Дифференциальные уравнения. Учебное пособие-3

вами, точки всех траекторий не будут удаляться от начала координат

сростом t, что, в свою очередь, означает, что тривиальное решение – устойчивая точка покоя.

Однако точка покоя может быть устойчивой и даже асимптотически устойчивой и при немонотонном приближении к ней точек траекторий

сростомt, поэтомувместофункции или 2 А.М. Ляпуновпредложил рассматривать функцию V (x1, x2 , ..., xn ) или V (t, x1, x2 , ..., xn ) , кото-

рая в некотором смысле является обобщенным расстоянием от точки траектории до начала координат. Основные свойства функций V и

совпадают (т. е. если V мало, то и мало). V называется функцией Ля-

возмущенное решение, устойчивость которого нужно исследовать в не-

решение x = 0, которое соответствует исследуемому решению (t) .

71

Систему dxdt f (t, x) называют приведенной (возмущенной по Ляпу-

нову). Поуже доказанной теореме об устойчивости неоднородной СДУ исследование на устойчивость системы dydt F(t, y) эквивалентно ис-

следованию на устойчивость тривиального решения возмущенной си-

стемы dxdt f (t, x) .

Определение. Действительная непрерывная скалярная функция V (t,  x) называется знакопостоянной в области D, если

V (t, x) 0(V (t, x) 0) при условии, что (t, x) D.

Определение. Функция V (t, x) называется положительно опреде-

ленной в области D, если существует такая скалярная функция W(x), что:

1)  V (t, x) W (x) 0 x : x 0; 2)  V (t, 0) W (0) 0.

Определение. Функция V (t, x) называется отрицательно опреде-

ленной в области D, если существует такая скалярная функция W(x), что:

1)  V (t, x) W (x) 0, x 0; 2)  V (t, 0) W (0) 0.

Замечание. В качестве функции W(x) иногда выбирают inf V (t, x) . t

Пусть V (t, x) – положительно определенная функция, удовлетво-

Существует соответствующая функция W(x) такая, что поверхности

уровня W(x) = C в пространстве Rn представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, включающих начало координат и расширяющихся с ростом С. Тогда каждая поверхность уровня функции V (t, x) будет содержаться для любого t внутри поверхности уровня

W(x) = C.

Пусть функция f (t, x) из системы dxdt f (t, x) непрерывна по t

идифференцируемапоx. Рассмотримобласть D a t , x H .

72

лярная функция V (t,  x), удовлетворяющая условиям V (t, x) W (x) 0

x : x 0 , V (t, 0) W (0) 0 . Впространстве Rn рассмотримсферура-

диусом , S x Rn : x , причемэтасферавложенавобласть D0 ,

т. е. h . Эта сфера – компакт (ограниченное, замкнутое множество), и соответственно на компакте S функция W(x) непрерывна и положи-

тельна, азначит, всилутеоремыВейерштрассадостигаетсвоейверхней и нижней грани. Пусть нижняя грань достигается в некоторой точке

73

начальная точка траектории находится внутри сферы, и пусть неравен-

x(t1) . Рассмотрим функцию v(t) V (t, x(t)) . Исследуем поведение этой функции вдоль решения x(t):

v (t) dVdt (t, x(t)) 0.

Это означает, что v – невозрастающая. Следовательно, учитывая

74

Следствие2. Еслидлялинейнойоднороднойсистемы dxdt A(t)x(t), где A(t) C, существует положительно определенная функция V (t, x),

для которой полная производная dVdt 0 , тогда все решения x(t) этой

системы определены и ограничены на полуоси (t0 , ) .

Вторая теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

x h H тривиального решения принадлежит области притяжения тривиального решения 0 , т. е. все траектории стягиваются к нулю и находятся в h-окрестности.

Следствие 2. Если для линейной однородной системы dxdt A(t)x

существуетположительноопределеннаяфункция V (t, x), удовлетворя-

ющая условиям второй теоремы Ляпунова, то каждое решение этой системы асимптотически устойчиво в целом.

Третья теоремаЛяпунова (онеустойчивости). Пустьдлясистемы

dxdt f (t, x) существует функция V(t, x) Ct1,1,x , допускающая бесконечномалыйверхнийпределпри x 0 иобладающаязнакоопределен-

75

тривиальное решение 0 будет неустойчивым по Ляпунову при t .

Замечание 1. В этой теореме функция V (t, x) не обязательно явля-

ется знакоопределенной.

Замечание2. Функции V (t, x), удовлетворяющиеусловиямпервой,

второй и третьей теоремы, называются соответственно функциями Ляпунова первого, второго и третьего рода.

Следствие. Если для приведенной системы ДУ dxdt f (t, x) суще-

ствует функция Ляпунова первого, второго или третьего рода, то тривиальное решение этой системы соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво и неустойчиво по Ляпунову при t .

Замечание. При формулировке третьей теоремы Ляпунова предпо-

лагается, что полная производная в силу системы dxdt f (t, x) знакопо-

ложительна в некоторой полной окрестности начала координат, однако для доказательства неустойчивости тривиального решения системы

dxdt f (t, x) достаточно обнаружить существование хотя бы одной тра-

ектории, исходящей из любой сколь угодно малой окрестности начала координат, и выход ее за пределы фиксированной окрестности, т. е. нет необходимости рассматривать полную окрестность начала координат, и условия третьей теоремы Ляпунова можно ослабить.

мыкающее к началу координат, причем на части границы области П, лежащей внутри цилиндра D, включая ось t, выполняется равенство V (t, x) 0. Тогда, если:

1)  функция V (t, x) ограничена в области П;

2)  имеет в этой области положительную полную производную dVdt ;

76

3)  в каждой подобласти V (t, x) 0 справедливо неравенство

dVdt (t, x) 0,

где – некоторая положительная величина, зависящая от , то триви-

Тривиальное решение А(0, 0): x = 0, y = 0.

Выберем функцию Ляпунова в виде V (x, y) x2 y2 , где , – некоторые коэффициенты. Определим значения коэффициентов из

условия (возможной) устойчивости тривиального решения: dVdt 0.

dVdt 2 x( 2 y 6xy2 ) 2 y(5x 15x2 y) 4 xy 12 x2 y2

10 xy 30 x2 y2 0.

НазнакоопределенностьфункцииЛяпуновавокрестноститочкипокоя влияет знак слагаемых: 4 xy 10 xy. Выбирая 5, 2, полу-

чаем выполнение равенства dVdt 0 и условия устойчивости.

ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Пусть dxdt (t, x) – нормальная система ДУ, и пусть правая часть

этой системы удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности, т. е. может быть представлена в виде

77

(x, t) A(t)x F(t, x) , гдеA(t) – матрица, афункцияF (t, x) удовлетво-

Определение. ЛинейнаяоднороднаясистемаДУ dxdt A(t)x называ-

ется первым приближением или линеаризацией соответствующей

понентывектораx. Еслиматрица A(t) A (т. е. независит отt), тотогда

исследования на устойчивость можно проводить, пользуясь теоремой об устойчивости системы ДУ с постоянной матрицей.

3 4 2 2 2 4 5,

78

коя асимптотически устойчива.

Исследовать систему ДУ на устойчивость.

1)  Построить функцию Ляпунова, исследовать тривиальное решение на устойчивость:

dxdt x y xy2 ,

dydt 2x y y3.

2)  Исследовать, при каких значениях параметров a и b СДУ будет асимптотически устойчива:

dxdt y sin x,

dydt ax by.

3)  Построить функцию Ляпунова, исследовать тривиальное решение на устойчивость:

dxdt xy x3 y3,

dydt x2 y3.

4)  Найти все точки покоя и исследовать их на устойчивость:

dxdt ey ex ,

dydt 3x y2 2.

79

5)  Найти все точки покоя и исследовать их на устойчивость:

dxdt 3 4 x2 y,

dydt ln (x2 3).

80