Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

Подставим решение (5) в (4), учитывая выражения для f1, f2 . Вычислим производные от решения и тоже подставим в (4):

51

Из определяющего уравнения находим два значения : v1, 2 . 1.  Предположим, что 1 2 и их разность не равна целому числу.

Тогда можно последовательно вычислить два ряда коэффициентов an , соответствующих v1, 2 . Послеэтогополучимдваобобщенныхстепен-

ных ряда типа (5), которые определяют линейно независимые решения уравнения (4).

2.  Пусть v1 2 , тогда можно найти только одно решение (4), а второе линейно независимое решение ДУ будем искать следующим обра-

Левая часть этого последнего уравнения с точностью до множителя e∫ f1(x)dx будет производной от выражения

( 1 n 2 ). Тогда можно определить коэффициенты ряда, соответ-

52

ствующие параметру 2 : D( 2 1), D( 2 2) 0. Для ряда, который соответствует 1 , процесс вычисления коэффициентов обрывается на номере n – 1. Рекуррентные соотношения позволяют определить зависимость коэффициентов an от an 1 , …, a0 :

anD( 1 n) an 1 b1(n 1 1) c1 a0 bn 1 cn 0.

С учетом равенства D( 1 n) D( 2 ) 0 получаем выражение an 1 b1(n 1 1) c1 ... a0 bn 1 cn 0.

Если уже вычисленные коэффициенты a0 , ..., an 1 не удовлетворяют

этомуравенству, тонайтивтороечастноерешениевида(5) невозможно, т. е. предложенный метод не позволяет определить общий интеграл. Если же это соотношение выполняется, тогда можно все коэффициенты an 1, an 2 , ... выразить через an . Тогда an остается неопределенным

коэффициентом и ряд для корня 1 строится с точностью до двух параметров a0 , an .

раметры.

Это уравнение имеет две особые точки: x = 0 и x = 1, т. е. мы можем искать решение уравнения в виде ряда в окрестности 0 или 1, так как дляобеихточекусловиетеоремыФуксавыполняются. Будемискатьрешение в виде

y(x) ∑ an xn v ,

n 0

y (x) ∑ (n v)an xn v 1,

n 0

y (x) ∑ (n v 1)(n v)an xn v 2.

n 0

53

Подставим в исходное уравнение:

a0 0 v(v 1 ) 0,

v1 0, v2 1 , 0, n.

В этом случае каждое решение может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда.

a0F ( , , ; x) , где F – гипергеометрическая функция Гаусса.

54

2.   2 1 1 , тогда

где – произвольное действительное число, называется уравнением

Бесселя.

Замечание. В некоторых случаях может быть комплексным, но

тогда предполагается неотрицательной его действительная часть.

Для (6) выполняется условие теоремы Фукса: x = 0 – особая точка. Значит, решение ДУ (6) будем искать в виде

n 0

При подстановке решения (7) в ДУ (6) получаем следующие соотношения при степенях x:

55

В качестве определяющего соотношения выберем первое уравнение системы, тогда

Рассмотрим второе равенство из (8):

коэффициенты будут равны нулю, а все четные коэффициенты будут определяться по формуле (11):

56

Если v , то

Определение. Ряд (7), соответствующий v 0 , с коэффициентом a0 , определяющимся по формуле (14), и a2m – по формуле (17),

называется функцией Бесселя первого рода -го порядка:

Если , то второе линейно независимое решение имеет вид

Ряды (18) и (19) сходятся для любых x.

Заметим, что (19) определяет функцию Бесселя J (x) только для

дробных значений , поскольку при целых отрицательных коэффициенты этого ряда не существуют. Но так как функция Бесселя непрерывна, то ее можно продолжить и для n, где n – целое число, т. е.

J n (x) ( 1)n Jn (x) ; вэтомслучаеполучаем только одно линейно неза-

висимое решение, и в качестве второго линейно независимого решения используется функции Бесселя второго рода [3].

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дано дифференциальное уравнение вида

57

и необходимо найти периодическое решение этого дифференциального уравнения, тогда естественно искать решение в виде соответствующего ряда Фурье:

Если решение уравнения (20) имеет период Т, то тогда правая часть (20) – тоже периодическаяфункцияспериодомТ. Подставим известноерешение y0 (x) в уравнение (20) и, заменив х = х + Т, получим

Воспользуемся тем, что решение имеет период Т, т. е.

Для того чтобы последнее выражение было тождеством, необходимо и достаточно, чтобы F была периодической, т. е. функция F вдоль интегральной кривой y y0 (x) имела период Т как явная функция аргу-

мента х.

Замечание. Если правая часть (20) при любом выборе y0 (x) не яв-

ляется периодической функцией по х, то периодического решения (20) не существует.

Замечание. Если функция F не зависит явно от аргумента х, то F можно рассматривать как периодическую функцию от х любого периода, и поэтому у уравнения (20) будут существовать периодические решения любого периода.

Пример. Пусть дано уравнение

f (x) – периодическая функция с периодом 2 , тогда она представима в виде тригонометрического ряда Фурье:

58

Периодическое решение полностью определено.

Замечание. Ряд (24) с определенными коэффициентами (25) сходится равномерно и допускает двукратное дифференцирование, значит, решение y(x) – сумма этого ряда.

Замечание. Если коэффициенты an , bn в периодическом решении an 0, bn 0 ичислоамалоотличаетсяотцелогочислаn, тогданаступает явление резонанса, т. е. резко возрастает один из коэффициентов

an , bn не равен нулю, то периодического решения не существует. Если оба коэффициента an 0, bn 0, то при a = n периодическое решение уравнения существует.

59

Найти решение дифференциального уравнения в виде ряда.

1.  x2 y 2xy (x2 2x 2) y 0 . 2.  9x2 y (x2 2) y 0 .

3.   d 2 x x 3sin 2t. dt2

4.  (1 x2 ) y xy y 0 .

5.   d 2 x 3x cos3t sin 4t. dt2

6.  (1 x2 ) y 5xy 3y 0 .

7.  (x2 x 1) y (4x 2x2 ) y (x 1) y 0 . 8.  2x2 y (3x 2 y (x2 2x 2) y 0 .

60