид

Y (x) Y (x) ∫Y 1(x)F (x)dx C .

24

МЕТОД КОШИ

Рассмотрим однородную систему ДУ (12) и сопряженную к ней систему:

системарешенийСЛДУ(14). Дляэтихсистемрешенийвыполненыусловия взаимной ортогональности: ( i (x), j (x)) 0, i j [1]. Это условие

выполняется для всех x [a, b] . Будем искать решение неоднородной

Замечание. Метод Коши применим для СЛНДУ с матрицей А, приводящейся к диагональному виду.

25

МАТРИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пусть дано матричное дифференциальное уравнение

Теорема. Если матрица A(x) непрерывна на [a, b], а определитель матрицы Y0 0 , то на отрезке [a, b] существует единственное решение Y (x) уравнения (15) и определитель Вронского этого решения не обращается в нуль ни в одной точке [a, b].

Будем рассматривать одновременно с системой (15) систему вида

Определение. СЛДУ (18) называется сопряженной к СЛНДУ (15).

Теорема. Пусть Y (x) – решение (15), а матрица A(x) непрерывна

на [a, b], тогда Y 1(x) существует на [a, b] и является решением си-

стемы (16).

Доказательство: по предположению теоремы решение Y (x) на отрезке [a, b] существует и определитель этого решения не равен нулю в любой точке [a, b], следовательно, существует обратная матри-

26

ца Y 1(x) . А так как Y (x)Y 1(x) E, то, продифференцировав это соотношение, получаем:

dxd Y (x)Y 1(x) 0,

Y (x) dY 1(x) dY (x) Y 1(x) 0, dx dx

где Y (x) – решение уравнения (15), следовательно,

dY 1(x) Y 1(x)A(x). dx

Рассмотрим систему n-линейно независимых неоднородных дифференциальных уравнений:

Будем искать решение этой системы методом вариации постоянной. Обозначим Y (x) – решение (15). Будем искатьрешение системы (19)

в виде

27

Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид

Теорема. Общее решение неоднородной системы (19) можно представить в виде

где (x) – общее решение соответствующей однородной системы.

Замечание. ПустьматрицаАпостояннаиначальныеусловияимеют

вид

Y (0) E.

Покажем, что решение CЛНДУ (23) – Y (x) удовлетворяет функци-

решением (23). При x 0 эти матрицы будут совпадать в силу начальных условий и, следовательно, по теореме о существовании и единственности они будут совпадать для любых x . Если воспользоваться (24), то можно записать(сделавзамену x x иумноживсоот-

ношение (24) справа на Y 1( )) :

Подставляем (25) в(21) иполучаемвидобщегорешения НСДУспостоянной матрицей А:

28

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СНЛДУ

1. Решить неоднородную систему дифференциальных уравнений методом вариации постоянной:

Общее решение однородной системы:

29

C1(x) 3∫ xdx 32x2 C1 ,

C2 (x) ∫(x x2 )exdx (x2 2x 2)ex C2 , C3(x) ∫ xexdx (x 1)ex C3 .

30